9Lösung 2b

Die Enden eines Seils werden an zwei vertikalen Masten, die $8{,}0m$ voneinander entfernt sind, in gleicher Höhe über dem Erdboden befestigt. Der Graph $G_f$ aus Aufgabe 1 beschreibt im Bereich $-4\leq x\leq4$ modellhaft den Verlauf des Seils, wobei die Fußpunkte $F_1$ und $F_2$ der Masten durch die Punkte $(-4|0)$ bzw. $(4|0)$ dagestellt werden (vgl. Abbildung). Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Realität.

$a)$ Der Höhenunterschied zwischen den Aufhängepunkten und dem tiefsten Punkt des Seils wird als Durchhang bezeichnet. Berechenen Sie auf der Grundlage des Modells den Durchhang des Seils auf Zentimeter genau. (2 BE)

Lösung

Berechnung des Winkels

Um den Winkel zwischen dem Seil und dem Mast 2 auszurechnen, benötigst du zunächst die Tangente im Aufhängepunkt $F_2$. Daraufhin kannst du im Steigungsdreieck mithilfe von Sinus und Kosinus den Winkel berechnen (siehe Abbildung). Da wir nur das Steigungsdreieck betrachten genügt es hierbei die Steigung der Tangente (also den Wert der Ableitung in dem Aufhängepunkt) zu bestimmen. Die Ableitungsfunktion hast du bereits in Aufgabe 1c bestimmt:

$f'(x)=\frac{1}{2}\cdot\left(e^{\frac{1}{2}x}-e^{-\frac{1}{2}x}\right)$

Bestimmung der Tangentensteigung im Aufhängepunkt:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{lcl}f'(4)&=&\frac{1}{2}\cdot\left(e^{\frac{1}{2} \cdot 4}-e^{-\frac{1}{2}\cdot 4}\right)\\&\approx& 3{,}63 \end{array}$

Du siehst nun in der Abbildung, dass du mit dem Steigungsdreieck ein rechtwinkliges Dreieck hast. Von diesem kennst du bereits zwei Seiten, die Gegenkathete und die Ankathete des gesuchten Winkels. Mithilfe der Formel $tan(\alpha)=\frac{\text{Gegenkathete}}{Ankathete}$ kannst du zunächst den Tangens der Winkels und dann über die Umekehrfunktion des Tangens den gesuchten Winkel berechnen.

Die Umkehrfunktion des Tangens kannst du bei deinem Taschenrechner mit der Taste $tan^{-1}$ aufrufen.

Achte hierbei auch darauf, dass dein Taschenrechner auf Gradmaß und nicht auf Bogenmaß eingestellt ist!

Im Folgenden werden wir den gesuchten Winkel mit $\alpha$ bezeichnen.

Berechnung des Tangens:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{lcl} tan(\alpha)&=&\frac{1}{3{,}63}\\&\approx& 0{,}28\end{array}$

Berechnung des Winkels mithilfe der Umkehrfunktion des Tangens:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{lcl} \alpha&=&\tan^{-1}(0{,}28)\\&\approx& 16°\end{array}$

Das Seil schließt mit dem Mast im Aufhängepunkt 2 einen Winkel von ca. $16°$ ein.

Berechnung der Seillänge

Aus Aufgabe 1h hast du bereits die Formel $L_{0;b}=e^{\frac{1}{2}b}-e^{-\frac{1}{2}b}$. Außerdem siehst du, dass der Graph achsensymmetrisch zur $y$-Achse ist. Also kannst du statt der Länge zwischen den beiden Masten auch die einem Masten und dem Tiefpunkt berechnen und diese dann verdoppeln:

Beachte, dass du wieder auf zwei Nachkommastellen runden musst.

Länge des Seils in Meter:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{lcl}L_{-4;4}&=&2\cdot L_{0;4}\\&=& 2 \cdot \left(e^{\frac{1}{2}\cdot 4}-e^{-\frac{1}{2}\cdot 4}\right)\\&\approx& 14{,}51\end{array}$

Die Länge des Seils zwischen den beiden Masten beträgt $14$ Meter und $51$ Zentimeter.