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Aufgaben zur Lagebeziehung zweier Ebenen

Hier findest du Aufgaben zur Lagebeziehung zweier Ebenen. Lerne, die Lagebeziehung zu untersuchen und lineare Gleichungssysteme zu lösen!

  1. 1

    Untersuche die gegenseitige Lage der gegebenen Ebenen in Koordinatenform. Bestimme die Schnittgerade, falls sich die Ebenen schneiden.

    1. E1:  −x1+2⋅x2+x3=1{\mathrm E}_1:\;-{\mathrm x}_1+2\cdot{\mathrm x}_2+{\mathrm x}_3=1

      E2:  x1+4⋅x2+3⋅x3=7{\mathrm E}_2:\;{\mathrm x}_1+4\cdot{\mathrm x}_2+3\cdot{\mathrm x}_3=7

    2. E1:  −4⋅x1+3⋅x2+2⋅x3=5{\mathrm E}_1:\;-4\cdot{\mathrm x}_1+3\cdot{\mathrm x}_2+2\cdot{\mathrm x}_3=5

      E2:  2⋅x1+x2−x3=0{\mathrm E}_2:\;2\cdot{\mathrm x}_1+{\mathrm x}_2-{\mathrm x}_3=0

    3. E1:  −x1+2⋅x2−2⋅x3=5{\mathrm E}_1:\;-{\mathrm x}_1+2\cdot{\mathrm x}_2-2\cdot{\mathrm x}_3=5

      E2:  2⋅x1−4⋅x2+4⋅x3=−10{\mathrm E}_2:\;2\cdot{\mathrm x}_1-4\cdot{\mathrm x}_2+4\cdot{\mathrm x}_3=-10

    4. E1:  −x1+2⋅x2+x3=1{\mathrm E}_1:\;-{\mathrm x}_1+2\cdot{\mathrm x}_2+{\mathrm x}_3=1

      E2:  2⋅x1−4⋅x2−2⋅x3=−5{\mathrm E}_2:\;2\cdot{\mathrm x}_1-4\cdot{\mathrm x}_2-2\cdot{\mathrm x}_3=-5

    5. E1:  x1+x2−x3−1=0{\mathrm E}_1:\;{\mathrm x}_1+{\mathrm x}_2-{\mathrm x}_3-1=0

      E2:  4⋅x1−x2−x3−3=0{\mathrm E}_2:\;4\cdot{\mathrm x}_1-{\mathrm x}_2-{\mathrm x}_3-3=0

    6. E1:  2⋅x1−3⋅x2+x3=2{\mathrm E}_1:\;2\cdot{\mathrm x}_1-3\cdot{\mathrm x}_2+{\mathrm x}_3=2

      E2:  −6⋅x1+9⋅x2−3⋅x3=5{\mathrm E}_2:\;-6\cdot{\mathrm x}_1+9\cdot{\mathrm x}_2-3\cdot{\mathrm x}_3=5

    7. E1:  −x1+2⋅x2+5⋅x3=10{\mathrm E}_1:\;-{\mathrm x}_1+2\cdot{\mathrm x}_2+5\cdot{\mathrm x}_3=10

      E2:  2⋅x1−4⋅x2+x3=4{\mathrm E}_2:\;2\cdot{\mathrm x}_1-4\cdot{\mathrm x}_2+{\mathrm x}_3=4

    8. E1:  13⋅x1+16⋅x2+12⋅x3=1{\mathrm E}_1:\;{\textstyle\frac13}\cdot{\mathrm x}_1+{\textstyle\frac16}\cdot{\mathrm x}_2+{\textstyle\frac12}\cdot{\mathrm x}_3=1

      E2:  2⋅x1+x2+3⋅x3−6=0{\mathrm E}_2:\;2\cdot{\mathrm x}_1+{\mathrm x}_2+3\cdot{\mathrm x}_3-6=0

    9. E1:  5⋅x1+2⋅x2+3⋅x3=30{\mathrm E}_1:\;5\cdot{\mathrm x}_1+2\cdot{\mathrm x}_2+3\cdot{\mathrm x}_3=30

      E2:  10⋅x1+7⋅x2−12⋅x3=45{\mathrm E}_2:\;10\cdot{\mathrm x}_1+7\cdot{\mathrm x}_2-12\cdot{\mathrm x}_3=45

    10. E1:  −2⋅x1+3⋅x2+4⋅x3=12{\mathrm E}_1:\;-2\cdot{\mathrm x}_1+3\cdot{\mathrm x}_2+4\cdot{\mathrm x}_3=12

      E2:  x1+4⋅x2−3⋅x3=0{\mathrm E}_2:\;{\mathrm x}_1+4\cdot{\mathrm x}_2-3\cdot{\mathrm x}_3=0

    11. E1:  3⋅x1−2⋅x2+x3−4=0{\mathrm E}_1:\;3\cdot{\mathrm x}_1-2\cdot{\mathrm x}_2+{\mathrm x}_3-4=0

      E2:  −2⋅x1+x2−3⋅x3=7{\mathrm E}_2:\;-2\cdot{\mathrm x}_1+{\mathrm x}_2-3\cdot{\mathrm x}_3=7

  2. 2

    Bestimme die Schnittmenge der in Parameter- und Normalenform gegebenen Ebenen.

    1. E1:  x⃗=(142)+r⋅(320)+s⋅(0−21){\mathrm{E}}_1:\;\vec{x}=\begin{pmatrix}1\\4\\2\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}3\\2\\0\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}0\\-2\\1\end{pmatrix}  und 

      E2:  (2−3−6)∘[x⃗−(443)]=0{\mathrm{E}}_2:\;\begin{pmatrix}2\\-3\\-6\end{pmatrix}\circ\left[\vec{ x}-\begin{pmatrix}4\\4\\3\end{pmatrix}\right]=0 .

    2. E1:  x→=(−121)+r⋅(2−1−2)+s⋅(214){\mathrm E}_1:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}-1\\2\\1\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}2\\-1\\-2\end{pmatrix}+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}2\\1\\4\end{pmatrix}  und  E2:  (2−31)∘[x→−(101)]=0{\mathrm E}_2:\;\begin{pmatrix}2\\-3\\1\end{pmatrix}\circ\left[\overrightarrow{\mathrm x}-\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}\right]=0

    3. E1:  x⃗=(5−10)+r⋅(111)+s⋅(−111){E}_1:\;\vec{x}=\begin{pmatrix}5\\-1\\0\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}-1\\1\\1\end{pmatrix}  und

      E2:  (010)∘[x⃗−(32−7)]=0{E}_2:\;\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}\circ\left[\vec{x}-\begin{pmatrix}3\\2\\-7\end{pmatrix}\right]=0

    4. E1:  x⃗=(1−13)+r⋅(1−1−1)+s⋅(−12−1){\mathrm E}_1:\;\vec{x}=\begin{pmatrix}1\\-1\\3\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}1\\-1\\-1\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}-1\\2\\-1\end{pmatrix}  und  E2:  (321)∘x⃗−4=0{\mathrm E}_2:\;\begin{pmatrix}3\\2\\1\end{pmatrix}\circ\vec{x}-4=0

    5. E1:  x→=(211)+r⋅(111)+s⋅(2−4−1){\mathrm E}_1:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}2\\-4\\-1\end{pmatrix}  und  E2:  (11−2)∘x→−3=0{\mathrm E}_2:\;\begin{pmatrix}1\\1\\-2\end{pmatrix}\circ\overrightarrow{\mathrm x}-3=0

    6. E1:  x→=(131)+r⋅(210)+s⋅(1−11){\mathrm E}_1:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}1\\3\\1\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}  und  E2:  (111)∘x→−5=0{\mathrm E}_2:\;\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\circ\overrightarrow{\mathrm x}-5=0

  3. 3

    Bestimme die Schnittmenge der beiden in Normalenform gegebenen Ebenen.

    1. E1:  (2−35)∘[x→−(0−1−1)]=0{\mathrm E}_1:\;\begin{pmatrix}2\\-3\\5\end{pmatrix}\circ\left[\overrightarrow x-\begin{pmatrix}0\\-1\\-1\end{pmatrix}\right]=0   und   E2:  (−46−10)∘[x→−(−100)]=0  {\mathrm E}_2:\;\begin{pmatrix}-4\\6\\-10\end{pmatrix}\circ\left[\overrightarrow x-\begin{pmatrix}-1\\0\\0\end{pmatrix}\right]=0\;

    2. E1:  (2−35)∘[x→−(0−1−1)]=0{\mathrm E}_1:\;\begin{pmatrix}2\\-3\\5\end{pmatrix}\circ\left[\overrightarrow x-\begin{pmatrix}0\\-1\\-1\end{pmatrix}\right]=0   und  

      E2:  (−46−10)∘[x→−(120)]=0  {\mathrm E}_2:\;\begin{pmatrix}-4\\6\\-10\end{pmatrix}\circ\left[\overrightarrow x-\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}\right]=0\;

    3. E1:  (2−13)∘[x→−(111)]=0{\mathrm E}_1:\;\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}\circ\left[\overrightarrow x-\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\right]=0   und   E2:  (12−1)∘[x→−(−21−2)]=0  {\mathrm E}_2:\;\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}\circ\left[\overrightarrow x-\begin{pmatrix}-2\\1\\-2\end{pmatrix}\right]=0\;

  4. 4

    Bestimme die Schnittmenge der beiden in Parameterform gegebenen Ebenen.

    1. E1:  x→=(444)+r⋅(210)+s⋅(−103){\mathrm E}_1:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}4\\4\\4\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}-1\\0\\3\end{pmatrix}   und   E2:  x→=(20−14)+r⋅(113)+s⋅(52−3){\mathrm E}_2:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}2\\0\\-14\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\3\end{pmatrix}+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}5\\2\\-3\end{pmatrix}

    2. E1:  x→=(403)+r⋅(0−10)+s⋅(−203){\mathrm E}_1:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}4\\0\\3\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}0\\-1\\0\end{pmatrix}+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}-2\\0\\3\end{pmatrix}   und   E2:  x→=(−230)+r⋅(00−1)+s⋅(2−13){\mathrm E}_2:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}-2\\3\\0\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}0\\0\\-1\end{pmatrix}+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}

    3. E1:  x→=(562)+r⋅(24−1)+s⋅(013){\mathrm E}_1:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}5\\6\\2\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}2\\4\\-1\end{pmatrix}+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}0\\1\\3\end{pmatrix}   und   E2:  x→=(16−3)+r⋅(252)+s⋅(−2−34){\mathrm E}_2:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}1\\6\\-3\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}2\\5\\2\end{pmatrix}+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}-2\\-3\\4\end{pmatrix}

    4. E1:  x→=(1−21)+r⋅(2−11)+s⋅(1−21){\mathrm E}_1:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix}+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}   und   E2:  x→=(21−3)+r⋅(10−2)+s⋅(−110){\mathrm E}_2:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}2\\1\\-3\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\-2\end{pmatrix}+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}

    5. E1:  x→=(−122)+r⋅(10−2)+s⋅(2−13){\mathrm E}_1:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}-1\\2\\2\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\-2\end{pmatrix}+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}   und   E2:  x→=(−54−4)+r⋅(3−11)+s⋅(1−15){\mathrm E}_2:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}-5\\4\\-4\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}3\\-1\\1\end{pmatrix}+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}1\\-1\\5\end{pmatrix}

    6. E1:  x→=(−122)+r⋅(10−2)+s⋅(2−13){\mathrm E}_1:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}-1\\2\\2\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\-2\end{pmatrix}+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}   und   E2:  x→=(3−1−2)+r⋅(3−11)+s⋅(1−15){\mathrm E}_2:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}3\\-1\\-2\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}3\\-1\\1\end{pmatrix}+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}1\\-1\\5\end{pmatrix}

  5. 5

    Bestimme die Schnittmenge der beiden in Koordinatenform gegebenen Ebenen.

  6. 6

    Bestimme die Schnittmenge der in Parameter- und Koordinatenform gegebenen Ebenen.

    1. E1:  2⋅x1+3⋅x2−x3=13{\mathrm E}_1:\;2\cdot{ x}_1+3\cdot{ x}_2-{ x}_3=13   und

      E2:  x⃗=(−121)+r⋅(213)+s⋅(0−12){\mathrm E}_2:\;\vec{x}=\begin{pmatrix}-1\\2\\1\end{pmatrix}+ r\cdot\begin{pmatrix}2\\1\\3\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}0\\-1\\2\end{pmatrix}

    2. E1:  −x1+2⋅x2+x3=−4{\mathrm E}_1:\;-{\mathrm x}_1+2\cdot{\mathrm x}_2+{\mathrm x}_3=-4   und   E2:  X→=(20−1)+r⋅(01−2)+s⋅(2−13){\mathrm E}_2:\;\overrightarrow{\mathrm X}=\begin{pmatrix}2\\0\\-1\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}0\\1\\-2\end{pmatrix}+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}

    3. E1:  x1+2⋅x2−2⋅x3=5{\mathrm E}_1:\;{\mathrm x}_1+2\cdot{\mathrm x}_2-2\cdot{\mathrm x}_3=5   und   E2:  X→=(112)+r⋅(413)+s⋅(2−10){\mathrm E}_2:\;\overrightarrow{\mathrm X}=\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}4\\1\\3\end{pmatrix}+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}2\\-1\\0\end{pmatrix}

    4. E1:  x1+2⋅x2−2⋅x3=5{\mathrm E}_1:\;{\mathrm x}_1+2\cdot{\mathrm x}_2-2\cdot{\mathrm x}_3=5   und   E2:  X→=(712)+r⋅(413)+s⋅(2−10){\mathrm E}_2:\;\overrightarrow{\mathrm X}=\begin{pmatrix}7\\1\\2\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}4\\1\\3\end{pmatrix}+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}2\\-1\\0\end{pmatrix}

    5. E1:  x→=(112)+r⋅(011)+s⋅(113){\mathrm E}_1:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\3\end{pmatrix}  und  E2:  2⋅x1+x2−x3−1=0{\mathrm E}_2:\;2\cdot{\mathrm x}_1+{\mathrm x}_2-{\mathrm x}_3-1=0

    6. E1:  X→=(1−13)+r⋅(1−1−1)+s⋅(−12−1){\mathrm E}_1:\;\overrightarrow{\mathrm X}=\begin{pmatrix}1\\-1\\3\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}1\\-1\\-1\end{pmatrix}+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}-1\\2\\-1\end{pmatrix}  und  E2:  x1−2⋅x2+x3−2=0{\mathrm E}_2:\;{\mathrm x}_1-2\cdot{\mathrm x}_2+{\mathrm x}_3-2=0


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