Bei dieser Aufgabe geht es um den Zusammenhang von Umfang und Flächeninhalt bei Kreisen, bei Dreiecken und bei Quadraten.

Quadrate sind umfangsstabil:

Je größer der Umfang eines Quadrats, desto größer sein Flächeninhalt.

Genauer gilt mit der Quadratseite $aa$:

${\displaystyle U_Q=4\cdot a\Rightarrow a=\frac{U_Q}{4}}\backslash displaystyle\; U\_\{Q\}\; =4\backslash cdot\; a\backslash quad\; \backslash Rightarrow\backslash quad\; a=\backslash frac\{U\_\{Q\}\}\{4\}\backslash quad$ und somit:

${\displaystyle A_{Quadrat}=a^2={\left(\frac{U_Q}{4}\right)}^2=\frac{1}{16}\cdot {\left(U_Q\right)}^2}\backslash displaystyle\; A\_\{Quadrat\}\; =\; a^2\backslash ;=\backslash left(\backslash frac\; \{U\_\{Q\}\}\{4\}\backslash right)^2=\backslash frac\; \{1\}\; \{16\}\backslash cdot\; \backslash left(U\_\{Q\}\backslash right)\; ^2$

Kreise sind umfangsstabil:

Je größer der Umfang eines Kreises, desto größer sein Flächeninhalt.

Genauer gilt mit dem Radius $rr$:

${\displaystyle U_r=2r\pi \Rightarrow r=\frac{U_r}{2\pi }}\backslash displaystyle\; U\_\{r\}=\; 2r\backslash pi\backslash quad\backslash Rightarrow\backslash quad\; r=\; \backslash frac\; \{U\_\{r\}\}\{2\backslash pi\}\backslash quad$ und somit:

${\displaystyle A_{Kreis}=r^2\cdot \pi =\frac{1}{4\pi }\cdot {\left(U_r\right)}^2}\backslash displaystyle\; A\_\{Kreis\}=\; r^2\backslash cdot\; \backslash pi=\backslash frac\{1\}\{4\backslash pi\}\backslash cdot\backslash left(U\_\{r\}\backslash right)^2$

Dreiecke sind nicht umfangsstabil:

Ergänzung:

Gleichseitige Dreiecke sind umfangsgleiche geometrische Formen:

Bei gegebener Dreieckseite $aa$ gilt:

${\displaystyle U_{gl\mathrm{.}s\mathrm{.}Dr\mathrm{.}}=3\cdot a\Rightarrow a=\frac{U_{gl\mathrm{.}s\mathrm{.}Dr\mathrm{.}}}{3}}\backslash displaystyle\; U\_\{gl.s.Dr.\}=3\backslash cdot\; a\backslash quad\; \backslash Rightarrow\backslash quad\; a=\backslash frac\{U\_\{gl.s.Dr.\}\}\{3\}\backslash quad$ und somit:

${\displaystyle A_{gl\mathrm{.}s\mathrm{.}Dr\mathrm{.}}=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot a^2=\frac{\sqrt{3}}{36}\cdot {\left(U_{gl\mathrm{.}s\mathrm{.}Dr\mathrm{.}}\right)}^2}\backslash displaystyle\; A\_\{gl.s.Dr.\}=\backslash frac\{\backslash sqrt\{3\}\}\{4\}\backslash cdot\; a^2=\backslash frac\{\backslash sqrt\{3\}\}\{36\}\backslash cdot\; \backslash left(U\_\{gl.s.Dr.\}\backslash right)^2$

Ein vorgegebener Umfang bestimmt also den Flächeninhalt eines gleichseitigen Dreiecks eindeutig.

Die Behauptung "Je größer der Umfang eines Dreiecks, desto größer sein Flächeninhalt" gilt demnach nur für gleichseitige Dreiecke.

Bei dieser Aufgabe entdeckst du, dass Rechtecke bei gleichem Umfang unterschiedliche Flächeninhalte haben können.

Die Maße der Rechtecke:

Ergebnis:

Alle Rechtecke haben gleichen Umfang, aber unterschiedliche Flächeninhalte.

Dazu könnte man auch sagen, Rechtecke sind nicht formstabil.

Naheliegend ist dadurch die Überlegung:

Welche Rechtecksform liefert bei einem Rechtecksumfang von $4\text{LE}4\backslash ,\backslash text\{LE\}$ die größte Fläche?

Diese Extremwertaufgabe löst du in der nächsten Aufgabe.

In dieser Aufgabe bestimmst du das größtmögliche Rechteck durch die Ableitung oder alternativ durch die quadratische Ergänzung der Zielfunktion.

Hinweis:

Haben bei Extremwertaufgaben die betrachteten Größen die gleiche Maßeinheit, begnügt man sich bei den verwendeten Funktionen meist auf die Angaben der jeweiligen Maßzahlen.

$b=2-1=1b=2-1=1$

Ergebnis:

Das Rechteck, das bei einem gegebenen Umfang von 4$\text{cm}\backslash ,\backslash text\{cm\}$ den größtmöglichen Flächeninhalt besitzt, ist ein Quadrat mit der Seitenlänge 1$\text{cm}\backslash ,\backslash text\{cm\}$. Der gesuchte Flächeninhalt ist also $1{\text{cm}}^{2}1\backslash ,\backslash text\{cm\}^2$.

Alternative Lösung