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Aufgaben zur Hinführung auf schwierige Extremwertprobleme

Hier findest du Aufgaben zu Extremwertproblemen. Lerne, dich in schwierige Extremwertproleme hineinzudenken und erweitere dein Verständnis.

  1. 1

    Manche ebene geometrische Figuren werden alleine durch ihren Umfang oder alleine durch ihren Flächeninhalt bestimmt.

    Einige ebene geometrische Formen sind umfangsstabil. Das heißt, flächengleiche Figuren solch einer Form haben auch gleichen Umfang.

    1. Umfang und Fläche vergleichen

      Welche der folgenden Aussagen stimmt?

      Klicke die Zutreffenden an!

    2. Zeige, dass ein Rechteck nicht formstabil ist:

      Erzeuge zur Begründung im nebenstehenden Applet durch Verschieben des Reglers 5 weitere Rechtecke.

      Worin stimmen alle 6 Rechtecke überein?

      Worin unterscheiden sie sich?

    3. Ein Rechteck habe den Umfang U=4cmU=4\,\text{cm}. Berechne die Seitenlängen aa und bb so, dass das Rechteck den größtmöglichen Flächeninhalt AA besitzt.

  2. 2
    gleichseitiges Dreieck

    Gegeben sei ein gleichseitiges Dreieck mit der Seitenlänge aLEa\,\text{LE}.

    1. Auf welche Weise kann man dem Dreieck Rechtecke einbeschreiben?

      Klicke die richtige Antwort an.

    2. Berechne den größtmöglichen Flächeninhalt eines Rechtecks, das dem Dreieck einbeschrieben werden kann.

      Wie viel Prozent der Dreiecksfläche besitzt solch ein maximales Rechteck?

    3. Beschreibe einem gleichseitigen Dreieck (Seitenlänge 5cm5\, cm) drei verschiedene gleichgroße Rechtecke mit dem Inhalt von jeweils 4cm24\,cm^2 ein.

  3. 3

    Beweise, dass in jedem Dreieck der größmögliche Inhalt einbeschreibbarer Rechtecke gleich der halben Dreiecksfläche ist.

  4. 4
    Bild

    Das Problem kennt jeder Möbelpacker:

    Wie breit kann ein Schrank höchstens sein, damit er - bei gegebener Länge und ohne angehoben zu werden - um eine Flurecke geschoben werden kann?

    Du kannst bei dieser Aufgabe Argumentieren - Schätzen - Experimentieren - Rechnen.

    1. Argumentieren - schätzen

      Beschreibe, wie ein Schrank um die Ecke geschoben werden muss, damit seine Breite bei gegebener Länge möglichst groß sein kann.

      Fertige eine Skizze im Maßstab 1:20 (Flurmaße 2m auf 1,5 m) und schätze die maximale Breite für einen 3 m langen Schrank.

      Unter welcher Abänderung der Aufgabenstellung könnte der Schrank auch dann noch "um die Ecke" gebracht werden, wenn er etwas zu breit ist?

    2. Experimentieren

      Mit dem gegebenen Geogebra-Applet kannst du die maximale Breite des 3 m langen Schrankes graphisch ermitteln, indem du den Gleiterpunkt B verschiebst.

    3. Berechne für jeden Punkt B die mögliche Schrankbreite b(x).

      Bild

    4. Bestimmung des Minimums der Breitenfunktion b(x)

      Die Breitenfunktion b(x) ist definiert von x = 0 bis x = 3. Sie misst für jede Position des Gleitpunktes B den "dicksten" Schrank der gerade noch um die Ecke geschoben werden kann.

      Zur Lösung des Schrankproblems braucht man den "dünnsten" aller Schränke, d.h. das Minimum von b(x).

      Bestätige für zwei Sonderlagen von B die Richtigkeit des Rechenergebnisses

      Berechne die Ableitung von b(x) und löse die Gleichung b'(x) = 0 auf graphischem Wege, da sie algebraisch nicht gelöst werden kann.

    5. Und was ist mit einer Vorhangstange?

      Bestimme die maximale Länge einer waagrecht getragenen Vorhangstange, die durch den Flur (2 m auf 1,5 m) kommt.

    6. Peter unternimmt mit seinem Verein eine Floßfahrt. Ob sie aber auch gutgeht?

      Mit dem nachfolgenden Geogebra-Applet kannst du experimentell durch Verschieben des Gleiterpunktes G ermitteln, ob der "schwimmende Schrank" (18 m x 4,8 m) um die Flußecke (6 m auf 10 m) kommt.


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