Aufgaben zum Skalarprodukt -2D

Das Skalarprodukt wird allgemein gebildet durch

Hier also:

Das heißt: Das Skalarprodukt von ${\overrightarrow{v}}_1$ und ${\overrightarrow{v}}_2$ ist $11$.

Das Skalarprodukt wird allgemein gebildet durch

Hier also:

Hier stehen die Vektoren senkrecht aufeinander, da das Skalarprodukt $0$ ist.

Das Skalarprodukt wird allgemein gebildet durch

Hier also:

Das Skalarprodukt von ${\overrightarrow{c}}_1$ und ${\overrightarrow{c}}_2$ ist $6$.

Das Skalarprodukt wird allgemein gebildet durch

Hier also:

Das Skalarprodukt von ${\overrightarrow{d}}_1$ und ${\overrightarrow{d}}_2$ ist $0$. Die Vektoren stehen somit senkrecht aufeinander.

Das Skalarprodukt von $\overrightarrow{u}$ und $\overrightarrow{v}$ ist $0$. (Die Vektoren stehen also senkrecht aufeinander.)

Das Skalarprodukt von $\overrightarrow{u}$ und $\overrightarrow{v}$ ist $\mathrm{5,5}$.

Tipp: Wenn du ganz genau hinschaust, musst du eigentlich nicht rechnen. An welcher Stelle kommt eine Null bei $\overrightarrow{u}$ vor? Und an welcher Stelle bei $\overrightarrow{v}$?

Skalarprodukt berechnen

Das Skalarprodukt zweier Vektoren kannst du anhand der Formel berechnen, wie du hier siehst. Oder du verwendest den Tipp und siehst die Antwort sofort.

$\begin{array}{rcl}\overrightarrow{u}\circ \overrightarrow{v}& =& \left(\begin{array}{c}0\\ -3\pi \end{array}\right)\circ \left(\begin{array}{c}\sqrt{2}\\ 0\end{array}\right)\\ & =& 0\cdot \sqrt{2}+(-3\pi )\cdot 0\\ & =& 0-0\\ & =& 0\end{array}$

Das Skalarprodukt von $\overrightarrow{u}$ und $\overrightarrow{v}$ ist $0$. (Die beiden Vektoren stehen also senkrecht aufeinander.)

Tipp: Hier hast du es mit Polarkoordinaten zu tun.

Skalarprodukt berechnen

In dieser Aufgabe kannst du nicht sofort das Skalarprodukt berechnen, da du es mit Polarkoordinaten zu tuen hast, wie der Tipp bereits erwähnt. Deshalb musst du zuerst die Polarkoordinaten in kartesiche Koordinaten umrechnen und anschließend das Skalarprodukt berechnen.

Umrechnung in kartesische Koordinaten

Allgemein gilt für die Umrechnung eines Vektors in Polarkoordinaten $(r,\phi )$:

$x=r\cdot \cos \phi$ und $y=r\cdot \sin \phi$

Setze in diese Formel ein.

$\overrightarrow{a}$: $a_1=2\sqrt{2}\cdot \cos {45}^{\circ }=2\sqrt{2}\cdot {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}=2$

und $a_2=2\sqrt{2}\cdot \sin {45}^{\circ }=2\sqrt{2}\cdot {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}=2$

$\overrightarrow{b}$: $b_1=\sqrt{3}\cdot \cos {120}^{\circ }=\sqrt{3}\cdot (-{\displaystyle \frac{1}{2}})=-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$ und

$b_2=\sqrt{3}\cdot \sin {120}^{\circ }=\sqrt{3}\cdot {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}={\displaystyle \frac{3}{2}}$

Damit erhältst du die folgenden Vektoren in kartesischer Form.

$\overrightarrow{a}=\left(\begin{array}{c}2\\ 2\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{b}=\left(\begin{array}{c}-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\\ {\displaystyle \frac{3}{2}}\end{array}\right)$

Skalarprodukt berechnen:

Das Skalarprodukt wird allgemein gebildet durch

$\overrightarrow{a}\circ \overrightarrow{b}=\left(\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\end{array}\right)\circ \left(\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\end{array}\right)=a_1\cdot b_1+a_2\cdot b_2$.

Hier also:

$\overrightarrow{a}\circ \overrightarrow{b}=\left(\begin{array}{c}2\\ 2\end{array}\right)\circ \left(\begin{array}{c}-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\\ {\displaystyle \frac{3}{2}}\end{array}\right)=2\cdot (-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}})+2\cdot {\displaystyle \frac{3}{2}}=-\sqrt{3}+3=3-\sqrt{3}\approx \mathrm{1,27}$

Das Skalarprodukt von $\overrightarrow{a}$ und $\overrightarrow{b}$ ist somit $3-\sqrt{3}$.

Zwei Vektoren stehen senkrecht aufeinander, wenn ihr Skalarprodukt $0$ ergibt.

$\overrightarrow{a}\circ \overrightarrow{b}=\left(\begin{array}{c}-2\\ 2\end{array}\right)\circ \left(\begin{array}{c}-1\\ -1\end{array}\right)=(-2)\cdot (-1)+2\cdot (-1)=2-2=0$

Das Skalarprodukt von $\overrightarrow{a}$ und $\overrightarrow{b}$ ist $0$. Die beiden Vektoren stehen also senkrecht aufeinander.

Zwei Vektoren stehen senkrecht aufeinander, wenn ihr Skalarprodukt $0$ ergibt.

$\overrightarrow{a}\odot \overrightarrow{b}=\left(\begin{array}{c}6\\ 4\end{array}\right)\odot \left(\begin{array}{c}\mathrm{0,5}\\ -1\end{array}\right)=6\cdot \mathrm{0,5}+4\cdot (-1)=3-4=-1$

Das Skalarprodukt von $\overrightarrow{a}$ und $\overrightarrow{b}$ ist $-1$.Die beiden Vektoren stehen also nicht senkrecht aufeinander.

Zwei Vektoren stehen senkrecht aufeinander, wenn ihr Skalarprodukt $0$ ergibt.

$\overrightarrow{a}\odot \overrightarrow{b}$ $=\left(\begin{array}{c}2\pi \\ 7\end{array}\right)\odot$ $\left(\begin{array}{c}-3.5\\ \pi \end{array}\right)$ =$2\pi \cdot (-3.5)+7\cdot \pi$$=7\pi -7\pi =0$

Das Skalarprodukt von $\overrightarrow{a}$ und $\overrightarrow{b}$ ist $0$.Die beiden Vektoren stehen also senkrecht aufeinander.

Orthogonalität von Vektoren

Zwei Vektoren stehen senkrecht aufeinander, wenn ihr Skalarprodukt $0$ ergibt.

$\overrightarrow{a}\odot \overrightarrow{b}=\left(\begin{array}{c}\sqrt{6}\\ -\sqrt{3}\end{array}\right)\odot \left(\begin{array}{c}\sqrt{2}\\ 2\end{array}\right)=\sqrt{6}\cdot \sqrt{2}+(-\sqrt{3})\cdot 2=\sqrt{12}-2\sqrt{3}$

Falls du einen Taschenrechner benutzt, ist die Rechnung natürlich kein Problem. Mit einer kleinen Nebenrechnung kommst du aber auch ohne Nebenrechnung weiter.

Nebenrechnung: $2\sqrt{3}=\sqrt{4}\cdot \sqrt{3}=\sqrt{4\cdot 3}=\sqrt{12}$

Damit ergibt sich insgesamt: $\sqrt{12}-2\sqrt{3}=\sqrt{12}-\sqrt{12}=0$

Das Skalarprodukt von $\overrightarrow{a}$ und $\overrightarrow{b}$ ist $0$. Die beiden Vektoren stehen also senkrecht aufeinander.

Orthogonale Vektoren

Berechne das Skalarprodukt der beiden Vektoren. Wähle $x$ so, dass das Skalarprodukt der beiden Vektoren $0$ wird.

Du berechnest das Skalarprodukt wie folgt:

$\overrightarrow{a}\circ \overrightarrow{b}=\left(\begin{array}{c}3\\ 9\end{array}\right)\circ \left(\begin{array}{c}2x\\ 6\end{array}\right)=3\cdot 2x+9\cdot 6$

Wenn zwei Vektoren aufeinander senkrecht stehen, ist ihr Skalarprodukt $0$. Setze deshalb das Skalarprodukt gleich $0$ und löse nach $x$ auf!

$3\cdot 2x+9\cdot 6\stackrel{!}{=}0$

Somit musst du $x=-9$ setzen, damit die beiden Vektoren senkrecht aufeinander stehen. Der Vektor $\overrightarrow{b}$ ist also:

$\overrightarrow{b}=\left(\begin{array}{c}2x\\ 6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\cdot (-9)\\ 6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-18\\ 6\end{array}\right)$

Orthogonale Vektoren

Berechne das Skalarprodukt der beiden Vektoren. Wähle $x$, sodass das Skalarprodukt der beiden Vektoren $0$ wird.

Du berechnest das Skalarprodukt wie folgt:

$\overrightarrow{a}\odot \overrightarrow{b}=\left(\begin{array}{c}-x\\ 5\end{array}\right)\odot \left(\begin{array}{c}3\\ 6\end{array}\right)=(-x)\cdot 3+5\cdot 6$

Wenn zwei Vektoren aufeinander senkrecht stehen, ist ihr Skalarprodukt $0$. Setze deshalb das Skalarprodukt gleich $0$ und löse nach $x$ auf!

$(-x)\cdot 3+5\cdot 6\stackrel{!}{=}0$

Somit musst du $x=10$ setzen, damit das Skalarprodukt der beiden Vektoren $0$ ergibt und sie somit senkrecht aufeinander stehen. $\overrightarrow{a}=\left(\begin{array}{c}-10\\ 5\end{array}\right)$

Tipp: Können die Vektoren überhaupt senkrecht zueinander stehen?

Orthogonale Vektoren

Berechne das Skalarprodukt der beiden Vektoren. Wähle $x$ so, dass das Skalarprodukt der beiden Vektoren $0$ wird.

Du berechnest das Skalarprodukt wie folgt:

$\overrightarrow{a}\odot \overrightarrow{b}=\left(\begin{array}{c}0\\ 12\end{array}\right)\odot \left(\begin{array}{c}-3x\\ 4\end{array}\right)=0\cdot (-3x)+12\cdot 4=48$

Du siehst also, dass das Skalarprodukt $48$ beträgt und unabhänigig von $x$ ist. Das Skalarprodukt kann also nicht $0$ werden! Die Vektoren $\overrightarrow{a}$ und $\overrightarrow{b}$ stehen also für keine Wahl von $x$ senkrecht aufeinander!

Orthogonale Vektoren

Berechne das Skalarprodukt der beiden Vektoren. Wähle $x$, sodass das Skalarprodukt der beiden Vektoren $0$ wird.

Du berechnest das Skalarprodukt wie folgt:

$\overrightarrow{a}\odot \overrightarrow{b}=\left(\begin{array}{c}2x-4\\ x\end{array}\right)\odot \left(\begin{array}{c}2\\ x-6\end{array}\right)=(2x-4)\cdot 2+x\cdot (x-6)$

Wenn zwei Vektoren aufeinander senkrecht stehen, ist ihr Skalarprodukt $0$. Setze deshalb das Skalarprodukt gleich $0$ und löse nach $x$ auf!

Das Skalarprodukt ist daher $0$, wenn du $x_1=4$ oder $x_2=-2$ setzt. Also stehen für diese Werte die Vektoren senkrecht aufeinander. Als Vektoren erhältst du dann:

$a_1=\left(\begin{array}{c}4\\ 4\end{array}\right)$ und $b_1=\left(\begin{array}{c}2\\ -2\end{array}\right)$

oder

$a_2=\left(\begin{array}{c}-8\\ -2\end{array}\right)$ und $b_2=\left(\begin{array}{c}2\\ -8\end{array}\right)$

Orthogonale Vektoren

Berechne das Skalarprodukt der beiden Vektoren. Wähle $x$, sodass das Skalarprodukt der beiden Vektoren $0$ wird.

Du berechnest das Skalarprodukt wie folgt:

$\overrightarrow{a}\odot \overrightarrow{b}=\left(\begin{array}{c}3\\ 2x\end{array}\right)\odot \left(\begin{array}{c}{x}^2-5\\ 1-x\end{array}\right)=3\cdot (x^2-5)+2x\cdot (1-x)$

Wenn zwei Vektoren aufeinander senkrecht stehen, ist ihr Skalarprodukt $0$. Setze deshalb das Skalarprodukt gleich $0$ und löse nach $x$ auf!

Das Skalarprodukt ist daher $0$, wenn du $x_1=3$ oder $x_2=-5$ setzt. Also stehen für diese Werte die Vektoren senkrecht aufeinander. Als Vektoren erhältst du dann:

$a_1=\left(\begin{array}{c}3\\ 6\end{array}\right)$ und $b_1=\left(\begin{array}{c}4\\ -2\end{array}\right)$

oder

$a_2=\left(\begin{array}{c}3\\ -10\end{array}\right)$ und $b_2=\left(\begin{array}{c}20\\ 6\end{array}\right)$

Du hast zwei Vektoren gegeben, deren gemeinsamen Winkel du berechnen sollst. Dies geht mit der Formel

In unserem Fall haben wir die beiden Vektoren $\overrightarrow{v}=\left(\begin{array}{c}3\\ 9\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{w}=\left(\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right)$.

Diese setzst du ein und erhätst:

$\cos (\phi )=\frac{\left(\begin{array}{c}3\\ 9\end{array}\right)\circ \left(\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right)}{\left|\left(\begin{array}{c}3\\ 9\end{array}\right)\right|\cdot \left|\left(\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right)\right|}$

Löse die Formel nach $\phi$ um:

$\phi ={\cos }^{-1}\left(\frac{\left(\begin{array}{c}3\\ 9\end{array}\right)\circ \left(\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right)}{\left|\left(\begin{array}{c}3\\ 9\end{array}\right)\right|\cdot \left|\left(\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right)\right|}\right)$

Schließlich bestimmst du das Skalarprodukt für den Zähler sowie die beiden Längen für den Nenner.

$\overrightarrow{v}\circ \overrightarrow{w}=\left(\begin{array}{c}3\\ 9\end{array}\right)\circ \left(\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right)=3\cdot 2+9\cdot 1=15$

$|\overrightarrow{v}|\cdot |\overrightarrow{w}|=(\sqrt{3^2+9^2})\cdot (\sqrt{2^2+1^2})$

$=\sqrt{90}\cdot \sqrt{5}$

$=15\sqrt{2}$

Aus der Division der beiden Ergebisse bekommst du nun den Faktor, den du in den Arkuskosinus einsetzt.

Also beträgt der Schnittwinkel $\phi ={45}^{\circ }$.

In unserem Fall hast du die beiden Vektoren $\overrightarrow{v}=\left(\begin{array}{c}6\\ 0\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{w}=\left(\begin{array}{c}-1\\ -3\end{array}\right)$. Diese setzst du ein und erhältst:

Also beträgt der Schnittwinkel $\phi ={\mathrm{108,4}}^{\circ }$.

In dieser Aufgabe geht es darum, den Winkel zw. zwei Vektoren zu berechnen.

Du hast zwei Vektoren $\overrightarrow{v}=\left(\begin{array}{c}-5\\ -\mathrm{22,5}\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{w}=\left(\begin{array}{c}2\\ 9\end{array}\right)$ gegeben, deren gemeinsamen Winkel du berechnen sollst. Dies geht mit der Formel

$\cos (\phi )=\frac{\overrightarrow{v}\circ \overrightarrow{w}}{|\overrightarrow{v}|\cdot |\overrightarrow{w}|}=\frac{\left(\begin{array}{c}-5\\ -\mathrm{22,5}\end{array}\right)\circ \left(\begin{array}{c}2\\ 9\end{array}\right)}{\left|\left(\begin{array}{c}-5\\ -\mathrm{22,5}\end{array}\right)\right|\cdot \left|\left(\begin{array}{c}2\\ 9\end{array}\right)\right|}=\frac{(-5)\cdot 2+(-\mathrm{22,5})\cdot 9}{\sqrt{(-5{)}^2+(-\mathrm{22,5}{)}^2}\cdot \sqrt{2^2+9^2}}$

Danach bildest du den Arkuskosinus und kommst auf:

Anschaulich bedeutet das, dass die beiden Vektoren genau entgegengesetzt gerichtet sind bzw. dass sich $\overrightarrow{v}$ als $\overrightarrow{v}=k\cdot \overrightarrow{w}$ schreiben lässt, wobei $k$ eine reelle Zahl.

In dieser Aufgabe geht es darum, den Winkel zw. zwei Vektoren zu berechnen.

Du hast zwei Vektoren $\overrightarrow{v}=\left(\begin{array}{c}\mathrm{1,3}\\ -\mathrm{2,4}\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{w}=\left(\begin{array}{c}-\mathrm{4,5}\\ 3\end{array}\right)$ gegeben, deren gemeinsamen Winkel du berechnen sollst. Dies geht mit der Formel

$\cos (\phi )=\frac{\overrightarrow{v}\circ \overrightarrow{w}}{|\overrightarrow{v}|\cdot |\overrightarrow{w}|}=\frac{\left(\begin{array}{c}\mathrm{1,3}\\ -\mathrm{2,4}\end{array}\right)\circ \left(\begin{array}{c}-\mathrm{4,5}\\ 3\end{array}\right)}{\left|\left(\begin{array}{c}\mathrm{1,3}\\ -\mathrm{2,4}\end{array}\right)\right|\cdot \left|\left(\begin{array}{c}-\mathrm{4,5}\\ 3\end{array}\right)\right|}=\frac{\mathrm{1,3}\cdot (-\mathrm{4,5})+(-\mathrm{2,4})\cdot 3}{\sqrt{{\mathrm{1,3}}^2+(-\mathrm{2,4}{)}^2}\cdot \sqrt{(-\mathrm{4,5}{)}^2+3^2}}$

Danach bildest du den Arkuskosinus und kommst auf:

also beträgt der Winkel $\phi ={\mathrm{152,13}}^{\circ }$.

Die Berechnung des Winkels zwischen zwei Vektoren verwendet die Länge der jeweiligen Vektoren und das Skalarprodukt zwischen den beiden. Ein Spezialfall liegt vor, wenn das Skalarprodukt $0$ ist. Das ist genau dann der Fall, wenn die beiden Vektoren senkrecht aufeinander stehen.

Berechne das Skalarprodukt zwischen $\overrightarrow{a}$ und $\overrightarrow{b}$!

$\overrightarrow{a}\odot \overrightarrow{b}=\left(\begin{array}{c}1\\ 3\end{array}\right)\odot \left(\begin{array}{c}-9\\ 3\end{array}\right)=1\cdot (-9)+3\cdot 3=-9+9=0$

Das Skalarprodukt von $\overrightarrow{a}$ und $\overrightarrow{b}$ ist also $0$. Daher stehen die beiden Vektoren senkrecht aufeinander und der eingeschlossene Winkel beträgt also $\phi ={90}^{\circ }$.

Um den eingeschlossenen Winkel zwischen den Vektoren zu berechnen, benötigst du die Länge der beiden Vektoren und das Skalarprodukt von $\overrightarrow{a}$ und $\overrightarrow{b}$. Berechne nun zunächst diese Größen!

Länge der Vektoren berechnen

Zur Berechnung der Länge eines Vektors bildest du das Skalarprodukt des Vektors mit sich selbst und ziehst dann die Wurzel daraus.

Du berechnest zunächst das Skalarprodukt von $\overrightarrow{a}$ mit sich selbst und $\overrightarrow{b}$ mit sich selbst:

$\overrightarrow{a}\circ \overrightarrow{a}=\left(\begin{array}{c}-2\\ 7\end{array}\right)\circ \left(\begin{array}{c}-2\\ 7\end{array}\right)=(-2)\cdot (-2)+7\cdot 7=53$

$\overrightarrow{b}\circ \overrightarrow{b}=\left(\begin{array}{c}5\\ 3\end{array}\right)\circ \left(\begin{array}{c}5\\ 3\end{array}\right)=5\cdot 5+3\cdot 3=34$

Indem du jetzt jeweils die Wurzel aus dem Skalarprodukt ziehst, erhältst du die Längen der Vektoren:

$\left|\overrightarrow{a}\right|=\sqrt{\overrightarrow{a}\circ \overrightarrow{a}}=\sqrt{53}$ und $|\overrightarrow{b}|=\sqrt{\overrightarrow{b}\circ \overrightarrow{b}}=\sqrt{34}$

Skalarprodukt berechnen

Jetzt musst du das Skalarprodukt der beiden Vektoren berechnen.

Das Skalarprodukt wird allgemein gebildet durch $\overrightarrow{a}\circ \overrightarrow{b}=\left(\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\end{array}\right)\circ \left(\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\end{array}\right)=a_1\cdot b_1+a_2\cdot b_2$.

Hier also:

$\overrightarrow{a}\circ \overrightarrow{b}=\left(\begin{array}{c}-2\\ 7\end{array}\right)\circ \left(\begin{array}{c}5\\ 3\end{array}\right)=(-2)\cdot 5+7\cdot 3=-10+21=11$

Das Skalarprodukt von $\overrightarrow{a}$ und $\overrightarrow{b}$ ist somit $11$.

Winkel berechnen

Mit den bisher berchneten Größen kannst du jetzt den gesuchten Winkel berechnen. Dafür benutzt du die Formel zur Winkelberechnung:

$${\displaystyle \phi ={\cos }^{-1}\left(\frac{\overrightarrow{a}\circ \overrightarrow{b}}{\left|\overrightarrow{a}\right|\cdot |\overrightarrow{b}|}\right)}$$

Setze jetzt die bereits berechneten Größen ein!

$${\displaystyle \phi ={\cos }^{-1}\left(\frac{\overrightarrow{a}\circ \overrightarrow{b}}{\left|\overrightarrow{a}\right|\cdot |\overrightarrow{b}|}\right)={\cos }^{-1}\left(\frac{11}{\sqrt{53}\cdot \sqrt{34}}\right)={\mathrm{74,98}}^{\circ }}$$

Der Winkel zwischen den beiden Vektoren beträgt $\phi ={\mathrm{74,98}}^{\circ }$.

Zur Berechnung der Länge des Vektors bildest du das Skalarprodukt des Vektors mit sich selbst und ziehst dann die Wurzel daraus.

Du berechnest zunächst das Skalarprodukt:

Indem du jetzt die Wurzel aus dem Skalarprodukt ziehst, erhältst du die Länge des Vektors:

Die Länge des Vektors ist also $\sqrt{53}$.

Zur Berechnung der Länge des Vektors bildest du das Skalarprodukt des Vektors mit sich selbst und ziehst dann die Wurzel daraus.

Du berechnest zunächst das Skalarprodukt:

Indem du jetzt die Wurzel aus dem Skalarprodukt ziehst, erhältst du die Länge des Vektors:

Die Länge des Vektors ist also $\sqrt{34}$.

Zur Berechnung der Länge des Vektors bildest du das Skalarprodukt des Vektors mit sich selbst und ziehst dann die Wurzel daraus.

Du berechnest zunächst das Skalarprodukt:

Indem du jetzt die Wurzel aus dem Skalarprodukt ziehst, erhältst du die Länge des Vektors:

Die Länge des Vektors ist also $\sqrt{10}$.

Zur Berechnung der Länge des Vektors bildest du das Skalarprodukt des Vektors mit sich selbst und ziehst dann die Wurzel daraus.

Du berechnest zunächst das Skalarprodukt:

Indem du jetzt die Wurzel aus dem Skalarprodukt ziehst, erhältst du die Länge des Vektors:

Die Länge des Vektors ist also $\sqrt{90}$.

In dieser Aufgabe sollst du den Winkel zwischen zwei Geraden bestimmen. Hierzu verwendest du das Skalarprodukt und die Formel zur Berechnung des Winkels.

Richtungsvektoren bestimmen.

Beginne mit dem Aufstellen der Richtungsvektoren.

Der zu $f$ gehörende Richtungsvektor ist $v=\left(\begin{array}{c}1\\ 5\end{array}\right)$. Der zu $g$ gehörende Richtungsvektor ist $w=\left(\begin{array}{c}1\\ -2\end{array}\right)$.

Diese Vektoren nutzt du nun, um den Winkel zwischen den Geraden zu bestimmen.

Um den eingeschlossenen Winkel zwischen den Vektoren zu berechnen, benötigst du die Länge der beiden Vektoren und das Skalarprodukt von $\overrightarrow{v}$ und $\overrightarrow{w}$. Berechne nun zunächst diese Größen!

Länge der Vektoren berechnen

Zur Berechnung der Länge eines Vektors bildest du das Skalarprodukt des Vektors mit sich selbst und ziehst dann die Wurzel daraus.

Du berechnest zunächst das Skalarprodukt von $\overrightarrow{v}$ mit sich selbst und $\overrightarrow{w}$ mit sich selbst:

$\overrightarrow{v}\odot \overrightarrow{v}=\left(\begin{array}{c}1\\ 5\end{array}\right)\odot \left(\begin{array}{c}1\\ 5\end{array}\right)=1\cdot 1+5\cdot 5=26$

$\overrightarrow{w}\odot \overrightarrow{w}=\left(\begin{array}{c}1\\ -2\end{array}\right)\odot \left(\begin{array}{c}1\\ -2\end{array}\right)=1\cdot 1+(-2)\cdot (-2)=5$

Indem du jetzt jeweils die Wurzel aus dem Skalarprodukt ziehst, erhältst du die Längen der Vektoren:

$\left|\overrightarrow{v}\right|=\sqrt{\overrightarrow{v}\odot \overrightarrow{v}}=\sqrt{26}$ und $|\overrightarrow{w}|=\sqrt{\overrightarrow{w}\odot \overrightarrow{w}}=\sqrt{5}$

Skalarprodukt berechnen

Jetzt musst du das Skalarprodukt der beiden Vektoren berechnen.

Das Skalarprodukt wird allgemein gebildet durch $\overrightarrow{v}\odot \overrightarrow{w}=\left(\begin{array}{c}{v}_1\\ v_2\end{array}\right)\odot \left(\begin{array}{c}{w}_1\\ w_2\end{array}\right)=v_1\cdot w_1+v_2\cdot w_2$.

Hier also:

$\overrightarrow{v}\odot \overrightarrow{w}=\left(\begin{array}{c}1\\ 5\end{array}\right)\odot \left(\begin{array}{c}1\\ -2\end{array}\right)=1\cdot 1+5\cdot (-2)=1+(-10)=-9$

Das Skalarprodukt von $\overrightarrow{v}$ und $\overrightarrow{w}$ ist somit $-9$.

Winkel berechnen

Mit den bisher berchneten Größen kannst du jetzt den gesuchten Winkel berechnen. Dafür benutzt du die Formel zur Winkelberechnung:

$${\displaystyle \phi ={\cos }^{-1}\left(\frac{\overrightarrow{v}\odot \overrightarrow{w}}{\left|\overrightarrow{v}\right|\cdot |\overrightarrow{w}|}\right)}$$

Setze jetzt die bereits berechneten Größen ein!

$${\displaystyle \phi ={\cos }^{-1}\left(\frac{\overrightarrow{v}\odot \overrightarrow{w}}{\left|\overrightarrow{v}\right|\cdot |\overrightarrow{w}|}\right)={\cos }^{-1}\left(\frac{-9}{\sqrt{26}\cdot \sqrt{5}}\right)={\mathrm{142,13}}^{\circ }}$$

Der Winkel zwischen den beiden Geraden beträgt $\phi ={\mathrm{142,13}}^{\circ }$.

In dieser Aufgabe sollst du den Winkel zwischen zwei Geraden bestimmen. Hierzu verwendest du das Skalarprodukt und die Formel zur Berechnung des Winkels.

Richtungsvektoren bestimmen.

Beginne mit dem Aufstellen der Richtungsvektoren.

Der zu $f$ gehörende Richtungsvektor ist $v=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)$. Der zu $g$ gehörende Richtungsvektor ist $w=\left(\begin{array}{c}2\\ -3\end{array}\right)$.

Diese Vektoren nutzt du nun, um den Winkel zwischen den Geraden zu bestimmen.

Um den eingeschlossenen Winkel zwischen den Vektoren zu berechnen, benötigst du die Länge der beiden Vektoren und das Skalarprodukt von $\overrightarrow{v}$ und $\overrightarrow{w}$. Berechne nun zunächst diese Größen!

Länge der Vektoren berechnen

Zur Berechnung der Länge eines Vektors bildest du das Skalarprodukt des Vektors mit sich selbst und ziehst dann die Wurzel daraus.

Du berechnest zunächst das Skalarprodukt von $\overrightarrow{v}$ mit sich selbst und $\overrightarrow{w}$ mit sich selbst:

$\overrightarrow{v}\odot \overrightarrow{v}=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)\odot \left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)=1\cdot 1+1\cdot 1=2$

$\overrightarrow{w}\odot \overrightarrow{w}=\left(\begin{array}{c}2\\ -3\end{array}\right)\odot \left(\begin{array}{c}2\\ -3\end{array}\right)=2\cdot 2+(-3)\cdot (-3)=13$

Indem du jetzt jeweils die Wurzel aus dem Skalarprodukt ziehst, erhältst du die Längen der Vektoren:

$\left|\overrightarrow{v}\right|=\sqrt{\overrightarrow{v}\odot \overrightarrow{v}}=\sqrt{2}$ und $|\overrightarrow{w}|=\sqrt{\overrightarrow{w}\odot \overrightarrow{w}}=\sqrt{13}$

Skalarprodukt berechnen

Jetzt musst du das Skalarprodukt der beiden Vektoren berechnen.

Das Skalarprodukt wird allgemein gebildet durch $\overrightarrow{v}\odot \overrightarrow{w}=\left(\begin{array}{c}{v}_1\\ v_2\end{array}\right)\odot \left(\begin{array}{c}{w}_1\\ w_2\end{array}\right)=v_1\cdot w_1+v_2\cdot w_2$.

Hier also:

$\overrightarrow{v}\odot \overrightarrow{w}=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)\odot \left(\begin{array}{c}2\\ -3\end{array}\right)=1\cdot 2+1\cdot (-3)=2+(-3)=-1$

Das Skalarprodukt von $\overrightarrow{v}$ und $\overrightarrow{w}$ ist somit $-1$.

Winkel berechnen

Mit den bisher berchneten Größen kannst du jetzt den gesuchten Winkel berechnen. Dafür benutzt du die Formel zur Winkelberechnung:

$${\displaystyle \phi ={\cos }^{-1}\left(\frac{\overrightarrow{v}\odot \overrightarrow{w}}{\left|\overrightarrow{v}\right|\cdot |\overrightarrow{w}|}\right)}$$

Setze jetzt die bereits berechneten Größen ein!

$${\displaystyle \phi ={\cos }^{-1}\left(\frac{\overrightarrow{v}\odot \overrightarrow{w}}{\left|\overrightarrow{v}\right|\cdot |\overrightarrow{w}|}\right)={\cos }^{-1}\left(\frac{-1}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{13}}\right)={\mathrm{101,31}}^{\circ }}$$

Der Winkel zwischen den beiden Geraden beträgt $\phi ={\mathrm{101,31}}^{\circ }$.

In dieser Aufgabe sollst du den Winkel zwischen zwei Geraden bestimmen. Hierzu verwendest du das Skalarprodukt und die Formel zur Berechnung des Winkels.

Richtungsvektoren bestimmen.

Beginne mit dem Aufstellen der Richtungsvektoren.

Der zu $f$ gehörende Richtungsvektor ist $v=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right)$. Der zu $g$ gehörende Richtungsvektor ist $w=\left(\begin{array}{c}2\\ -1\end{array}\right)$.

Diese Vektoren nutzt du nun, um den Winkel zwischen den Geraden zu bestimmen.

Hier kannst du entweder analog zu den anderen Aufgaben vorgehen, oder du erkennst, dass die Vektoren senkrecht aufeinander stehen. Das siehst du daran, dass das Skalarprodukt $0$ ergibt.

Um den eingeschlossenen Winkel zwischen den Vektoren zu berechnen, benötigst du die Länge der beiden Vektoren und das Skalarprodukt von $\overrightarrow{a}$ und $\overrightarrow{b}$. Berechne nun zunächst diese Größen!

Länge der Vektoren berechnen

Zur Berechnung der Länge eines Vektors bildest du das Skalarprodukt des Vektors mit sich selbst und ziehst dann die Wurzel daraus.

Du berechnest zunächst das Skalarprodukt von $\overrightarrow{v}$ mit sich selbst und $\overrightarrow{w}$ mit sich selbst:

$\overrightarrow{v}\odot \overrightarrow{v}=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right)\odot \left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right)=1\cdot 1+2\cdot 2=5$

$\overrightarrow{w}\odot \overrightarrow{w}=\left(\begin{array}{c}2\\ -1\end{array}\right)\odot \left(\begin{array}{c}2\\ -1\end{array}\right)=2\cdot 2+(-1)\cdot (-1)=5$

Indem du jetzt jeweils die Wurzel aus dem Skalarprodukt ziehst, erhältst du die Längen der Vektoren:

$\left|\overrightarrow{v}\right|=\sqrt{\overrightarrow{v}\odot \overrightarrow{v}}=\sqrt{5}$ und $|\overrightarrow{w}|=\sqrt{\overrightarrow{w}\odot \overrightarrow{w}}=\sqrt{5}$