Steckbriefaufgaben - lernen mit Serlo!

Bestimme jeweils eine Funktion, die folgende Eigenschaften besitzt.

Die Funktion ist vom Grad 2, besitzt zwei Nullstellen bei $x_{1} = 1$ , $x_{2} = 2$ und geht durch den Punkt $P (3 ∣ - 2)$ .

Die Funktion ist vom Grad 3, besitzt eine doppelte Nullstelle bei $x_{1{,}2}=-2$ , eine einfache Nullstelle bei $x_{3} = 0$ und verläuft durch den Punkt $P (- 1 ∣ - 2)$ .

Die Funktion ist vom Grad 4 und achsensymmetrisch, besitzt eine einfache Nullstelle bei $x = - 1$ und verläuft durch die Punkte $P (0 ∣ - 4)$ und $Q (2 ∣ 24)$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Steckbriefaufgabe

Gegenstand einer Steckbriefaufgabe ist die exakte Bestimmung eines Funktionsterms anhand von vorgegebenen Informationen.

Eine Funktion 4. Grades hat die allgemeine Form $f (x) = a x^{4} + b x^{3} + c x^{2} + d x + e$ . Da die Funktion achsensymmetrisch ist, entfallen alle Potenzen mit ungeraden Exponenten und es ergibt sich $f (x) = a x^{4} + c x^{2} + e$ .

Aus den gegebenen Punkten und der der Nullstelle, kannst du drei Gleichungen aufstellen, die alle erfüllt sein müssen.

Punkt $\mathrm{P}$ einsetzen

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle ax^4+cx^2+e$
	↓	Setze den Punkt $\mathrm{P}(0\|-4)$ in die Gleichung ein.
$\displaystyle -4$	$=$	$\displaystyle a\cdot0^4+c\cdot0^2+e$
$\displaystyle -4$	$=$	$\displaystyle e$
	↓	$I$

Punkt $\mathrm{Q}$ einsetzen

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle ax^4+cx^2+e$
	↓	Setze den Punkt $\mathrm{Q}(2\|24)$ in die Gleichung ein.
$\displaystyle 24$	$=$	$\displaystyle a\cdot2^4+c\cdot2^2+e$
$\displaystyle 24$	$=$	$\displaystyle 16a+4c+e$
	↓	$I I$

Nullstelle einsetzen

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle ax^4+cx^2+e$
	↓	Setze die Nullstelle $x = - 1$ in die Gleichung ein.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle a\cdot(-1)^4+c\cdot(-1)^2+e$
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle a+c+e$
	↓	$I I I$

Lineares Gleichungssystem aufstellen und lösen

Das Gleichungssystem lautet also:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrll}\mathrm{I} &-4& = &&&&&e&\\\mathrm{II} &24& = &16a& + &4c& + &e\\\mathrm{III} &0& = &a& + &c& + &e&\end{array}$

Löse das Lineare Gleichungssystem.

Aus der ersten Gleichung folgt direkt: $e = - 4$

Setze $e = - 4$ in die anderen beiden Gleichungen ein:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrll}\mathrm{II'} &24& = &16a& + &4c& - &4&|:4\\ &6& = &4a& + &c& - &1&\\\mathrm{III'} &0& = &a& + &c& - &4&\end{array}$

Löse nun das neue Lineare Gleichungssystem. Hier bietet sich das Einsetzungsverfahren an, indem man z.B. nach $c$ in der Gleichung $\mathrm{III'}$ auflöst.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrll}\mathrm{III'} &0&&& = &a& + &c& - &4&|+4\\ &4& &&= &a& + &c& &&|-a\\ &4& - &a& = && &c& &&|-a\end{array}$

Nun kannst du $c = 4 - a$ in der Gleichung $\mathrm{II'}$ ersetzen und dann vereinfachen:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrll}\mathrm{II''} &6& = &4a& + &4-a& - &1&\\&6& = &3a& + &3& &&|-3\\&3& = &3a& && &&|:3\\&1& = &a& \end{array}$

Aus Gleichung $\mathrm{III'}$ weißt du, dass $c = 4 - a$ . Setze $a = 1$ in diese Gleichung ein.

$c = 4 - 1 = 3$

Stelle nun mit den herausgefundenen Koeffizienten $a = 1$ , $c = 3$ und $e = - 4$ den Funktionsterm auf.

$f (x) = x^{4} + 3 x^{2} - 4$

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Die Funktion ist vom Grad 3, punktsymmetrisch und verläuft durch die Punkte $P\left(1|-1{,}5\right)$ und $Q\left(3|7{,}5\right)$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Steckbriefaufgabe

Gegenstand einer Steckbriefaufgabe ist die exakte Bestimmung eines Funktionsterms anhand von vorgegebenen Informationen.

Eine Funktion 3. Grades hat die allgemeine Form $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ . Da die Funktion punktsymmetrisch ist, entfallen alle Potenzen mit geraden Exponenten und es ergibt sich $f (x) = a x^{3} + c x$ .

Aus den gegebenen Punkten kannst du zwei Gleichungen aufstellen, die beide erfüllt sein müssen.

Punkt $\mathrm{P}$ einsetzen

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle ax^3+cx$
	↓	Setze den Punkt $\mathrm{P}(1\|-1{,}5)$ in die Gleichung ein.
$\displaystyle -1{,}5$	$=$	$\displaystyle a\cdot1^3+c\cdot1$
$\displaystyle -1{,}5$	$=$	$\displaystyle a+c$
	↓	$I$

Punkt $\mathrm{Q}$ einsetzen

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle ax^3+cx$
	↓	Setze den Punkt $\mathrm{Q}(3\|7{,}5)$ in die Gleichung ein.
$\displaystyle 7{,}5$	$=$	$\displaystyle a\cdot3^3+c\cdot3$
$\displaystyle 7{,}5$	$=$	$\displaystyle 27a+3c$

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrll}\mathrm{II}&7{,}5& = &27a& + &3c&|:3\\ &2{,}5& = &9a& + &c&\end{array}$

Lineares Gleichungssystem aufstellen und lösen

Das Gleichungssystem lautet also:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrll}\mathrm{I} &-1{,}5& = &a& + &c&\\\mathrm{II} &2{,}5& = &9a& + &c&\end{array}$

Löse das Lineare Gleichungssystem.

Hier bietet sich das Einsetzungsverfahren an, indem man z.B. nach $c$ in der Gleichung $\mathrm{I}$ auflöst.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrll}\mathrm{I} &-1{,}5&&& = &a& + &c&|-a\\ &-1{,}5& - &a& = && &c&\end{array}$

Nun kannst du $c = - 1,5 - a$ in der Gleichung $\mathrm{II}$ ersetzen und dann vereinfachen:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrll}\mathrm{II'} &2{,}5& = &9a& - &1{,}5-a&\\ &2{,}5& = &8a& - &1{,}5&|+1{,}5\\ &4& = &8a& &&|:8\\ &\frac12& = &a& &&|:8\end{array}$

Aus Gleichung $\mathrm{I}$ weißt du, dass $c = - 1,5 - a$ . Setze $a=\frac12$ in diese Gleichung ein.

$c=-1{,}5-\frac12=-2$

Stelle nun mit den herausgefundenen Koeffizienten $a=\frac12$ und $c = - 2$ den Funktionsterm auf.

$f(x)=\frac12x^3-2x$

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Die Funktion ist vom Grad 4 und achsensymmetrisch, besitzt eine doppelte Nullstelle bei $x_{1{,}2}=1$ und geht durch den Punkt $P (0 ∣ 3)$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Steckbriefaufgabe

Gegenstand einer Steckbriefaufgabe ist die exakte Bestimmung eines Funktionsterms anhand von vorgegebenen Informationen.

Eine Funktion 4. Grades hat die allgemeine Form $f (x) = a x^{4} + b x^{3} + c x^{2} + d x + e$ bzw. die Nullstellenform $f(x)=a\cdot(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)(x-x_4)$ .

Die Funktion besitzt eine doppelte Nullstelle bei $x_{1{,}2}=1$ . Da die Funktion achsensymmetrisch ist, hat sie ebenfalls eine doppelte Nullstelle bei $x_{3{,}4}=-1$ . Somit kann man die Nullstellenform aufstellen:

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle a\cdot\left(x-1\right)\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x+1\right)$
	↓	Außerdem liegt der Punkt $P (0 ∣ 3)$ auf der Funktion. Setze $P$ in die Gleichung ein und löse nach $a$ auf.
$\displaystyle 3$	$=$	$\displaystyle a\cdot\left(0-1\right)\left(0-1\right)\left(0+1\right)\left(0+1\right)$
$\displaystyle 3$	$=$	$\displaystyle a\cdot\left(-1\right)\cdot\left(-1\right)\cdot1\cdot1$
	↓	Stelle nun den Funktionsterm auf.
$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle 3\cdot\left(x-1\right)\left(x+1\right)\cdot\left(x-1\right)\left(x+1\right)$
	↓	Bringe die Funktion in die allgemeine Form. Multipliziere dafür die Klammern aus.
$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle 3\cdot\left(x-1\right)\left(x+1\right)\cdot\left(x-1\right)\left(x+1\right)$
	↓	3. binomische Formel anwenden.
$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle 3\cdot\left(x^2-1\right)\cdot\left(x^2-1\right)$
$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle 3\cdot\left(x^4-2x^2+1\right)$
$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle 3x^4-6x^2+3$

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$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle a\cdot\left(x-1\right)\left(x-2\right)$
	↓	Außerdem liegt der Punkt $P (3 ∣ - 2)$ auf der Funktion. Setze $P$ in die Gleichung ein und löse nach $a$ auf.
$\displaystyle -2$	$=$	$\displaystyle a\cdot\left(3-1\right)\left(3-2\right)$
$\displaystyle -2$	$=$	$\displaystyle a\cdot2\cdot1$
$\displaystyle -2$	$=$	$\displaystyle 2a$	$\displaystyle :2$
$\displaystyle -1$	$=$	$\displaystyle a$
	↓	Stelle nun den Funktionsterm auf.
$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle -1\cdot\left(x-1\right)\left(x-2\right)$
	↓	Bringe die Funktion in die allgemeine Form. Multipliziere dafür die Klammern aus.
$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle -1\left(x^2-3x+2\right)$
$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle -x^2+3x-2$

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle a\cdot\left(x+2\right)\left(x+2\right)\left(x-0\right)$
	↓	Außerdem liegt der Punkt $P (- 1 ∣ - 2)$ auf der Funktion. Setze $P$ in die Gleichung ein und löse nach $a$ auf.
$\displaystyle -2$	$=$	$\displaystyle a\cdot\left(-1+2\right)\left(-1+2\right)\left(-1-0\right)$
	$=$	$\displaystyle a\cdot1\cdot1\left(-1\right)$	$\displaystyle :\left(-1\right)$
	$=$	$\displaystyle -a$
$\displaystyle 2$	$=$	$\displaystyle a$
	↓	Stelle nun den Funktionsterm auf.
$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle 2\cdot\left(x+2\right)\left(x+2\right)\left(x+0\right)$
	↓	Bringe die Funktion in die allgemeine Form. Multipliziere dafür die Klammern aus.
	$=$	$\displaystyle 2x\left(x^2+4x+4\right)$
	$=$	$\displaystyle 2x^3+8x^2+8x$

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Punkt P\mathrm{P}P einsetzen

Punkt Q\mathrm{Q}Q einsetzen

Nullstelle einsetzen

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Punkt P\mathrm{P}P einsetzen

Punkt Q\mathrm{Q}Q einsetzen

Lineares Gleichungssystem aufstellen und lösen

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Punkt $\mathrm{P}$ einsetzen

Punkt $\mathrm{Q}$ einsetzen

Punkt $\mathrm{P}$ einsetzen

Punkt $\mathrm{Q}$ einsetzen