Steckbriefaufgaben - lernen mit Serlo!

Bestimme jeweils eine Funktion, die folgende Eigenschaften besitzt.

Die Funktion ist vom Grad 2, besitzt zwei Nullstellen bei $x_{1} = 1$ , $x_{2} = 2$ und geht durch den Punkt $P (3 | - 2)$ .

Die Funktion ist vom Grad 3, besitzt eine doppelte Nullstelle bei $x_{1,2} = - 2$ , eine einfache Nullstelle bei $x_{3} = 0$ und verläuft durch den Punkt $P (- 1 | - 2)$ .

Die Funktion ist vom Grad 4 und achsensymmetrisch, besitzt eine einfache Nullstelle bei $x = - 1$ und verläuft durch die Punkte $P (0 | - 4)$ und $Q (2 | 24)$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Steckbriefaufgabe
Gegenstand einer Steckbriefaufgabe ist die exakte Bestimmung eines Funktionsterms anhand von vorgegebenen Informationen.
Eine Funktion 4. Grades hat die allgemeine Form $f (x) = a x^{4} + b x^{3} + c x^{2} + d x + e$ . Da die Funktion achsensymmetrisch ist, entfallen alle Potenzen mit ungeraden Exponenten und es ergibt sich $f (x) = a x^{4} + c x^{2} + e$ .
Aus den gegebenen Punkten und der der Nullstelle, kannst du drei Gleichungen aufstellen, die alle erfüllt sein müssen.
Punkt $P$ einsetzen
$f (x)$ $=$ $a x^{4} + c x^{2} + e$
↓
Setze den Punkt $P (0 | - 4)$ in die Gleichung ein.
$- 4$ $=$ $a \cdot 0^{4} + c \cdot 0^{2} + e$
$- 4$ $=$ $e$
↓
$I$
Punkt $Q$ einsetzen
$f (x)$ $=$ $a x^{4} + c x^{2} + e$
↓
Setze den Punkt $Q (2 | 24)$ in die Gleichung ein.
$24$ $=$ $a \cdot 2^{4} + c \cdot 2^{2} + e$
$24$ $=$ $16 a + 4 c + e$
↓
$I I$
Nullstelle einsetzen
$f (x)$ $=$ $a x^{4} + c x^{2} + e$
↓
Setze die Nullstelle $x = - 1$ in die Gleichung ein.
$0$ $=$ $a \cdot (- 1)^{4} + c \cdot (- 1)^{2} + e$
$0$ $=$ $a + c + e$
↓
$I I I$
Lineares Gleichungssystem aufstellen und lösen
Das Gleichungssystem lautet also:
$\begin{array}{rrll} I & - 4 & = & e \\ II & 24 & = & 16 a & + & 4 c & + & e \\ III & 0 & = & a & + & c & + & e \end{array}$
Löse das Lineare Gleichungssystem.
Aus der ersten Gleichung folgt direkt: $e = - 4$
Setze $e = - 4$ in die anderen beiden Gleichungen ein:
$\begin{array}{rrll} I I^{'} & 24 & = & 16 a & + & 4 c & - & 4 & | : 4 \\ 6 & = & 4 a & + & c & - & 1 \\ I I I^{'} & 0 & = & a & + & c & - & 4 \end{array}$
Löse nun das neue Lineare Gleichungssystem. Hier bietet sich das Einsetzungsverfahren an, indem man z.B. nach $c$ in der Gleichung $I I I^{'}$ auflöst.
$\begin{array}{rrll} I I I^{'} & 0 & = & a & + & c & - & 4 & | + 4 \\ 4 & = & a & + & c & | - a \\ 4 & - & a & = & c & | - a \end{array}$
Nun kannst du $c = 4 - a$ in der Gleichung $I I^{'}$ ersetzen und dann vereinfachen:
$\begin{array}{rrll} I I^{''} & 6 & = & 4 a & + & 4 - a & - & 1 \\ 6 & = & 3 a & + & 3 & | - 3 \\ 3 & = & 3 a & | : 3 \\ 1 & = & a \end{array}$
Aus Gleichung $I I I^{'}$ weißt du, dass $c = 4 - a$ . Setze $a = 1$ in diese Gleichung ein.
$c = 4 - 1 = 3$
Stelle nun mit den herausgefundenen Koeffizienten $a = 1$ , $c = 3$ und $e = - 4$ den Funktionsterm auf.
$f (x) = x^{4} + 3 x^{2} - 4$
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Die Funktion ist vom Grad 3, punktsymmetrisch und verläuft durch die Punkte $P (1 | - 1,5)$ und $Q (3 | 7,5)$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Steckbriefaufgabe
Gegenstand einer Steckbriefaufgabe ist die exakte Bestimmung eines Funktionsterms anhand von vorgegebenen Informationen.
Eine Funktion 3. Grades hat die allgemeine Form $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ . Da die Funktion punktsymmetrisch ist, entfallen alle Potenzen mit geraden Exponenten und es ergibt sich $f (x) = a x^{3} + c x$ .
Aus den gegebenen Punkten kannst du zwei Gleichungen aufstellen, die beide erfüllt sein müssen.
Punkt $P$ einsetzen
$f (x)$ $=$ $a x^{3} + c x$
↓
Setze den Punkt $P (1 | - 1,5)$ in die Gleichung ein.
$- 1,5$ $=$ $a \cdot 1^{3} + c \cdot 1$
$- 1,5$ $=$ $a + c$
↓
$I$
Punkt $Q$ einsetzen
$f (x)$ $=$ $a x^{3} + c x$
↓
Setze den Punkt $Q (3 | 7,5)$ in die Gleichung ein.
$7,5$ $=$ $a \cdot 3^{3} + c \cdot 3$
$7,5$ $=$ $27 a + 3 c$
$\begin{array}{rrll} II & 7,5 & = & 27 a & + & 3 c & | : 3 \\ 2,5 & = & 9 a & + & c \end{array}$
Lineares Gleichungssystem aufstellen und lösen
Das Gleichungssystem lautet also:
$\begin{array}{rrll} I & - 1,5 & = & a & + & c \\ II & 2,5 & = & 9 a & + & c \end{array}$
Löse das Lineare Gleichungssystem.
Hier bietet sich das Einsetzungsverfahren an, indem man z.B. nach $c$ in der Gleichung $I$ auflöst.
$\begin{array}{rrll} I & - 1,5 & = & a & + & c & | - a \\ - 1,5 & - & a & = & c \end{array}$
Nun kannst du $c = - 1,5 - a$ in der Gleichung $II$ ersetzen und dann vereinfachen:
$\begin{array}{rrll} I I^{'} & 2,5 & = & 9 a & - & 1,5 - a \\ 2,5 & = & 8 a & - & 1,5 & | + 1,5 \\ 4 & = & 8 a & | : 8 \\ \frac{1}{2} & = & a & | : 8 \end{array}$
Aus Gleichung $I$ weißt du, dass $c = - 1,5 - a$ . Setze $a = \frac{1}{2}$ in diese Gleichung ein.
$c = - 1,5 - \frac{1}{2} = - 2$
Stelle nun mit den herausgefundenen Koeffizienten $a = \frac{1}{2}$ und $c = - 2$ den Funktionsterm auf.
$f (x) = \frac{1}{2} x^{3} - 2 x$
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Die Funktion ist vom Grad 4 und achsensymmetrisch, besitzt eine doppelte Nullstelle bei $x_{1,2} = 1$ und geht durch den Punkt $P (0 | 3)$ .

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CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$f (x)$	$=$	$a \cdot (x - 1) (x - 2)$
	↓	Außerdem liegt der Punkt $P (3 \| - 2)$ auf der Funktion. Setze $P$ in die Gleichung ein und löse nach $a$ auf.
$- 2$	$=$	$a \cdot (3 - 1) (3 - 2)$
$- 2$	$=$	$a \cdot 2 \cdot 1$
$- 2$	$=$	$2 a$	$: 2$
$- 1$	$=$	$a$
	↓	Stelle nun den Funktionsterm auf.
$f (x)$	$=$	$- 1 \cdot (x - 1) (x - 2)$
	↓	Bringe die Funktion in die allgemeine Form. Multipliziere dafür die Klammern aus.
$f (x)$	$=$	$- 1 (x^{2} - 3 x + 2)$
$f (x)$	$=$	$- x^{2} + 3 x - 2$

$f (x)$	$=$	$a \cdot (x + 2) (x + 2) (x - 0)$
	↓	Außerdem liegt der Punkt $P (- 1 \| - 2)$ auf der Funktion. Setze $P$ in die Gleichung ein und löse nach $a$ auf.
$- 2$	$=$	$a \cdot (- 1 + 2) (- 1 + 2) (- 1 - 0)$
	$=$	$a \cdot 1 \cdot 1 (- 1)$	$: (- 1)$
	$=$	$- a$
$2$	$=$	$a$
	↓	Stelle nun den Funktionsterm auf.
$f (x)$	$=$	$2 \cdot (x + 2) (x + 2) (x + 0)$
	↓	Bringe die Funktion in die allgemeine Form. Multipliziere dafür die Klammern aus.
	$=$	$2 x (x^{2} + 4 x + 4)$
	$=$	$2 x^{3} + 8 x^{2} + 8 x$

$f (x)$	$=$	$a x^{4} + c x^{2} + e$
	↓	Setze den Punkt $P (0 \| - 4)$ in die Gleichung ein.
$- 4$	$=$	$a \cdot 0^{4} + c \cdot 0^{2} + e$
$- 4$	$=$	$e$
	↓	$I$

$f (x)$	$=$	$a x^{4} + c x^{2} + e$
	↓	Setze den Punkt $Q (2 \| 24)$ in die Gleichung ein.
$24$	$=$	$a \cdot 2^{4} + c \cdot 2^{2} + e$
$24$	$=$	$16 a + 4 c + e$
	↓	$I I$

$f (x)$	$=$	$a x^{4} + c x^{2} + e$
	↓	Setze die Nullstelle $x = - 1$ in die Gleichung ein.
$0$	$=$	$a \cdot (- 1)^{4} + c \cdot (- 1)^{2} + e$
$0$	$=$	$a + c + e$
	↓	$I I I$

$f (x)$	$=$	$a x^{3} + c x$
	↓	Setze den Punkt $P (1 \| - 1,5)$ in die Gleichung ein.
$- 1,5$	$=$	$a \cdot 1^{3} + c \cdot 1$
$- 1,5$	$=$	$a + c$
	↓	$I$

$f (x)$	$=$	$a x^{3} + c x$
	↓	Setze den Punkt $Q (3 \| 7,5)$ in die Gleichung ein.
$7,5$	$=$	$a \cdot 3^{3} + c \cdot 3$
$7,5$	$=$	$27 a + 3 c$

$f (x)$	$=$	$a \cdot (x - 1) (x - 1) (x + 1) (x + 1)$
	↓	Außerdem liegt der Punkt $P (0 \| 3)$ auf der Funktion. Setze $P$ in die Gleichung ein und löse nach $a$ auf.
$3$	$=$	$a \cdot (0 - 1) (0 - 1) (0 + 1) (0 + 1)$
$3$	$=$	$a \cdot (- 1) \cdot (- 1) \cdot 1 \cdot 1$
	↓	Stelle nun den Funktionsterm auf.
$f (x)$	$=$	$3 \cdot (x - 1) (x + 1) \cdot (x - 1) (x + 1)$
	↓	Bringe die Funktion in die allgemeine Form. Multipliziere dafür die Klammern aus.
$f (x)$	$=$	$3 \cdot (x - 1) (x + 1) \cdot (x - 1) (x + 1)$
	↓	3. binomische Formel anwenden.
$f (x)$	$=$	$3 \cdot (x^{2} - 1) \cdot (x^{2} - 1)$
$f (x)$	$=$	$3 \cdot (x^{4} - 2 x^{2} + 1)$
$f (x)$	$=$	$3 x^{4} - 6 x^{2} + 3$

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Punkt P einsetzen

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Punkt P einsetzen

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