Aufgaben zum Zusammenfassen von Summentermen

Wie gut kennst du dich mit Termen aus? Lerne mit diesen Aufgaben das Zusammenfassen von Summentermen.

1
Vereinfache die Terme (nur durch Zusammenfassen) so weit wie möglich!
1. $2 x y + x^{2} - 4 y + 2 x^{2} - 5 x y$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenz zusammenfassen
  Du darfst gleiche Variablen in der gleichen Potenz zusammenfassen.
  $2 x y + x^{2} - 4 y + 2 x^{2} - 5 x y =$
  Sortiere den Term mithilfe des Kommutativgesetzes, sodass gleiche Variablen in der gleichen Potenz zusammenstehen! Achte darauf, das Vorzeichen mitzunehmen.
  $2 x y - 5 x y + x^{2} + 2 x^{2} - 4 y =$
  Fasse Terme mit den gleichen Variablen zusammen.
  $- 3 x y + 3 x^{2} - 4 y$
  Weiter lässt sich dieser Term nicht vereinfachen.
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2. $- 4 u^{4} + u t - 7 u^{4} - 3 u t^{2}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen zusammenfassen
  Du darfst gleiche Variablen in der gleichen Potenz zusammenfassen.
  $- 4 u^{4} + u t - 7 u^{4} - 3 u t^{2} =$
  Sortiere den Term mithilfe des Kommutativgesetzes, sodass gleiche Variablen in der gleichen Potenz zusammenstehen! Achte darauf, das Vorzeichen mitzunehmen.
  $- 4 u^{4} - 7 u^{4} + u t - 3 u t^{2} =$
  Fasse Terme mit den gleichen Variablen zusammen.
  $- 11 u^{4} + u t - 3 u t^{2}$
  Weiter lässt sich dieser Term nicht vereinfachen.
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3. $6 h - 3 g + g^{2} + h g + 4 h g + 18 g$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen zusammenfassen
  Du darfst gleiche Variablen in der gleichen Potenz zusammenfassen.
  $6 h - 3 g + g^{2} + h g + 4 h g + 18 g$
  Sortiere den Term mithilfe des Kommutativgesetzes, sodass gleiche Variablen in der gleichen Potenz zusammenstehen! Achte darauf, das Vorzeichen mitzunehmen.
  $6 h - 3 g + 18 g + g^{2} + h g + 4 h g$
  Fasse Terme mit den gleichen Variablen zusammen.
  $6 h + 15 g + g^{2} + 5 h g$
  Weiter lässt sich dieser Term nicht vereinfachen.
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2
Vereinfache die Terme so weit wie möglich!
1. $12a-\left(-3a\right)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Terme zusammenfassen
  $12a-\left(-3a\right)$
  Löse zunächst die Klammer auf. Achte auf das Minus vor der Klammer!
  $= 12 a + 3 a$
  Fasse den Term zusammen
  $= 15 a$
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2. $3c-9c+\left(-3c\right)+4c+5c$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Terme zusammenfassen
  Terme zusammenfassen
  $3c-9c+\left(-3c\right)+4c+5c\;$
  Löse die Klammer auf.
  $=3c-9c-3c+4c+5c\;$
  Sortiere geschickt um.
  $= 3 c - 3 c - 9 c + 4 c + 5 c$
  Fasse zusammen.
  $= 0$
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3. $- 6 k + 15 k - 13 k$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Terme zusammenfassen
  Term zusammenfassen
  $-6k+15k-13k\;$
  Da alle Teile des Terms dieselben Variablen enthalten, kannst du sie direkt zusammenfassen.
  $= - 4 k$
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4. $-\left(-3a\right)+5a-4a+\left(-a\right)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Terme zusammenfassen
  Term zusammenfassen
  $-\left(-3a\right)+5a-4a+\left(-a\right)\;$
  Löse zunächst die Klammern auf. Achte dabei darauf, dass sich das Vorzeichen in der Klammer umdreht, wenn ein Minus vor der Klammer steht!
  $= 3 a + 5 a - 4 a - a$
  Fasse nun den Term zusammen.
  $= 3 a$
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5. $\left(-2d+e\right)-\left(5d+4e\right)-2d+3e$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Term zusammenfassen
  Term zusammenfassen
  $\left(-2d+e\right)-\left(5d+4e\right)-2d+3e\;$
  Löse zunächst die Klammern auf. Achte dabei darauf, dass sich alle Vorzeichen in der Klammer umdrehen, wenn ein Minus vor der Klammer steht.
  $=-2d+e-5d-4e-2d+3e\;$
  Sortiere den Term nach gleichen Variablen
  $=-2d-5d-2d+e-4e+3e\;$
  Fasse den Term so weit wie möglich zusammen.
  $= - 9 d$
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6. $12x-\left(12x+3y\right)+\left(-3y\right)-\left(3x-y\right)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Terme zusammenfassen
  Terme zusammenfassen
  $12x-\left(12x+3y\right)+\left(-3y\right)-\left(3x-y\right)\;=$
  Löse die Klammern auf. Achte dabei darauf, dass sich die Vorzeichen in der Klammer umdrehen, wenn vor der Klammer ein Minus steht!
  $12x-12x-3y-3y-3x+y\;=$
  Sortiere den Term nach gleichen Variablen mithilfe des Kommutativgesetzes.
  $12x-12x-3x-3y-3y+y\;=$
  Fasse den Term so weit wie möglich zusammen.
  $= - 3 x - 5 y$
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7. $-6m-\left(4-6m\right)+3m+\left(4-3m\right)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Terme zusammenfassen
  Term zusammenfassen
  $-6m-\left(4-6m\right)+3m+\left(4-3m\right)\;=$
  Löse die Klammern auf. Achte dabei darauf, dass sich alle Vorzeichen umdrehen, wenn ein Minus vor der Klammer steht!
  $-6m-4+6m+3m+4-3m\;=$
  Sortiere den Term um, so dass gleiche Variablen beieinander stehen.
  $-6m+6m+3m-3m-4+4\;=$
  Fasse den Term nun so weit wie möglich zusammen.
  $= 0$
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8. $a-b-c-d-\left(a-b-c-d\right)+\left(a-b-c-d\right)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Terme zusammenfassen
  Addition und Subtraktion von Variablen
  $a-b-c-d-\left(a-b-c-d\right)+\left(a-b-c-d\right)$
  Löse die Klammern auf. Achte dabei darauf, dass sich alle Vorzeichen in der Klammer umdrehen, wenn ein Minus vor der Klammer steht!
  $= a - b - c - d - a + b + c + d + a - b - c - d$
  Sortiere den Term mithilfe des Kommutativgesetzes um, so dass gleiche Variablen beieinander stehen.
  $= a - a + a - b + b - b - c + c - c - d + d - d$
  Fasse den Term so weit wie möglich zusammen.
  $= a - b - c - d$
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9. $7m-5n-\left[5m-\left(3n-m\right)-\left(2m+n\right)-5n\right]$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vereinfachen von Termen mit Klammern
  Forme Terme um
  $7m-5n-\left[5m-\left(3n-m\right)-\left(2m+n\right)-5n\right]$
  Löse zunächst die inneren Klammern auf. Achte darauf, dass sich alle Vorzeichen in der (inneren) Klammer umdrehen, wenn ein Minus vor der Klammer steht.
  $=7m-5n-\left[5m-3n+m-2m-n-5n\right]$
  Löse nun die äußere Klammer auf. Achte auch hier wieder auf die Vorzeichen!
  $= 7 m - 5 n - 5 m + 3 n - m + 2 m + n + 5 n$
  Sortiere den Term, so dass gleiche Variablen beieinander stehen.
  $= 7 m - 5 m - m + 2 m - 5 n + 3 n + n + 5 n$
  Fasse den Term zusammen.
  $= 3 m + 4 n$
  Alternative:
  $7m-5n-\left[5m-\left(3n-m\right)-\left(2m+n\right)-5n\right]$
  Löse zunächst die inneren Klammern auf. Achte darauf, dass sich alle Vorzeichen in der (inneren) Klammer umdrehen, wenn ein Minus vor der Klammer steht.
  $=7m-5n-\left[5m-3n+m-2m-n-5n\right]$
  Sortiere die Termteile in der Klammer nach gleichen Variablen.
  $=7m-5n-\left[5m+m-2m-3n-n-5n\right]$
  Fasse den Term in der Klammer zusammen.
  $=7m-5n-\left[4m-9n\right]$
  Löse die Klammer auf. Achte wieder auf das Minus vor der Klammer!
  $= 7 m - 5 n - 4 m + 9 n$
  Sortiere den Term nach gleichen Variablen.
  $= 7 m - 4 m - 5 n + 9 n$
  Fasse den Term so weit wie möglich zusammen.
  $= 3 m + 4 n$
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10. $\left[7a+5b-\left(3a+b\right)\right]-\left\{\left[3b-\left(2a-b\right)\right]-5a\right\}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vereinfachen von Termen mit Klammern
  Term zusammenfassen
  $\left[7a+5b-\left(3a+b\right)\right]-\left\{\left[3b-\left(2a-b\right)\right]-5a\right\}=$
  Löse zunächst die innersten (die runden) Klammern auf. Achte darauf, dass sich alle Vorzeichen umkehren, wenn ein Minus vor der Klammer steht.
  $\left[7a+5b-3a-b\right]-\left\{\left[3b-2a+b\right]-5a\right\}=$
  Löse nun die eckigen Klammern auf. Achte auch hier wieder auf die Vorzeichen!
  $7a+5b-3a-b-\left\{3b-2a+b-5a\right\}=$
  Löse zuletzt die geschweiften Klammern auf. Achte wieder auf die Vorzeichen!
  $7 a + 5 b - 3 a - b - 3 b + 2 a - b + 5 a =$
  Sortiere den Term nach Variablen.
  $7 a - 3 a + 2 a + 5 a + 5 b - b - 3 b - b =$
  Fasse den Term so weit wie möglich zusammen.
  $= 11 a$
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3
Zu jedem der oberen Terme (1 bis 4) gibt es einen äquivalenten unteren Term (mit den Buchstaben). Wenn du sie richtig zuordnest, erhältst du ein Lösungswort. Wie lautet es?
$\displaystyle 1: \; \; x^2-(-3xy)-4y+3x^2-y$
$\displaystyle 2: \; \; x^2+3y+(-3x^2)+3xy+(-xy)$
$\displaystyle 3: \; \; xy^2+2x-6xy^2+x^2y+2x$
$\displaystyle 4: \; \; 3x^2-(-7xy)-y^2-2y^2-2x^2$
$\displaystyle \;$
$\displaystyle U: \; \; 3x^2-(-5xy^2)-3x^2-10xy^2+4x+x^2y$
$\displaystyle R: \; \; 7xy+4x^2+y+(-6x^2+2y)-5xy$
$\displaystyle E: \; \; 4xy+(-3y^2)+2x^2+3xy-x^2$
$\displaystyle T: \; \; -2xy+4x^2+5xy-(2y+3y)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vereinfachen von Termen
Terme vereinfachen
Um die Terme vergleichen zu können, hilft es wenn du sie so weit wie möglich vereinfachst und dann die vereinfachten Terme vergleichst.
$\displaystyle 1: \; \; x^2-(-3xy)-4y+3x^2-y$
$\displaystyle 2: \; \; x^2+3y+(-3x^2)+3xy+(-xy)$
$\displaystyle 3: \; \; xy^2+2x-6xy^2+x^2y+2x$
$\displaystyle 4: \; \; 3x^2-(-7xy)-y^2-2y^2-2x^2$
$\displaystyle \;$
$\displaystyle U: \; \; 3x^2-(-5xy^2)-3x^2-10xy^2+4x+x^2y$
$\displaystyle R: \; \; 7xy+4x^2+y+(-6x^2+2y)-5xy$
$\displaystyle E: \; \; 4xy+(-3y^2)+2x^2+3xy-x^2$
$\displaystyle T: \; \; -2xy+4x^2+5xy-(2y+3y)$
Gehe nun nach immer demselben Schema vor. Im Anschluss folgt die ausführliche Lösung für alle Terme. Wenn du nur die Lösungen vergleichen möchtest, springe direkt zur nächsten Überschrift!
Ausführliche Lösung:
Beginne mit dem Term $1$ :
$x^{2} - (- 3 x y) - 4 y + 3 x^{2} - y =$
Löse zunächst die Klammern auf! Achte dabei auf die Vorzeichen.
$x^{2} + 3 x y - 4 y + 3 x^{2} - y =$
Sortiere nun den Term, so dass gleiche Variablen beieinander stehen.
$x^{2} + 3 x^{2} + 3 x y - 4 y - y =$
Fasse nun Terme mit gleichen Variablen zusammen.
$4 x^{2} + 3 x y - 5 y$
Fahre mit Term $2$ fort:
$x^{2} + 3 y + (- 3 x^{2}) + 3 x y + (- x y) =$
Löse zunächst die Klammern auf. Achte bei auf die Vorzeichen!
$x^{2} + 3 y - 3 x^{2} + 3 x y - x y =$
Sortiere den Term, so dass gleiche Variablen beieinander stehen.
$x^{2} - 3 x^{2} + 3 y + 3 x y - x y =$
Fasse nun Terme mit gleichen Variablen zusammen.
$- 2 x^{2} + 3 y + 2 x y$
Fahre mit Term $3$ fort:
$x y^{2} + 2 x - 6 x y^{2} + x^{2} y + 2 x$
Sortiere den Term, so dass gleiche Variablen beieinander stehen.
$x y^{2} - 6 x y^{2} + x^{2} y + 2 x + 2 x$
Fasse nun Terme mit gleichen Variablen zusammen.
$- 5 x y^{2} + x^{2} y + 4 x$
Term $4$ :
$3 x^{2} - (- 7 x y) - y^{2} - 2 y^{2} - 2 x^{2} =$
Löse zunächst die Klammern auf! Achte dabei auf die Vorzeichen.
$3 x^{2} + 7 x y - y^{2} - 2 y^{2} - 2 x^{2} =$
Sortiere den Term, so dass gleiche Variablen beieinander stehen.
$3 x^{2} - 2 x^{2} + 7 x y - y^{2} - 2 y^{2} =$
Fasse nun Terme mit gleichen Variablen zusammen.
$x^{2} + 7 x y - 3 y^{2}$
Term $U$ :
$3 x^{2} - (- 5 x y^{2}) - 3 x^{2} - 10 x y^{2} + 4 x + x^{2} y =$
Löse zunächst die Klammern auf! Achte dabei auf die Vorzeichen.
$3 x^{2} + 5 x y^{2} - 3 x^{2} - 10 x y^{2} + 4 x + x^{2} y =$
Sortiere den Term, so dass gleiche Variablen beieinander stehen.
$3 x^{2} - 3 x^{2} + 5 x y^{2} - 10 x y^{2} + 4 x + x^{2} y =$
Fasse nun Terme mit gleichen Variablen zusammen.
$- 5 x y^{2} + 4 x + x^{2} y =$
Term $R$ :
$7 x y + 4 x^{2} + y + (- 6 x^{2} + 2 y) - 5 x y =$
Löse zunächst die Klammern auf! Achte dabei auf die Vorzeichen.
$7 x y + 4 x^{2} + y - 6 x^{2} + 2 y - 5 x y =$
Sortiere den Term, so dass gleiche Variablen beieinander stehen.
$7 x y - 5 x y + 4 x^{2} - 6 x^{2} + y + 2 y =$
Fasse nun Terme mit gleichen Variablen zusammen.
$2 x y - 2 x^{2} + 3 y$
Term $E$ :
$4 x y + (- 3 y^{2}) + 2 x^{2} + 3 x y - x^{2} =$
Löse zunächst die Klammern auf! Achte dabei auf die Vorzeichen.
$4 x y - 3 y^{2} + 2 x^{2} + 3 x y - x^{2} =$
Sortiere den Term, so dass gleiche Variablen beieinander stehen.
$4 x y + 3 x y - 3 y^{2} + 2 x^{2} - x^{2} =$
Fasse nun Terme mit gleichen Variablen zusammen.
$7 x y - 3 y^{2} + x^{2}$
Term $T$ :
$- 2 x y + 4 x^{2} + 5 x y - (2 y + 3 y) =$
Löse zunächst die Klammern auf! Achte dabei auf die Vorzeichen.
$- 2 x y + 4 x^{2} + 5 x y - 2 y - 3 y =$
Sortiere den Term, so dass gleiche Variablen beieinander stehen.
$- 2 x y + 5 x y + 4 x^{2} - 2 y - 3 y =$
Fasse nun Terme mit gleichen Variablen zusammen.
$3 x y + 4 x^{2} - 5 y$
Äquivalente Terme zuordnen
Die Terme haben vereinfacht folgende Formen:
$\displaystyle 1: \; \; 4x^2+3xy-5y$
$\displaystyle 2: \; \; -2x^2+3y+2xy$
$\displaystyle 3: \; \; -5xy^2+x^2y+4x$
$\displaystyle 4: \; \; x^2+7xy-3y^2$
$\displaystyle \;$
$\displaystyle U: \; \; -5xy^2+4x+x^2y$
$\displaystyle R: \; \; 2xy-2x^2+3y$
$\displaystyle E: \; \; 7xy-3y^2+x^2$
$\displaystyle T: \; \; 3xy+4x^2-5y$
Vergleiche nun die Terme. Beachte dabei, dass du mithilfe des Kommutativgesetzes die einzelnen Teile umstellen könntest.
Du erhältst folgende Paare:
$1 \rightarrow T$
$2 \rightarrow R$
$3 \rightarrow U$
$4 \rightarrow E$
Das Lösungswort lautet $T R U E$

Fasse folgende Terme zusammen und vereinfache sie soweit wie möglich.

$5 x + 7 y - x + 13 y$

$\frac13a+\frac49b+\frac56a+\frac{11}9b+\frac16a$

$10 k + 6 m - 8 n + 5 k - m - 2 n$

$4\frac13u+1\frac12v-4z-2\frac12u+3\frac14z-4\frac12v$

123mathe.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann
$1,8 x + 2,3 y + 3,2 z - 0,9 x - 1,1 y - 1,4 z$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Terme zusammenfassen
Sortiere nach den Variablen und fasse gleiche Variablen zusammen.
$1{,}8x+2{,}3y+3{,}2z-0{,}9x-1{,}1y-1{,}4z\\ =1{,}8x-0{,}9x+2{,}3y-1{,}1y+3{,}2z-1{,}4z\\ =0{,}9x+1{,}2y+1{,}8z$
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$7\frac14\mathrm{ax}-3\frac12\mathrm{bx}+5\frac23\mathrm{cx}-2\frac18\mathrm{ax}+4\frac56\mathrm{bx}-2\frac19\mathrm{cx}$

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$\displaystyle 5x+7y-x+13y$	$=$	$\displaystyle 5x-x+7y+13y$
	↓	Fasse gleiche Variablen zusammen.
	$=$	$\displaystyle 4x+20y$
	↓	Der Faktor 4 lässt sich ausklammern.
	$=$	$\displaystyle 4\cdot\left(x+5y\right)$

$\displaystyle \frac{1}{3}a+\frac{4}{9}b+\frac{5}{6}a+\frac{11}{9}b+\frac{1}{6}a$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{3}a+\frac{5}{6}a+\frac{1}{6}a+\frac{4}{9}b+\frac{11}{9}b$
	↓	Der Hauptnenner muss für beide Variablen gebildet werden (a=6 b=9). Bringe alle Brüche auf die jeweiligen Hauptnenner.
	$=$	$\displaystyle \frac{2}{6}a+\frac{5}{6}a+\frac{1}{6}a+\frac{4}{9}b+\frac{11}{9}b$
	↓	Fasse gleiche Variablen zusammen.
	$=$	$\displaystyle \frac{8}{6}a+\frac{15}{9}b$
	↓	Beide Brüche lassen sich kürzen (a mit 2 und b mit 3).
	$=$	$\displaystyle \frac{4}{3}a+\frac{5}{3}b$
	↓	Der Faktor $\frac13$ lässt sich ausklammern.
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{3}\cdot\left(4a+5b\right)$

$\displaystyle 10k+6m-8n+5k-m-2n$	$=$	$\displaystyle 10k+5k+6m-m-8n-2n$
	↓	Gleiche Variablen zusammenfassen.
	$=$	$\displaystyle 15k+5m-10n$
	↓	Der Faktor 5 lässt sich ausklammern.
	$=$	$\displaystyle 5\cdot\left(3k+m-2n\right)$

$\displaystyle 4\frac{1}{3}u+1\frac{1}{2}v-4z-2\frac{1}{2}u+3\frac{1}{4}z-4\frac{1}{2}v$	$=$	$\displaystyle \frac{13}{3}u-\frac{5}{2}u+\frac{3}{2}v-\frac{9}{2}v-\frac{4}{1}z+\frac{13}{4}z$
	↓	Der Hauptnenner (12) muss für beide Variablen gebildet werden. Alle Brüche auf den Hauptnenner erweitern.
	$=$	$\displaystyle \frac{52}{12}u-\frac{30}{12}u+\frac{18}{12}v-\frac{54}{12}v-\frac{48}{12}z+\frac{39}{12}z$
	↓	Gleiche Variablen zusammenfassen.
	$=$	$\displaystyle \frac{22}{12}u-\frac{36}{12}v-\frac{9}{12}z$
	↓	Der Faktor $\frac1{12}$ lässt sich ausklammern.
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{12}\cdot\left(22u-36v-9z\right)$

	$=$	$\displaystyle \frac{58}8\mathrm{ax}-\frac{17}8\mathrm{ax}-\frac{21}6\mathrm{bx}+\frac{29}6\mathrm{bx}+\frac{51}9\mathrm{cx}-\frac{19}9\mathrm{cx}$
	↓	Fasse gleiche Variablen zusammen.
	$=$	$\displaystyle \frac{41}8\mathrm{ax}+\frac86\mathrm{bx}+\frac{32}9\mathrm{cx}$
	↓	Der Faktor $x$ lässt sich ausklammern.
	$=$	$\displaystyle x\cdot\left(\frac{41}{8}a+\frac{8}{6}b+\frac{32}{9}c\right)$
	↓	kürze im zweiten Summanden
	$=$	$\displaystyle x\cdot\left(\frac{41}{8}a+\frac{4}{3}b+\frac{32}{9}c\right)$

Aufgaben zum Zusammenfassen von Summentermen

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Terme zusammenfassen

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Term zusammenfassen

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Term zusammenfassen

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Term zusammenfassen

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Terme zusammenfassen

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Term zusammenfassen

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Addition und Subtraktion von Variablen

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Forme Terme um

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Term zusammenfassen

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Terme vereinfachen

Äquivalente Terme zuordnen

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