Aufgaben zu Zahlensystemen

Hier findest du Aufgaben zu Zahlensystemen. Lerne, Zahlen innerhalb der Zahlensysteme umzurechnen!

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Aufgaben zum Umrechnen Binärzahlen in Dezimalzahlen
1. Rechne die Zahl $11111_{2}$ (Binär) in eine Dezimalzahl um.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binärsystem
  $= 1 * 2^{0} + 1 * 2^{1} + 1 * 2^{2} + 1 * 2^{3} + 1 * 2^{4}$
  Wobei <1> : die Binärziffer an der Stelle <n> der Binärzahl (Basis 2) ist.
  Somit ergibt sich eine Summer der Stellenwerte von:
  $= 1 * 1 + 1 * 2 + 1 * 4 + 1 * 8 + 1 * 16$
  $= 31$
  VorgehenAlternativer Ansatz
  Man kann die Zahl $11111_{2}$ auch folgendermaßen schreiben:
  $11111_{2} = 100000_{2} - 1$
  $100000_{2}$ hat 5 Stellen (mit der 0 begonnen), also können wir auch als $2^{5}$ schreiben:
  $= 2^{5} - 1 = 32 - 1$
  $= 31$
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  Um den Dezimalwert der Zahl $11111_{2}$ zu ermitteln zähle als erstes die Stellen der Zahl, hier: 4 (Beachte beim Zählen mit 0 zu beginnen) und ermittle den Stellenwert.
2. Rechne die Zahl $1010101_{2}$ (Binär) in eine Dezimalzahl um.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binärsystem
  $= 1 * 2^{0} + 0 * 2^{1} + 1 * 2^{2} + 0 * 2^{3} + 1 * 2^{4} + 0 * 2^{5} + 1 * 2^{6}$
  Wobei <0> bzw. <1> : die Binärziffern an der Stelle <n> der Binärzahl (Basis 2) sind. Somit ergibt sich eine Summer der Stellenwerte von:
  $= 1 * 1 + 0 * 2 + 1 * 4 + 0 * 8 + 1 * 16 + 0 * 32 + 1 * 64$
  $= 85$
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  Um den Dezimalwert der Zahl $1010101_{2}$ zu ermitteln zähle als erstes die Stellen der Zahl, hier: 6 (Beachte beim Zählen mit 0 beginnen) und ermittle den Stellenwert.
3. Rechne die Zahl $1100011000_{2}$ (Binär) in eine Dezimalzahl um.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binärsystem
  $= 0 * 2^{0} + 0 * 2^{1} + 0 * 2^{2} + 1 * 2^{3} + 1 * 2^{4} + 0 * 2^{5} + 0 * 2^{6} + 0 * 2^{7} + 1 * 2^{8} + 1 * 2^{9}$
  Wobei <0> bzw. <1> die Binärziffern an der Stelle <n> der Binärzahl (Basis 2) sind. Somit ergibt sich eine Summer der Stellenwerte von:
  $= 0 * 1 + 0 * 2 + 0 * 4 + 1 * 8 + 1 * 16 + 0 * 32 + 0 * 64 + 0 * 128 + 1 * 256 + 1 * 512$
  $= 792$
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  Um den Dezimalwert der Zahl $1100011000_{2}$ zu ermitteln zähle als erstes die Stellen der Zahl, hier: 9 (Beachte beim Zählen mit 0 beginnen) und ermittle den Stellenwert.

Aufgaben zum Umrechnen von Dezimalzahlen in Binärzahlen

Rechne die Zahl $13_{10}$ (Dezimal) in eine Binärzahl um.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binärsystem
$1 * 2^{3} = 8$
Der Stellenwert der nächsten Stellennummer (2) ist gleich $4$
$1 * 2^{2} = 4$
$8 + 4 = 12$ , brauchen wir also noch eine $1$ um $13_{10}$ darzustellen. Der Stellenwert der Stelle 0 ist $1$ , denn
$1 * 2^{0} = 1$
Wenn wir jetzt die ermittelten Ziffern in eine Zeile schreiben (beachte Stelle 1 haben wir nicht gebraucht) folgt:
$= 1101_{2}$
Und das ist auch schon die Lösung. Bei größeren Zahlen nutzt man das Verfahren der ganzzahligen Division. Dies wird in anderen Aufgaben erklärt.
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Um die Binärzahl der Zahl $13_{10}$ zu errechnen, ermittle als erstes den grössten Stellenwert zur Basis 2 mit dem man durch weitere Addition die Zahl beschreiben kann. Hier 8, da 16, der nächstgrößere Wert zu gross für diese Zahl wäre. Somit erhältst Du eine Stellennummer von 3
(Beachte: beim Zählen mit 0 beginnen)
Rechne die Zahl $127_{10}$ (Dezimal) in eine Binärzahl um.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binärsystem
$127$
:
$2$
$= 63$
Rest
$1$
$63$
:
$2$
$= 31$
Rest
$1$
$31$
:
$2$
$= 15$
Rest
$1$
$15$
:
$2$
$= 7$
Rest
$1$
$7$
:
$2$
$= 3$
Rest
$1$
$3$
:
$2$
$= 3$
Rest
$1$
$1$
:
$2$
$= 0$
Rest
$1$
Die Binärzahl ergibt sich somit indem man die Restwerte von unten nach oben liest und aufschreibt.
$= 1111111_{2}$
Es ist weit verbreitet, Binärzahlen in vierer Clustern zu schreiben, nicht zusetzt um die Umrechnung in andere Stellenwertsysteme zu vereinfachen. In diesem Fall:
$= {0111 1111}_{2}$
Die Zahl $127_{10}$ bzw. ${0111 1111}_{2}$ ist eine wichtige Zahl z.B. in Eurer Netzwerkumgebung. Checkt mal bitte 127.0.0.1 ;))
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Um die Binärzahl der Zahl $127_{10}$ zu errechnen benutzen wir die Methode der ganzzahligen Division. Dabei wird die Dezimalzahl ganzzahlig mit Rest durch die Basis 2 dividiert (Schriftliche Division mit Rest). Das Ergebnis dieser Division wird dann ebenfalls ganzzahlig mit Rest durch 2 dividiert. Dies geschieht so lange, bis das Ergebnis der Division 0 ist.
Aus den Restwerten der ganzzahligen Divisionen ergibt sich am Ende die Binärzahl.

$127$	:	$2$	$= 63$	Rest	$1$
$63$	:	$2$	$= 31$	Rest	$1$
$31$	:	$2$	$= 15$	Rest	$1$
$15$	:	$2$	$= 7$	Rest	$1$
$7$	:	$2$	$= 3$	Rest	$1$
$3$	:	$2$	$= 3$	Rest	$1$
$1$	:	$2$	$= 0$	Rest	$1$

Rechne die Zahl $2021_{10}$ (Dezimal) in eine Binärzahl um.

1111 1110 0101
0111 1110 0101
0111 1110 1010
0011 1111 0000

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binärsystem

$2021$	:	$2$	$= 1010$	Rest	$1$
$1010$	:	$2$	$= 505$	Rest	$0$
$505$	:	$2$	$= 252$	Rest	$1$
$252$	:	$2$	$= 126$	Rest	$0$
$126$	:	$2$	$= 63$	Rest	$0$
$63$	:	$2$	$= 31$	Rest	$1$
$31$	:	$2$	$= 15$	Rest	$1$
$15$	:	$2$	$= 7$	Rest	$1$
$7$	:	$2$	$= 3$	Rest	$1$
$3$	:	$2$	$= 1$	Rest	$1$
$1$	:	$2$	$= 0$	Rest	$1$

Die Binärzahl ergibt sich somit indem man die Restwerte von unten nach oben liest und aufschreibt.

$= 11111100101_{2}$

Es ist weit verbreitet, Binärzahlen in vierer Clustern zu schreiben, nicht zusetzt um die Umrechnung in andere Stellenwertsysteme

sowie die bessere Lesbarkeit zu vereinfachen.

$= {0111 1110 0101}_{2}$

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Aufgaben zum Umrechnen Hexadezimalzahlen in Dezimalzahlen
1. Rechne die Zahl $123_{16}$ (Hexadezimal) in eine Dezimalzahl um.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Hexadezimalsystem
  $= 3 * 16^{0} + 2 * 16^{1} + 1 * 16^{2}$
  Wobei die Ziffern 123 (hier rechts beginnend geschrieben) die Hexadezimalziffer an der Stelle <n> der Hexadezimalzahl (Basis 16) sind. Somit ergibt sich eine Summe der Stellenwerte von:
  $= 3 * 1 + 2 * 16 + 1 * 256$
  $= 291$
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  Um den Dezimalwert der Zahl $123_{16}$ zu ermitteln zähle als erstes die Stellen der Zahl. Du erhältst somit eine Stellennummer von 2
  (Beachte: beim Zählen mit 0 beginnen)
2. Rechne die Zahl $A A B_{16}$ (Hexadezimal) in eine Dezimalzahl um.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Hexadezimalsystem
  $= 11 * 16^{0} + 10 * 16^{1} + 10 * 16^{2}$
  Wobei die Ziffern AAB (hier rechts beginnend geschrieben) die Hexadezimalziffer an der Stelle <n> der Hexadezimalzahl (Basis 16) sind und A=10, B=11 bedeuten.
  Somit ergibt sich eine Summe der Stellenwerte von:
  $= 11 * 1 + 10 * 16 + 10 * 256$
  $= 2731$
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  Um den Dezimalwert der Zahl $A A B_{16}$ zu ermitteln zähle als erstes die Stellen der Zahl. Du erhältst somit eine Stellennummer von 2
  (Beachte: beim Zählen mit 0 beginnen)
3. Rechne die Zahl $F F_{16}$ (Hexadezimal) in eine Dezimalzahl um.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Hexadezimalsystem
  $= 15 * 16^{0} + 15 * 16^{1}$
  Wobei die Ziffern FF die Hexadezimalziffer an der Stelle <n> der Hexadezimalzahl (Basis 16) sind und F=15 ist.
  Somit ergibt sich eine Summe der Stellenwerte von:
  $= 15 * 1 + 15 * 16$
  $= 255$
  Binär sieht diese Zahl so aus:
  $(1111 1111)_{2}$
  Sprich alle Ziffern eines Bytes $= 1$ . Mit dieser Zahl wist Du im Leben als IT Fachmann sehr oft zu tuen haben :))
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  Um den Dezimalwert der Zahl FF_{16} zu ermitteln zähle als erstes die Stellen der Zahl. Du erhältst eine Stellennummer von 1
  (Beachte: beim Zählen mit 0 beginnen)
4
Aufgaben zum Umrechnen Dezimalzahlen in Hexadezimalzahlen
1. Rechne die Zahl $189_{10}$ (Dezimal) in eine Hexadezimalzahl um.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Hexadezimalsystem
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  Um die Hexadezimalzahl der Zahl $189_{10}$ zu errechnen , ermittle als erstes den grössten Stellenwert zur Basis 16 mit dem man durch weitere Addition die Zahl beschreiben kann.
  $\begin{array}{ccc} S t e l l e n n u m m e r & B a s i s^{S t e l l e n n r .} & S t e l l e n w e r t \\ 0 & 16^{0} & 1 \\ 1 & 16^{1} & 16 \\ 2 & 16^{2} & 256 \end{array}$
  Hier 16, da 256, der nächstgrößere Wert zu gross für diese Zahl wäre. Somit erhältst Du eine Stellennummer von 1
  (Beachte: beim Zählen mit 0 beginnen)
  Nun muss man mit dem Stellenwert (16) eine Division mit Rest (modulo[1]) durchführen.
  $189 m o d u l o 16 = 11 R e s t 13$
  Der Ziffernwert $11$ ist im Hexadezimalsystem der Buchstabe $B$
  Der Ziffernwert $13$ ist im Hexadezimalsystem der Buchstabe $D$
  Somit ist unser Ergebnis : $B D$
2. Rechne die Zahl $99_{10}$ (Dezimal) in eine Hexadezimalzahl um.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Hexadezimalsysstem
  Hier 16, da 256, der nächstgrößere Wert zu gross für diese Zahl wäre. Somit erhältst Du eine Stellennummer von 1
  (Beachte: beim Zählen mit 0 beginnen)
  Nun muss man mit dem Stellenwert (16) eine Division mit Rest (modulo[1]) durchführen.
  $99 m o d u l o 16 = 6 R e s t 3$
  Der Ziffernwert $6$ ist im Hexadezimalsystem, da kleiner 10 ebenfalls $6$
  Der Ziffernwert $3$ ist im Hexadezimalsystem, da kleiner 10 ebenfalls $3$
  Somit ist unser Ergebnis : $63$
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  Um die Hexadezimalzahl der Zahl $99_{10}$ zu errechnen , ermittle als erstes den grössten Stellenwert zur Basis 16 mit dem man durch weitere Addition die Zahl beschreiben kann.
  $\begin{array}{ccc} S t e l l e n n u m m e r & B a s i s^{S t e l l e n n r .} & S t e l l e n w e r t \\ 0 & 16^{0} & 1 \\ 1 & 16^{1} & 16 \\ 2 & 16^{2} & 256 \end{array}$
3. Rechne die Zahl $255_{10}$ (Dezimal) in eine Hexadezimalzahl um.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Hexadezimalsystem
  Hier 16, da 256, der nächstgrößere Wert zu gross für diese Zahl wäre. Somit erhältst Du eine Stellennummer von 1
  (Beachte: beim Zählen mit 0 beginnen)
  Nun muss man mit dem Stellenwert (16) eine Division mit Rest (modulo[1]) durchführen.
  $255 m o d u l o 16 = 15 R e s t 15$
  Der Ziffernwert $15$ ist im Hexadezimalsystem der Buchstabe $F$
  Der Ziffernwert $15$ ist im Hexadezimalsystem der Buchstabe $F$
  Somit ist unser Ergebnis : $F F$
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  Um die Hexadezimalzahl der Zahl $255_{10}$ zu errechnen , ermittle als erstes den grössten Stellenwert zur Basis 16 mit dem man durch weitere Addition die Zahl beschreiben kann.
  $\begin{array}{ccc} S t e l l e n n u m m e r & B a s i s^{S t e l l e n n r .} & S t e l l e n w e r t \\ 0 & 16^{0} & 1 \\ 1 & 16^{1} & 16 \\ 2 & 16^{2} & 256 \end{array}$
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Rechnen mit Binärzahlen
1. Addiere $1011010 + 10110$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binärsystem
  Somit:
  $\begin{array}{ccccccc} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ + & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}$
  Kontrolle :
  $\begin{array}{l} 1011010_{2} = 90_{10} \\ 10110_{2} = 22_{10} \end{array}$
  $90_{10} + 22_{10} = 112_{10}$
  $112_{10} = 1110000_{2}$
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  Wie auch bei der schriftlichen Addition im Dezimalsystem werden beim Addieren zweiter Binärzahlen die einzelnen Ziffern addiert, wobei
  $0 + 0 = 0$
  $0 + 1 = 1$
  $1 + 1 = 0 (Übertrag 1)$
  ist.
2. Addiere $101101 + 10110$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binärsystem
  $\begin{array}{ccccccc} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 \\ + & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}$
  Kontrolle :
  $\begin{array}{l} 101101_{2} = 45_{10} \\ 10110_{2} = 22_{10} \end{array}$
  $45_{10} + 22_{10} = 67_{10}$
  $67_{10} = 1000011_{2}$
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  Wie auch bei der schriftlichen Addition im Dezimalsystem werden beim Addieren zweiter Binärzahlen die einzelnen Ziffern addiert, wobei
  $0 + 0 = 0$
  $0 + 1 = 1$
  $1 + 1 = 0 (Übertrag 1)$
  ist.
3. Subtrahiere $1011010 - 10111$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binärsystem
  $\begin{array}{ccccccc} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ - & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}$
  Kontrolle:
  $\begin{array}{l} 1011010_{2} = 90_{10} \\ 10111_{2} = 23_{10} \end{array}$
  $90_{10} - 23_{10} = 67_{10}$
  $67_{10} = 1000011_{2}$
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  Wie auch bei der schriftlichen Subtraktion im Dezimalsystem werden beim Subtrahieren zweiter Binärzahlen die einzelnen Ziffern subtrahiert, wobei:
  $\begin{array}{l} 0 - 0 = 0 \\ 0 - 1 = 1 (Übertrag 1) \\ 1 - 0 = 1 \\ 1 - 1 = 0 \end{array}$
  
  ist.
6
Aufgaben zum Umrechnen Oktalzahlen in Dezimalzahlen
1. Rechne die Zahl $173_{8}$ (Oktal) in eine Dezimalzahl um.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Oktalsystem
  $= 3 * 8^{0} + 7 * 8^{1} + 1 * 8^{2}$
  Wobei die Ziffern 173 (hier rechts beginnend geschrieben) die Oktalziffern an der Stelle <n> der Oktalzahl (Basis 8) sind.
  $= 3 * 1 + 7 * 8 + 1 * 64$
  $= 123$
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  Um den Dezimalwert der Zahl $173_{8}$ zu ermitteln, zähle als erstes die Stellen der Zahl. Du erhältst eine Stellennummer: 2
  (Beachte: beim Zählen mit 0 beginnen)
2. Rechne die Zahl $2746_{8}$ (Oktal) in eine Dezimalzahl um.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Oktalsystem
  $= 6 * 8^{0} + 4 * 8^{1} + 7 * 8^{2} + 2 * 8^{3}$
  Wobei die Ziffern 2746 (hier rechts beginnend geschrieben) die Oktalziffern an der Stelle <n> der Oktalzahl (Basis 8) sind.
  Somit ergibt sich eine Summe der Stellenwerte von:
  $= 6 * 1 + 4 * 8 + 7 * 64 + 2 * 512$
  $= 1510$
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  Um den Dezimalwert der Zahl $2746_{8}$ zu ermitteln zähle als erstes die Stellen der Zahl. Du erhältst eine Stellennummer von 3
  (Beachte: beim Zählen mit 0 beginnen)
3. Rechne die Zahl $11107_{8}$ (Oktal) in eine Dezimalzahl um.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Oktalsystem
  $= 7 * 8^{0} + 0 * 8^{1} + 1 * 8^{2} + 1 * 8^{3} + 1 * 8^{4}$
  Wobei die Ziffern 11107 (hier rechts beginnend geschrieben) die Oktalziffern an der Stelle <n> der Oktalzahl (Basis 8) sind.
  Somit ergibt sich eine Summer der Stellenwerte von:
  $= 7 * 1 + 0 * 8 + 1 * 64 + 1 * 512 + 1 * 4096$
  $= 4679$
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  Um den Dezimalwert der Zahl $11107_{8}$ zu ermitteln zähle als erstes die Stellen der Zahl. Du erhältst eine Stellennummer von 4
  (Beachte: beim Zählen mit 0 beginnen)

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