Aufgaben zu Zahlensystemen

Aufgaben zum Umrechnen Binärzahlen in Dezimalzahlen

Rechne die Zahl $11111_2$ (Binär) in eine Dezimalzahl um.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binärsystem
$=1*2^0+1*2^1+1*2^2+1*2^3+1*2^4$
Wobei <1> : die Binärziffer an der Stelle <n> der Binärzahl (Basis 2) ist.
Somit ergibt sich eine Summer der Stellenwerte von:
$=1*1+1*2+1*4+1*8+1*16$
$=31$
VorgehenAlternativer Ansatz
Man kann die Zahl $11111_2$ auch folgendermaßen schreiben:
$11111_2 = 100000_2 - 1$
$100000_2$ hat 5 Stellen (mit der 0 begonnen), also können wir auch als $2^5$ schreiben:
$= 2^5 - 1= 32 - 1$
$=31$
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Um den Dezimalwert der Zahl $11111_2$ zu ermitteln zähle als erstes die Stellen der Zahl, hier: 4 (Beachte beim Zählen mit 0 zu beginnen) und ermittle den Stellenwert.
Rechne die Zahl $1010101_2$ (Binär) in eine Dezimalzahl um.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binärsystem
$=1*2^0 + 0*2^1 + 1*2^2 + 0*2^3 + 1*2^4 + 0*2^5 + 1*2^6$
Wobei <0> bzw. <1> : die Binärziffern an der Stelle <n> der Binärzahl (Basis 2) sind. Somit ergibt sich eine Summer der Stellenwerte von:
$=1*1+0*2+1*4+0*8+1*16+0*32+1*64$
$=85$
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Um den Dezimalwert der Zahl $1010101_2$ zu ermitteln zähle als erstes die Stellen der Zahl, hier: 6 (Beachte beim Zählen mit 0 beginnen) und ermittle den Stellenwert.
Rechne die Zahl $1100011000_2$ (Binär) in eine Dezimalzahl um.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binärsystem
$=0*2^0 + 0*2^1 + 0*2^2 + 1*2^3 + 1*2^4 + 0*2^5 + 0*2^6 + 0*2^7 + 1*2^8 + 1*2^9$
Wobei <0> bzw. <1> die Binärziffern an der Stelle <n> der Binärzahl (Basis 2) sind. Somit ergibt sich eine Summer der Stellenwerte von:
$=0*1+0*2+0*4+1*8+1*16+0*32+0*64+0*128+1*256+1*512$
$=792$
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Um den Dezimalwert der Zahl $1100011000_2$ zu ermitteln zähle als erstes die Stellen der Zahl, hier: 9 (Beachte beim Zählen mit 0 beginnen) und ermittle den Stellenwert.

Aufgaben zum Umrechnen von Dezimalzahlen in Binärzahlen

Rechne die Zahl $13_{10}$ (Dezimal) in eine Binärzahl um.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binärsystem
$1*2^3 = 8$
Der Stellenwert der nächsten Stellennummer (2) ist gleich $4$
$1*2^2 = 4$
$8 + 4 = 12$ , brauchen wir also noch eine $1$ um $13_{10}$ darzustellen. Der Stellenwert der Stelle 0 ist $1$ , denn
$1*2^0 = 1$
Wenn wir jetzt die ermittelten Ziffern in eine Zeile schreiben (beachte Stelle 1 haben wir nicht gebraucht) folgt:
$=1101_2$
Und das ist auch schon die Lösung. Bei größeren Zahlen nutzt man das Verfahren der ganzzahligen Division. Dies wird in anderen Aufgaben erklärt.
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Um die Binärzahl der Zahl $13_{10}$ zu errechnen, ermittle als erstes den grössten Stellenwert zur Basis 2 mit dem man durch weitere Addition die Zahl beschreiben kann. Hier 8, da 16, der nächstgrößere Wert zu gross für diese Zahl wäre. Somit erhältst Du eine Stellennummer von 3
(Beachte: beim Zählen mit 0 beginnen)

Rechne die Zahl $127_{10}$ (Dezimal) in eine Binärzahl um.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binärsystem

$\mathrm 127$	:	$\mathrm 2$	$\mathrm =\space63$	Rest	$\mathrm 1$
$\mathrm 63$	:	$\mathrm 2$	$\mathrm =\space31$	Rest	$\mathrm 1$
$\mathrm 31$	:	$\mathrm 2$	$\mathrm =\space15$	Rest	$\mathrm 1$
$\mathrm 15$	:	$\mathrm 2$	$\mathrm =\space7$	Rest	$\mathrm 1$
$\mathrm 7$	:	$\mathrm 2$	$\mathrm =\space3$	Rest	$\mathrm 1$
$\mathrm 3$	:	$\mathrm 2$	$\mathrm =\space3$	Rest	$\mathrm 1$
$\mathrm 1$	:	$\mathrm 2$	$\mathrm =\space0$	Rest	$\mathrm 1$

Die Binärzahl ergibt sich somit indem man die Restwerte von unten nach oben liest und aufschreibt.

$=1111111_2$

Es ist weit verbreitet, Binärzahlen in vierer Clustern zu schreiben, nicht zusetzt um die Umrechnung in andere Stellenwertsysteme zu vereinfachen. In diesem Fall:

$={0111 \space 1111}_2$

Die Zahl $127_{10}$ bzw. ${0111\space1111}_2$ ist eine wichtige Zahl z.B. in Eurer Netzwerkumgebung. Checkt mal bitte 127.0.0.1 ;))

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Rechne die Zahl $2021_{10}$ (Dezimal) in eine Binärzahl um.

1111 1110 0101
0111 1110 0101
0111 1110 1010
0011 1111 0000

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binärsystem

$\mathrm 2021$	:	$\mathrm 2$	$\mathrm =\space1010$	Rest	$\mathrm 1$
$\mathrm 1010$	:	$\mathrm 2$	$\mathrm =\space505$	Rest	$\mathrm 0$
$\mathrm 505$	:	$\mathrm 2$	$\mathrm =\space252$	Rest	$\mathrm 1$
$\mathrm 252$	:	$\mathrm 2$	$\mathrm =\space126$	Rest	$\mathrm 0$
$\mathrm 126$	:	$\mathrm 2$	$\mathrm =\space63$	Rest	$\mathrm 0$
$\mathrm 63$	:	$\mathrm 2$	$\mathrm =\space31$	Rest	$\mathrm 1$
$\mathrm 31$	:	$\mathrm 2$	$\mathrm =\space15$	Rest	$\mathrm 1$
$\mathrm 15$	:	$\mathrm 2$	$\mathrm =\space7$	Rest	$\mathrm 1$
$\mathrm 7$	:	$\mathrm 2$	$\mathrm =\space3$	Rest	$\mathrm 1$
$\mathrm 3$	:	$\mathrm 2$	$\mathrm =\space1$	Rest	$\mathrm 1$
$\mathrm 1$	:	$\mathrm 2$	$\mathrm =\space 0$	Rest	$\mathrm 1$

Die Binärzahl ergibt sich somit indem man die Restwerte von unten nach oben liest und aufschreibt.

$=11111100101_2$

Es ist weit verbreitet, Binärzahlen in vierer Clustern zu schreiben, nicht zusetzt um die Umrechnung in andere Stellenwertsysteme

sowie die bessere Lesbarkeit zu vereinfachen.

$={0111 \space 1110 \space 0101}_2$

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3

Aufgaben zum Umrechnen Hexadezimalzahlen in Dezimalzahlen

Rechne die Zahl $123_{16}$ (Hexadezimal) in eine Dezimalzahl um.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Hexadezimalsystem
$=3*16^0 + 2*16^1 + 1*16^2$
Wobei die Ziffern 123 (hier rechts beginnend geschrieben) die Hexadezimalziffer an der Stelle <n> der Hexadezimalzahl (Basis 16) sind. Somit ergibt sich eine Summe der Stellenwerte von:
$=3*1 + 2*16 + 1*256$
$=291$
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Um den Dezimalwert der Zahl $123_{16}$ zu ermitteln zähle als erstes die Stellen der Zahl. Du erhältst somit eine Stellennummer von 2
(Beachte: beim Zählen mit 0 beginnen)
Rechne die Zahl $AAB_{16}$ (Hexadezimal) in eine Dezimalzahl um.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Hexadezimalsystem
$=11*16^0 + 10*16^1 + 10*16^2$
Wobei die Ziffern AAB (hier rechts beginnend geschrieben) die Hexadezimalziffer an der Stelle <n> der Hexadezimalzahl (Basis 16) sind und A=10, B=11 bedeuten.
Somit ergibt sich eine Summe der Stellenwerte von:
$=11*1 + 10*16 + 10*256$
$=2731$
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Um den Dezimalwert der Zahl $AAB_{16}$ zu ermitteln zähle als erstes die Stellen der Zahl. Du erhältst somit eine Stellennummer von 2
(Beachte: beim Zählen mit 0 beginnen)
Rechne die Zahl $FF_{16}$ (Hexadezimal) in eine Dezimalzahl um.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Hexadezimalsystem
$=15*16^0 + 15*16^1$
Wobei die Ziffern FF die Hexadezimalziffer an der Stelle <n> der Hexadezimalzahl (Basis 16) sind und F=15 ist.
Somit ergibt sich eine Summe der Stellenwerte von:
$=15*1 + 15*16$
$=255$
Binär sieht diese Zahl so aus:
$(1111 \space 1111)_2$
Sprich alle Ziffern eines Bytes $= 1$ . Mit dieser Zahl wist Du im Leben als IT Fachmann sehr oft zu tuen haben :))
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Um den Dezimalwert der Zahl FF_{16} zu ermitteln zähle als erstes die Stellen der Zahl. Du erhältst eine Stellennummer von 1
(Beachte: beim Zählen mit 0 beginnen)

4

Aufgaben zum Umrechnen Dezimalzahlen in Hexadezimalzahlen

Rechne die Zahl $189_{10}$ (Dezimal) in eine Hexadezimalzahl um.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Hexadezimalsystem
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Um die Hexadezimalzahl der Zahl $189_{10}$ zu errechnen , ermittle als erstes den grössten Stellenwert zur Basis 16 mit dem man durch weitere Addition die Zahl beschreiben kann.
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ccc} & Stellennummer & Basis^{Stellennr.} & Stellenwert \\ \hline \\ & 0 & 16^0 & 1 \\ & 1 & 16^1 & 16 \\ & 2 & 16^2 & 256 \end{array}$
Hier 16, da 256, der nächstgrößere Wert zu gross für diese Zahl wäre. Somit erhältst Du eine Stellennummer von 1
(Beachte: beim Zählen mit 0 beginnen)
Nun muss man mit dem Stellenwert (16) eine Division mit Rest (modulo[1]) durchführen.
$189 \space modulo \space 16 = 11 \space Rest \space 13$
Der Ziffernwert $11$ ist im Hexadezimalsystem der Buchstabe $B$
Der Ziffernwert $13$ ist im Hexadezimalsystem der Buchstabe $D$
Somit ist unser Ergebnis : $BD$
Rechne die Zahl $99_{10}$ (Dezimal) in eine Hexadezimalzahl um.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Hexadezimalsysstem
Hier 16, da 256, der nächstgrößere Wert zu gross für diese Zahl wäre. Somit erhältst Du eine Stellennummer von 1
(Beachte: beim Zählen mit 0 beginnen)
Nun muss man mit dem Stellenwert (16) eine Division mit Rest (modulo[1]) durchführen.
$99 \ modulo\ 16=6\ Rest\ 3$
Der Ziffernwert $6$ ist im Hexadezimalsystem, da kleiner 10 ebenfalls $6$
Der Ziffernwert $3$ ist im Hexadezimalsystem, da kleiner 10 ebenfalls $3$
Somit ist unser Ergebnis : $63$
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Um die Hexadezimalzahl der Zahl $99_{10}$ zu errechnen , ermittle als erstes den grössten Stellenwert zur Basis 16 mit dem man durch weitere Addition die Zahl beschreiben kann.
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ccc} & Stellennummer & Basis^{Stellennr.} & Stellenwert \\ \hline \\ & 0 & 16^0 & 1 \\ & 1 & 16^1 & 16 \\ & 2 & 16^2 & 256 \end{array}$
Rechne die Zahl $255_{10}$ (Dezimal) in eine Hexadezimalzahl um.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Hexadezimalsystem
Hier 16, da 256, der nächstgrößere Wert zu gross für diese Zahl wäre. Somit erhältst Du eine Stellennummer von 1
(Beachte: beim Zählen mit 0 beginnen)
Nun muss man mit dem Stellenwert (16) eine Division mit Rest (modulo[1]) durchführen.
$255\ modulo\ 16=15\ Rest\ 15$
Der Ziffernwert $15$ ist im Hexadezimalsystem der Buchstabe $F$
Der Ziffernwert $15$ ist im Hexadezimalsystem der Buchstabe $F$
Somit ist unser Ergebnis : $FF$
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Um die Hexadezimalzahl der Zahl $255_{10}$ zu errechnen , ermittle als erstes den grössten Stellenwert zur Basis 16 mit dem man durch weitere Addition die Zahl beschreiben kann.
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ccc} & Stellennummer & Basis^{Stellennr.} & Stellenwert \\ \hline \\ & 0 & 16^0 & 1 \\ & 1 & 16^1 & 16 \\ & 2 & 16^2 & 256 \end{array}$

5

Rechnen mit Binärzahlen

Addiere $1011010 + 10110$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binärsystem
Somit:
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ccccccc} & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0\\ + & & & 1 & 0 & 1 & 1 & 0\\ \hline & & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \hline & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}$
Kontrolle :
$1011010_2=90_{10} \newline \space\space\space\space 10110_2=22_{10}$
$90_{10} + 22_{10} =112_{10}$
$112_{10} = 1110000_2$
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Wie auch bei der schriftlichen Addition im Dezimalsystem werden beim Addieren zweiter Binärzahlen die einzelnen Ziffern addiert, wobei
$0+0=0$
$0+1 = 1$
$1+1=0\ \text{(Übertrag}\ 1)$
ist.
Addiere $101101+10110$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binärsystem
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ccccccc} & & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1\\ + & & & 1 & 0 & 1 & 1 & 0\\ \hline & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \hline & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}$
Kontrolle :
$101101_2 = 45_{10} \newline \space\space 10110_2=22_{10}$
$45_{10} + 22_{10} =67_{10}$
$67_{10} = 1000011_2$
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Wie auch bei der schriftlichen Addition im Dezimalsystem werden beim Addieren zweiter Binärzahlen die einzelnen Ziffern addiert, wobei
$0+0=0$
$0+1 = 1$
$1+1=0\ \text{(Übertrag}\ 1)$
ist.
Subtrahiere $1011010-10111$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binärsystem
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ccccccc} & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0\\ - & & & 1 & 0 & 1 & 1 & 1\\ \hline & & & & 1 & 1 & 1 & \\ \hline & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}$
Kontrolle:
$1011010_2 = 90_{10} \newline \space \space \space\space 10111_2=23_{10}$
$90_{10} - 23_{10} = 67_{10}$
$67_{10} = 1000011_2$
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Wie auch bei der schriftlichen Subtraktion im Dezimalsystem werden beim Subtrahieren zweiter Binärzahlen die einzelnen Ziffern subtrahiert, wobei:
$0-0=0 \newline 0-1=1 \space \text{(Übertrag} \space1)\newline 1-0=1 \newline 1-1=0$

ist.

6

Aufgaben zum Umrechnen Oktalzahlen in Dezimalzahlen

Rechne die Zahl $173_8$ (Oktal) in eine Dezimalzahl um.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Oktalsystem
$=3*8^0 + 7*8^1 + 1*8^2$
Wobei die Ziffern 173 (hier rechts beginnend geschrieben) die Oktalziffern an der Stelle <n> der Oktalzahl (Basis 8) sind.
$=3*1 + 7*8 + 1*64$
$=123$
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Um den Dezimalwert der Zahl $173_8$ zu ermitteln, zähle als erstes die Stellen der Zahl. Du erhältst eine Stellennummer: 2
(Beachte: beim Zählen mit 0 beginnen)
Rechne die Zahl $2746_8$ (Oktal) in eine Dezimalzahl um.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Oktalsystem
$=6*8^0 + 4*8^1 + 7*8^2 + 2*8^3$
Wobei die Ziffern 2746 (hier rechts beginnend geschrieben) die Oktalziffern an der Stelle <n> der Oktalzahl (Basis 8) sind.
Somit ergibt sich eine Summe der Stellenwerte von:
$=6*1 + 4*8 + 7*64 + 2*512$
$= 1510$
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Um den Dezimalwert der Zahl $2746_8$ zu ermitteln zähle als erstes die Stellen der Zahl. Du erhältst eine Stellennummer von 3
(Beachte: beim Zählen mit 0 beginnen)
Rechne die Zahl $11107_8$ (Oktal) in eine Dezimalzahl um.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Oktalsystem
$=7*8^0 + 0*8^1 + 1*8^2 + 1*8^3 + 1*8^4$
Wobei die Ziffern 11107 (hier rechts beginnend geschrieben) die Oktalziffern an der Stelle <n> der Oktalzahl (Basis 8) sind.
Somit ergibt sich eine Summer der Stellenwerte von:
$=7*1 + 0*8 + 1*64 + 1*512 + 1*4096$
$=4679$
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Um den Dezimalwert der Zahl $11107_8$ zu ermitteln zähle als erstes die Stellen der Zahl. Du erhältst eine Stellennummer von 4
(Beachte: beim Zählen mit 0 beginnen)