Schnittpunkte von $f$ mit den Koordinatenachsen

Deine Aufgabe ist es die Schnittpunkte der Funktion $f$ mit den Koordinatenachsen zu bestimmen.

Dazu musst du den y-Achsenabschnitt berechnen.

$x=0$

$f\left(0\right)=2-\sqrt{12-2\cdot 0}$

$=2-\sqrt{12-0}=2-\sqrt{12}$

$=2-\sqrt{3\cdot 4}=2-\sqrt{3}\cdot \sqrt{4}=2-2\sqrt{3}$

$\approx -1{,}46$

Setze in $f(x)$ $x$ gleich $0$.

Rechne zuerst unter der Wurzel.

Du stellst fest du kannst $\sqrt{12}$ nicht berechnen. Zerteile $12$ in $3\cdot4$. Somit kannst du teilweise radizieren.

Klammere $2$ aus.

Runde dein Ergebnis, damit du den Punkt später einzeichnen kannst.

Somit hat der y-Achsenabschnitt die Koordinaten $B(0\vert2(1-\sqrt3))$.

Als Zweites musst du die Nullstellen von $f$ berechnen! (d.h. die Schnittpunkte von $f$ mit der x-Achse)

Setze $f(x)=0$ und löse die Gleichung.

$f(x)=0$

$2-\sqrt{12-2x}=0\;\;\;\left|-2\right.$

$-\sqrt{12-2x}=-2\;\;\;\left|{}^2\right.$

$12-2x=4\;\;\;\left|+2x\right.$

$8=2x\;\;\;\left|:2\right.$

$x=4$

Somit hat $f$ eine Nullstelle mit den Koordinaten $A(4\vert0)$.

Grenzwert von $f$ gegen $-\infty$

Berechne den Limes von $f$ gegen $-\infty$!

$\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}f(x)=\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}2-\sqrt{12-2x}=-\infty$

Du berechnest zuerst die Diskriminante.

$12-2\;(-\infty)=12+\infty=\infty$

Die Wurzel von $\infty$ bleibst $\infty$.

Du bildest letztlich noch die Differenz von $2$ und $\infty$.

$2-\infty=-\infty$

Der Grenzwert von $f$ für $x\rightarrow-\infty$ ist $-\infty$.

Bestimmung von $f(6)$

Bestimme den Wert von $f$ für $x=6$. Setze $x=6$ in die Funktion ein.

$f\left(6\right)=2-\sqrt{12-2\cdot6}=2-\sqrt{12-12}=2-\sqrt0=2-0=2$

Der Wert von $f(6)$ beträgt $2$.

Ableitung von $f$

Bestimme die Ableitung $f'$ von $f$.

Da du eine Funktion mit Wurzel ableiten willst, musst du die Wurzel in eine Potenz umschreiben. $f(x)=2-\sqrt{12-2x}=2-(12-2x)^\frac12$

Anschließend kannst du mit der Kettenregel ableiten. $f'\left(x\right)=-\frac12(12-2x)^{-\frac12}\cdot(-2)=(12-2x)^{-\frac12}\;=\frac1{\sqrt{12-2x}}$

Maximale Definitionsmenge von $f'$

Bestimme die maximale Definitionsmenge von $f'$. Damit du die Definitionsmenge bestimmen kannst, musst du feststellen welche Bereiche ausgeschlossen werden müssen. Da deine Funktion eine Wurzel enthält, darf unter der Wurzel schoneinmal keine negative Zahl stehen. Löse die Ungleichung:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{}12-2x&>&0&\left|+2x\right.\\ 12&>&2x&\left|:2\right.\\ x&<&6\end{array}$

Zudem kannst du nicht durch $0$ teilen. Also darf der Nenner von $f'$ nicht gleich $0$ sein. Löse diese Gleichung und schließe den Wert aus der Definitionsmenge aus:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{}\sqrt{12-2x}&=&0 &\left|{}^2\right.\\ 12-2x&=&0&\left|+2x\right.\\ 12&=&2x&\left|:2\right.\\ x&=&6\end{array}$

Die Definitionsmenge von $f'$ ist demnach $D_{f'}=\rbrack-\infty;6\lbrack$.

Bestimmung von Grenzwert von $f'(x)$ für $x\rightarrow6$

Bestimme den Limes $x\rightarrow6$ für $f'(x)$.

$\lim\limits_{x\rightarrow6}f'(x)=\lim\limits_{x\rightarrow6}\frac1{\sqrt{12-2x}}=\infty$ $\;$ Beachte, dass hier wegen des Definitionsbereichs $D_f=]-\infty;6[$ nur die Annäherung von links möglich ist. Du überlegst dir zuerst, dass der Nenner der Funktion den Grenzwert $0$ besitzt. Der Grund dafür ist $\sqrt{12-2\cdot6}=0$. Die Werte nähern sich also der $0$ an . Allerdings nur von rechts, das heißt es sind positive Werte nahe der $0$.

$1$ durch Zahlen nahe an $0$ ergibt $\infty$.

Mit der Information kannst du jetzt interpretieren: Da die Ableitung sehr groß und positiv ist, steigt die Funktion $f$ sehr stark an und vorallem steigt sie unendlich an.

Das Monotonieverhalten von $G_f$

Gib das Monotonieverhalten von $G_f$ an. Der Nenner und der Zähler der Ableitungsfuntion ist größer $0$, deshalb ist die Ableitung von $f$ positiv. Es gilt:

$f'(x)>0$

Das bedeutet $G_f$ ist streng monoton steigend.

Die Wertemege von $f$

Bestimme die Wertemenge von $f$. Du kannst dir überlegen, dass du durch deinen Definitionsbereich weißt die Funktion $f$ geht bis zu $x=6$. Setze $6$ in $f$ ein.

$f(6)=\frac{20\cdot6}{6^2-25}=2$

Zusätzlich hast du den Limes für $x\rightarrow-\infty$ bestimmt, welcher $-\infty$ ist.

Stelle den Wertebereich der Funktion $f$ auf.

$W_f=\rbrack-\infty,2\rbrack$

Die Werte von $f$ reichen von $-\infty$ bis $2$.

Funktionswert von $f$ an der Stelle $x=-2$:

Setzte $-2$ in die Funktion $f$ ein.

$f\left(-2\right)=2-\sqrt{12-2\cdot\left(-2\right)}=2-\sqrt{12+4}=2-\sqrt{16}=2-4=-2$

Der Funktionswert von $f$ an der Stelle $x=-2$ beträgt $-2$.

Eintragen der Punkte von $G_f$ ins Koordinatensystem

Zeichne den Graph von $f$ anhand der Information, die du zuvor berechnet hast. Der Graph soll im Bereich von $-3\leq y\leq7$ gezeichnet werden.

1.Zeichne Nullstelle, y-Achsenabschnitt ein 2.Zeichne weitere bekannte Punkte ein: $f(6)=2$, $f(-2)=-2$ 3.Beachte, dass die Funktion streng monoton steigend ist. 4.Beachte, dass die Funktion für $x\rightarrow-\infty$ gegen $-\infty$ geht. 5.Verbinde oder setze Notfalls noch weitere Punkte in die Funktion ein, um genauer zeichen zu können.

Definitionsbereich der Umkehrfunktion von $f$

Bestimme den Definitionsbereich der Umkehrfunktion $f^{-1}$. Hierzu musst du nur wissen, dass durch das Umkehren einer Funktion die Wertemenge und die Definitionsmenge getauscht werden. Das heißt, dass die Wertemenge von $f$ zur Definitionsmenge von $f^{-1}$ wird.

$D_{f^{-1}}=W_f=\rbrack-\infty,2\rbrack$

Die Definitionsmenge von $f^{-1}$ reicht von $-\infty$ bis $2$.

Umkehrfunktion von $f$

Berechne die Umkehrfunktion $f^{-1}$! Löse dafür die Gleichung $f(x)=y$ nach $x$ auf.

$f(x)=y$

$2-\sqrt{12-2x}=y\;\;\;\left|-2\left|:(-1)\right.\right.$

$\sqrt{12-2x}=2-y\;\;\;\left|{}^2\right.$

$12-2x=(2-y)^2\;\;\;\left|-12\right.$

$-2x=(2-y)^2-12\;\;\;\left|:(-2)\right.$

$x=\displaystyle\frac{(2-y)^2-12}{-2}=\frac{y^2-4y+4-12}{-2}=-\frac12y^2+2y+4$

Tausche $x$ und $y$.

$y=-\frac12x^2+2x+4$

Die Umkehrfunktion $f^{-1}$ von $f$ ist:

$f^{-1}(x)=-\frac12x^2+2x+4$