Analysis, Teil B, Aufgabengruppe 1

Berechne die Schnittpunkte von $h(x)$ mit der Winkelhalbierenden $w:y=x$.

Setze die zwei Funktionen gleich.

$h(x)=w$

$-\frac{1}{2}{x}^2+2x+4=x$

Löse nach $x$ auf. Hierzu musst du die Mitternachtsformel benutzen, damit du die quadratische Gleichung lösen kannst. Dazu musst du zuerst alles auf die linke Seite bringen.

$-\frac{1}{2}{x}^2+2x+4=x|-x$

$-\frac{1}{2}{x}^2+x+4=0$

Setze in die Mitternachtsformel ein.

$$x_{\mathrm{1,2}}={\displaystyle \frac{-1\pm \sqrt{1^2-4\cdot (-{\displaystyle \frac{1}{2}})\cdot 4}}{2\cdot (-{\displaystyle \frac{1}{2}})}=\frac{-1\pm \sqrt{9}}{-1}=\frac{-1\pm 3}{-1}}$$

$x_1=-2x_2=4$

Die $x$-Koordinaten der Schnittpunkte sind $-2$ und $4$.

Berechne die zugehörigen $y$-Werte, indem du die $x$-Werte in eine der beiden Funktionen einsetzt.

$h(-2)=-\frac{1}{2}\cdot 2+2\cdot (-2)+4=-2$

$h(4)=-\frac{1}{2}\cdot 16+2\cdot 4+4=4$

Deine Schnittpunkte von $h(x)$ mit $y=x$ sind $S_1=(-2|-2)$ und $S_2=(4|4)$.

Zeichne $G_h$ im Bereich $-2\le x\le 4$

Der lila Graph zeigt $G_h$.

Spiegeln des Graphen an der Winkelhalbierenden $w$

Spiegle $G_h$ an der Winkelhalbierenden $w$.

Um deinen Graphen $G_h$ an der Winkelhalbierenden vom I. und III. Quandranten zu spiegeln, musst die Umkehrfunktion $h^{-1}$ einzeichnen.

Schnittpunkte von $f$ mit den Koordinatenachsen

Deine Aufgabe ist es die Schnittpunkte der Funktion $f$ mit den Koordinatenachsen zu bestimmen.

Dazu musst du den y-Achsenabschnitt berechnen.

$x=0$

$f\left(0\right)=2-\sqrt{12-2\cdot 0}$

$=2-\sqrt{12-0}=2-\sqrt{12}$

$=2-\sqrt{3\cdot 4}=2-\sqrt{3}\cdot \sqrt{4}=2-2\sqrt{3}$

$\approx -\mathrm{1,46}$

Setze in $f(x)$ $x$ gleich $0$.

Rechne zuerst unter der Wurzel.

Du stellst fest du kannst $\sqrt{12}$ nicht berechnen. Zerteile $12$ in $3\cdot 4$. Somit kannst du teilweise radizieren.

Klammere $2$ aus.

Runde dein Ergebnis, damit du den Punkt später einzeichnen kannst.

Somit hat der y-Achsenabschnitt die Koordinaten $B(0|2(1-\sqrt{3}))$.

Als Zweites musst du die Nullstellen von $f$ berechnen! (d.h. die Schnittpunkte von $f$ mit der x-Achse)

Setze $f(x)=0$ und löse die Gleichung.

$f(x)=0$

$2-\sqrt{12-2x}=0|-2$

$-\sqrt{12-2x}=-2|{}^2$

$12-2x=4|+2x$

$8=2x|:2$

$x=4$

Somit hat $f$ eine Nullstelle mit den Koordinaten $A(4|0)$.

Grenzwert von $f$ gegen $-\infty$

Berechne den Limes von $f$ gegen $-\infty$!

$\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=\underset{x\to -\infty }{\lim }2-\sqrt{12-2x}=-\infty$

Du berechnest zuerst die Diskriminante.

$12-2(-\infty )=12+\infty =\infty$

Die Wurzel von $\infty$ bleibst $\infty$.

Du bildest letztlich noch die Differenz von $2$ und $\infty$.

$2-\infty =-\infty$

Der Grenzwert von $f$ für $x\to -\infty$ ist $-\infty$.

Bestimmung von $f(6)$

Bestimme den Wert von $f$ für $x=6$. Setze $x=6$ in die Funktion ein.

$f\left(6\right)=2-\sqrt{12-2\cdot 6}=2-\sqrt{12-12}=2-\sqrt{0}=2-0=2$

Der Wert von $f(6)$ beträgt $2$.

Ableitung von $f$

Bestimme die Ableitung $f^{\prime }$ von $f$.

Da du eine Funktion mit Wurzel ableiten willst, musst du die Wurzel in eine Potenz umschreiben. $f(x)=2-\sqrt{12-2x}=2-(12-2x{)}^{\frac{1}{2}}$

Anschließend kannst du mit der Kettenregel ableiten. $f^{\prime }\left(x\right)=-\frac{1}{2}(12-2x{)}^{-\frac{1}{2}}\cdot (-2)=(12-2x{)}^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{12-2x}}$

Maximale Definitionsmenge von $f^{\prime }$

Bestimme die maximale Definitionsmenge von $f^{\prime }$. Damit du die Definitionsmenge bestimmen kannst, musst du feststellen welche Bereiche ausgeschlossen werden müssen. Da deine Funktion eine Wurzel enthält, darf unter der Wurzel schoneinmal keine negative Zahl stehen. Löse die Ungleichung:

$\begin{array}{cccc}12-2x& >& 0& |+2x\\ 12& >& 2x& |:2\\ x& <& 6& \end{array}$

Zudem kannst du nicht durch $0$ teilen. Also darf der Nenner von $f^{\prime }$ nicht gleich $0$ sein. Löse diese Gleichung und schließe den Wert aus der Definitionsmenge aus:

$\begin{array}{cccc}\sqrt{12-2x}& =& 0& |{}^2\\ 12-2x& =& 0& |+2x\\ 12& =& 2x& |:2\\ x& =& 6& \end{array}$

Die Definitionsmenge von $f^{\prime }$ ist demnach $D_{f^{\prime }}=]-\infty ;6[$.

Bestimmung von Grenzwert von $f^{\prime }(x)$ für $x\to 6$

Bestimme den Limes $x\to 6$ für $f^{\prime }(x)$.

$\underset{x\to 6}{\lim }{f}^{\prime }(x)=\underset{x\to 6}{\lim }\frac{1}{\sqrt{12-2x}}=\infty$ $$ Beachte, dass hier wegen des Definitionsbereichs $D_f=]-\infty ;6[$ nur die Annäherung von links möglich ist. Du überlegst dir zuerst, dass der Nenner der Funktion den Grenzwert $0$ besitzt. Der Grund dafür ist $\sqrt{12-2\cdot 6}=0$. Die Werte nähern sich also der $0$ an . Allerdings nur von rechts, das heißt es sind positive Werte nahe der $0$.

$1$ durch Zahlen nahe an $0$ ergibt $\infty$.

Mit der Information kannst du jetzt interpretieren: Da die Ableitung sehr groß und positiv ist, steigt die Funktion $f$ sehr stark an und vorallem steigt sie unendlich an.

Das Monotonieverhalten von $G_f$

Gib das Monotonieverhalten von $G_f$ an. Der Nenner und der Zähler der Ableitungsfuntion ist größer $0$, deshalb ist die Ableitung von $f$ positiv. Es gilt:

$f^{\prime }(x)>0$

Das bedeutet $G_f$ ist streng monoton steigend.

Die Wertemege von $f$

Bestimme die Wertemenge von $f$. Du kannst dir überlegen, dass du durch deinen Definitionsbereich weißt die Funktion $f$ geht bis zu $x=6$. Setze $6$ in $f$ ein.

$f(6)=\frac{20\cdot 6}{6^2-25}=2$

Zusätzlich hast du den Limes für $x\to -\infty$ bestimmt, welcher $-\infty$ ist.

Stelle den Wertebereich der Funktion $f$ auf.

$W_f=]-\infty ,2]$

Die Werte von $f$ reichen von $-\infty$ bis $2$.

Funktionswert von $f$ an der Stelle $x=-2$:

Setzte $-2$ in die Funktion $f$ ein.

$f(-2)=2-\sqrt{12-2\cdot (-2)}=2-\sqrt{12+4}=2-\sqrt{16}=2-4=-2$

Der Funktionswert von $f$ an der Stelle $x=-2$ beträgt $-2$.

Eintragen der Punkte von $G_f$ ins Koordinatensystem

Zeichne den Graph von $f$ anhand der Information, die du zuvor berechnet hast. Der Graph soll im Bereich von $-3\le y\le 7$ gezeichnet werden.

1.Zeichne Nullstelle, y-Achsenabschnitt ein 2.Zeichne weitere bekannte Punkte ein: $f(6)=2$, $f(-2)=-2$ 3.Beachte, dass die Funktion streng monoton steigend ist. 4.Beachte, dass die Funktion für $x\to -\infty$ gegen $-\infty$ geht. 5.Verbinde oder setze Notfalls noch weitere Punkte in die Funktion ein, um genauer zeichen zu können.

Definitionsbereich der Umkehrfunktion von $f$

Bestimme den Definitionsbereich der Umkehrfunktion $f^{-1}$. Hierzu musst du nur wissen, dass durch das Umkehren einer Funktion die Wertemenge und die Definitionsmenge getauscht werden. Das heißt, dass die Wertemenge von $f$ zur Definitionsmenge von $f^{-1}$ wird.

$D_{f^{-1}}=W_f=]-\infty ,2]$

Die Definitionsmenge von $f^{-1}$ reicht von $-\infty$ bis $2$.

Umkehrfunktion von $f$

Berechne die Umkehrfunktion $f^{-1}$! Löse dafür die Gleichung $f(x)=y$ nach $x$ auf.

$f(x)=y$

$2-\sqrt{12-2x}=y|-2|:(-1)$

$\sqrt{12-2x}=2-y|{}^2$

$12-2x=(2-y{)}^2|-12$

$-2x=(2-y{)}^2-12|:(-2)$

$$x={\displaystyle \frac{(2-y{)}^2-12}{-2}=\frac{y^2-4y+4-12}{-2}=-\frac{1}{2}{y}^2+2y+4}$$

Tausche $x$ und $y$.

$y=-\frac{1}{2}{x}^2+2x+4$

Die Umkehrfunktion $f^{-1}$ von $f$ ist:

$f^{-1}(x)=-\frac{1}{2}{x}^2+2x+4$

Bestimmung des Flächeninhalts

Bestimme den Flächeninhalt $A$ des Flächenstücks zwischen dem Graph $G_h$ und der Winkelhalbierenden $w$. Hierzu brauchst du die Integralrechnung.

Du berechnest das Integral von $h(x)$ von $2$ bist $4$ und ziehst das Integral von $w(x)$ im gleichen Bereich ab. Da das Integral, aber eine Flächenbilanz angibt musst du beide Funktionen um $2$ nach oben verschieben. Dein Flächenstück befindet sich somit gänzlich über der $x$-Achse. Rechnerisch musst du nur zu jeder Funktion $2$ addieren.

$h(x)+2=-\frac{1}{2}{x}^2+2x+6$

$w(x)+2=x+2$

Du musst die orange Fläche berechnen.

$$\text{}A={\displaystyle {\int }_{-2}^{4}h(x)+2dx-{\int }_{-2}^{4}w(x)+2dx}$$

Um weiter zu rechnen benutzt du den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung.

Forme zuerst um.

$$A={\displaystyle {\int }_{-2}^{4}h(x)+2dx-{\int }_{-2}^{4}w(x)+2dx}$$

$$={\displaystyle {\int }_{-2}^{4}h(x)+2-(w(x)+2)dx={\int }_{-2}^{4}h(x)-w(x)dx}$$

Jetzt kannst eine Stammfunktion finden und den HDI anwenden.

$$A={\displaystyle {\int }_{-2}^{4}h\left(x\right)-w\left(x\right)={\int }_{-2}^4-\frac{1}{2}{x}^2+x+4=[-\frac{1}{6}{x}^3+\frac{1}{2}{x}^2+4x]\begin{array}{c}4\\ -2\end{array}=(-\frac{1}{6}\cdot 4^3+\frac{1}{2}\cdot 4^2+4\cdot 4)-(-\frac{1}{6}\cdot (-2{)}^3+\frac{1}{2}\cdot (-2{)}^2+4\cdot (-2))=18}$$

Das Flächenstück zwischen den Graphen $G_h$ und $G_w$ ist $18\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2$.

Flächeninhalt des Blattes

Du hast in Aufgabe 2b) ein Modell eines Blattes erstellt. Darin kannst du deutlich sehen, dass das Blatt den doppelten Flächeninhalt hat bezogen auf A. $B$ ist hierbei der Flächeninhalt des Blattes.

$B=2\cdot A=2\cdot 18=36$

Der Flächeninhalt des Blattes beträgt $36\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2$.

Tangente von $G_h$

Bestimme die Gleichung der Tangente an $G_h$ im Punkt $(-2|h(-2))$.

Berechne zuerst den Wert deiner $y$-Koordinate.

$h(-2)=-\frac{1}{2}\cdot 4-4+4=-2$

Deine Tangente soll also im Punkt $(-2|-2)$ sein.

Bestimme die Ableitung $h^{\prime }$ von $h$.

$h^{\prime }(x)=-x+2$

Deine Tangente besitzt die allgemeine Form einer Geraden.

$y=mx+t$

Damit du die Steigung $m$ berechnen kannst, musst du den $x$-Wert deines Punktes in $h^{\prime }(x)$ einsetzen.

$h(-2)=-(-2)+2=4$

Berechne $t$, indem du deinen Punkt in die Tangentengleichung einsetzt und nach $t$ auflöst.

$-2=4\cdot (-2)+t$

$-2=-8+t|+8$

$t=6$

Stelle nun die Gleichung der Tangente $t$ auf.

$t(x)=4\cdot x+6$

Bestimmung des Winkels, den die Blattspitze einschließt

Bestimme den Winkel zwischen den Funktionen $h(x)$ und $w(x)$.

Du kannst erkennen, dass der Winkel, der von der Blattspitze eingeschlossen wird, die doppelte Größe von $\alpha$ hat.

Berechne den Winkel $\beta$ zwischen der Tangente $t$ und der Waagrechten $r$. Dazu musst du Tangens von $\beta$ gleich der Steigung von $t$, also gleich $4$ setzen.

$\tan \left(\beta \right)=4\iff \beta ={\mathrm{75,96}}^{\circ }$

Der Winkel zwischen der Tangente und der Waagrechten beträgt ${\mathrm{75,96}}^{\circ }$.

Du weißt schon, dass die Winkelhalbierende eines Quadranten des Koordinatensystems in einem ${45}^{\circ }$-Winkel auf jeder Waagrechten steht also auch auf $r$.

Wie du in der Zeichung sehen kannst, ist der Winkel $\alpha$ die Differenz zwischen dem Winkel $\beta$ und dem Winkel zwischen $w$ und $r$.

$\alpha =\beta -{45}^{\circ }={\mathrm{75,96}}^{\circ }-{45}^{\circ }={\mathrm{30,96}}^{\circ }$

Der Winkel $\alpha$ hat ${\mathrm{30,96}}^{\circ }$.

Der Winkel, den die Blattspitzen einschließen, ist:

$2\cdot \alpha =2\cdot {\mathrm{30,96}}^{\circ }={\mathrm{61,92}}^{\circ }$.

Der Winkel, der von der Blattspitze eingeschlossen wird, beträgt ${\mathrm{61,92}}^{\circ }$.

Bedingungen I,II und III

Mit Bedingung I und II stellst du sicher, dass die Funktionen $h$ und $k$ nahtlos ineinander übergehen. Genauer sagt dir die Bedingung I, dass $h$ und $k$ für $x$ gleich $0$ den gleichen Funktionswert haben, und die Bedingung II, dass sie an diesem Punkt auch die gleiche Steigung haben.

Die III. Bedingung sagt dir, dass die beiden Funktionen wieder am gleichen Punkt zusammenlaufen. Also am Punkt $(-2|-2)$ das Ende der Blattspitze bleibt.

Bedingung IV

In der IV. Bedingung musst du erkennen, dass hier die Funktion $k$ von der ursprünglichen Funktion $h$ abweicht. Führ dir den Unterschied vor Augen, indem du die Werte berechnest.

$k^{\prime }(-2)=\mathrm{1,5}$

$h^{\prime }(-2)=-(-2)+2=4$

Du siehst der ursprüngliche Rand verläuft steiler, da er eine größere Steigung hat. Die Bedingung IV verursacht eine Abflachung an der Blattspitze, das ist die Kurve nach innen, die du auf dem Bild erkennen kannst.