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Analysis, Teil B, Aufgabengruppe 1

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Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

  1. 1

    Der Graph der in R\mathbb{R} definierten Funktion h:x12x2+2x+4  h:x\mapsto-\frac12x^2+2x+4\; ist die Parabel GhG_h. Der Graph der in Aufgabe 1e betrachteten Umkehrfunktion f1f^{-1} ist ein Teil dieser Parabel.

    1. Berechnen Sie die Koordinaten der Schnittpunkte von GhG_h mit der durch die Gleichung y=xy=x gegebenen Winkelhalbierenden ww des I. und III. Quadranten. (Teilergebnis: xx-Koordinaten der Schnittpunkte: 2-2 und 44) (3BE)

    2. Zeichnen Sie die Parabel GhG_h - unter Berücksichtigung des Scheitels - im Bereich 2x4-2\leq x\leq4 in Ihre Zeichnung aus Aufgabe 1d ein. Spiegelt man diesen Teil von GhG_h an der Winkelhalbierenden w, so entsteht eine herzförmimge Figur; ergänzen Sie Ihre Zeichnung dementsprechend. (4BE)

  2. 2

    Gegeben ist die Funktion f:x2122xf:x\mapsto2-\sqrt{12-2x} mit maximaler Definitionsmenge Df=];6]D_f=\rbrack-\infty;6\rbrack. Der Graph von ff wird mit GfG_f bezeichnet.

    1. Berechnen Sie die Koordinaten der Schnittpunkte von GfG_f mit den Koordinatenachsen. Bestimmen Sie das Verhalten von ff für xx\mapsto-\infty und geben Sie f(6)f(6) an. (5BE)

    2. Bestimmen Sie den Term der Ableitungsfunktion ff' von ff und geben Sie die maximale Definitionsmenge von ff' an.Bestimmen Sie limx6f(x)\lim\limits_{x\mapsto6} f'(x) und beschreiben Sie, welche Eigenschaften von GfG_f aus diesem Ergebnis folgt. (zur Kontrolle: f(x)=1122xf'(x)=\frac1{\sqrt{12-2x}}) (5BE)

    3. Geben Sie das Monotonieverhalten von GfG_f und die Wertemenge von ff an. (2BE)

    4. Geben Sie f(2)f(-2) an und zeichnen Sie GfG_f unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse in ein Koordinatensystem ein (Platzbedarf im Hinblick auf die folgenden Aufgaben: 3y7-3\leq y\leq7). (3BE)

    5. Die Funktion ff ist in DfD_f umkehrbar. Geben Sie die Definitionsmenge der Umkehrfunktion f1f^{-1} von ff an und zeigen Sie, dass f1(x)=  12x2+2x+4f^{-1}(x)=\;-\frac12x^2+2x+4 gilt. (4BE)

  3. 3

    Durch die in Aufgabe 2 entstandene herzförmige Figur soll das abgebildete Blatt modellhaft beschrieben werden. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem aus Aufgabe 1d soll dabei 1cm1\mathrm{cm} in der Wirklichkeit entsprechen.

    1. Berechnen Sie den Inhalt des von GhG_h und der Winkelhalbierenden ww eingeschlossenen Flächenstücks. Bestimmen Sie unter Verwendung dieses Werts den Flächeninhalt des Blatts auf der Grundlage des Modells. (5BE)

      herzförmiges Blatt
    2. Ermitteln Sie die Gleichung der Tangente an GhG_h im Punkt (2(2))(-2\vert(-2)). Berechnen Sie den Wert, den das Modell für die Größe des Winkels liefert, den die Blattränder an der Blattspitze einschließen. (6BE)

    3. Der Verlauf des oberen Blattrands wird in der Nähe der Blattspitze durch das bisher verwendete Modell nicht genau genug darstellt. Daher soll der obere Blattrand im Modell für 2x0-2\leq x\leq0 nicht mehr durch GhG_h, sondern durch den Graphen GkG_k einer in R\mathbb{R} definierten ganzrationalen Funktion kk dritten Grades beschrieben werden. Für die Funktion k werden die folgenden Bedingungen gewählt (kk' und hh' sind die Ableitungsfunktionen von kk bzw. hh):

      Ik(0)=h(0)IIk(0)=h(0)IIIk(2)=h(2)IVk(2)=1,5\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{crcrcrcr} \mathrm{I}&k(0)&=&h(0)\\ \mathrm{II}&k'(0)&=&h'(0)\\ \mathrm{III}&k(-2)&=&h(-2)\\ \mathrm{IV}&k'(-2)&=&1{,}5 \end{array}

      Begründen Sie im Sachzusammenhang, dass die Wahl der Bedingungen I,II und III sinnvoll ist. Machen Sie plausibel, dass die Bedingung IV dazu führt, dass die Form des Blatts in der Nähe der Blattspitze im Vergleich zum ursprünglichen Modell genauer dargestellt wird. (3BE)


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