Analysis, Teil B, Aufgabengruppe 1

Berechne die Schnittpunkte von $h(x)h(x)$ mit der Winkelhalbierenden $w:y=xw:y=x$.

Setze die zwei Funktionen gleich.

$h(x)=wh(x)=w$

$-\frac{1}{2}{x}^2+2x+4=x-\backslash frac12x^2+2x+4=x$

Löse nach $xx$ auf. Hierzu musst du die Mitternachtsformel benutzen, damit du die quadratische Gleichung lösen kannst. Dazu musst du zuerst alles auf die linke Seite bringen.

$-\frac{1}{2}{x}^2+2x+4=x\mid -x-\backslash frac12x^2+2x+4=x\backslash ;\backslash ;\backslash ;\backslash left|-x\backslash right.$

$-\frac{1}{2}{x}^2+x+4=0-\backslash frac12x^2+x+4=0$

Setze in die Mitternachtsformel ein.

$x_{\mathrm{1,2}}={\displaystyle \frac{-1\pm \sqrt{1^2-4\cdot (-{\displaystyle \frac{1}{2}})\cdot 4}}{2\cdot (-{\displaystyle \frac{1}{2}})}=\frac{-1\pm \sqrt{9}}{-1}=\frac{-1\pm 3}{-1}}x\_\{1\{,\}2\}=\backslash displaystyle\backslash frac\{-1\backslash pm\backslash sqrt\{1^2-4\backslash cdot(-\{\backslash displaystyle\backslash frac12\})\backslash cdot4\}\}\{2\backslash cdot(-\{\backslash displaystyle\backslash frac12\})\}=\backslash frac\{-1\backslash pm\backslash sqrt9\}\{-1\}=\backslash frac\{-1\backslash pm3\}\{-1\}$

$x_1=-2x_2=4x\_1=-2\backslash ;\backslash ;\backslash ;\backslash ;\backslash ;\backslash ;\backslash ;\backslash ;\backslash ;\backslash ;\backslash ;x\_2=4$

Die $xx$-Koordinaten der Schnittpunkte sind $-2-2$ und $44$.

Berechne die zugehörigen $yy$-Werte, indem du die $xx$-Werte in eine der beiden Funktionen einsetzt.

$h(-2)=-\frac{1}{2}\cdot 2+2\cdot (-2)+4=-2h(-2)=-\backslash frac12\backslash cdot2+2\backslash cdot(-2)+4=-2$

$h(4)=-\frac{1}{2}\cdot 16+2\cdot 4+4=4h(4)=-\backslash frac12\backslash cdot16+2\backslash cdot4+4=4$

Deine Schnittpunkte von $h(x)h(x)$ mit $y=xy=x$ sind $S_1=(-2\mathrm{\mid }-2)S\_1=(-2\backslash vert-2)$ und $S_2=(4\mathrm{\mid }4)S\_2=(4\backslash vert4)$.

Zeichne $G_{h}G\_h$ im Bereich $-2\le x\le 4-2\backslash leq\; x\backslash leq4$

Der lila Graph zeigt $G_{h}G\_h$.

Spiegeln des Graphen an der Winkelhalbierenden $ww$

Spiegle $G_{h}G\_h$ an der Winkelhalbierenden $ww$.

Um deinen Graphen $G_{h}G\_h$ an der Winkelhalbierenden vom I. und III. Quandranten zu spiegeln, musst die Umkehrfunktion $h^{-1}h^\{-1\}$ einzeichnen.

Schnittpunkte von $ff$ mit den Koordinatenachsen

Deine Aufgabe ist es die Schnittpunkte der Funktion $ff$ mit den Koordinatenachsen zu bestimmen.

Dazu musst du den y-Achsenabschnitt berechnen.

$x=0x=0$

$f\left(0\right)=2-\sqrt{12-2\cdot 0}f\backslash left(0\backslash right)=2-\backslash sqrt\{12-2\backslash cdot\; 0\}$

$=2-\sqrt{12-0}=2-\sqrt{12}=2-\backslash sqrt\{12-0\}=2-\backslash sqrt\{12\}$

$=2-\sqrt{3\cdot 4}=2-\sqrt{3}\cdot \sqrt{4}=2-2\sqrt{3}=2-\backslash sqrt\{3\backslash cdot\; 4\}=2-\backslash sqrt\{3\}\backslash cdot\; \backslash sqrt\{4\}=2-2\backslash sqrt\{3\}$

$\approx -\mathrm{1,46}\backslash approx\; -1\{,\}46$

Setze in $f(x)f(x)$ $xx$ gleich $00$.

Rechne zuerst unter der Wurzel.

Du stellst fest du kannst $\sqrt{12}\backslash sqrt\{12\}$ nicht berechnen. Zerteile $1212$ in $3\cdot 43\backslash cdot4$. Somit kannst du teilweise radizieren.

Klammere $22$ aus.

Runde dein Ergebnis, damit du den Punkt später einzeichnen kannst.

Somit hat der y-Achsenabschnitt die Koordinaten $B(0\mathrm{\mid }2(1-\sqrt{3}))B(0\backslash vert2(1-\backslash sqrt3))$.

Als Zweites musst du die Nullstellen von $ff$ berechnen! (d.h. die Schnittpunkte von $ff$ mit der x-Achse)

Setze $f(x)=0f(x)=0$ und löse die Gleichung.

$f(x)=0f(x)=0$

$2-\sqrt{12-2x}=0\mid -22-\backslash sqrt\{12-2x\}=0\backslash ;\backslash ;\backslash ;\backslash left|-2\backslash right.$

$-\sqrt{12-2x}=-2\mid {}^2-\backslash sqrt\{12-2x\}=-2\backslash ;\backslash ;\backslash ;\backslash left|\{\}^2\backslash right.$

$12-2x=4\mid +2x12-2x=4\backslash ;\backslash ;\backslash ;\backslash left|+2x\backslash right.$

$8=2x\mid :28=2x\backslash ;\backslash ;\backslash ;\backslash left|:2\backslash right.$

$x=4x=4$

Somit hat $ff$ eine Nullstelle mit den Koordinaten $A(4\mathrm{\mid }0)A(4\backslash vert0)$.

Grenzwert von $ff$ gegen $-\mathrm{\infty }-\backslash infty$

Berechne den Limes von $ff$ gegen $-\mathrm{\infty }-\backslash infty$!

$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }2-\sqrt{12-2x}=-\mathrm{\infty }\backslash lim\backslash limits\_\{x\backslash rightarrow-\backslash infty\}f(x)=\backslash lim\backslash limits\_\{x\backslash rightarrow-\backslash infty\}2-\backslash sqrt\{12-2x\}=-\backslash infty$

Du berechnest zuerst die Diskriminante.

$12-2(-\mathrm{\infty })=12+\mathrm{\infty }=\mathrm{\infty }12-2\backslash ;(-\backslash infty)=12+\backslash infty=\backslash infty$

Die Wurzel von $\mathrm{\infty }\backslash infty$ bleibst $\mathrm{\infty }\backslash infty$.

Du bildest letztlich noch die Differenz von $22$ und $\mathrm{\infty }\backslash infty$.

$2-\mathrm{\infty }=-\mathrm{\infty }2-\backslash infty=-\backslash infty$

Der Grenzwert von $ff$ für $x\to -\mathrm{\infty }x\backslash rightarrow-\backslash infty$ ist $-\mathrm{\infty }-\backslash infty$.

Bestimmung von $f(6)f(6)$

Bestimme den Wert von $ff$ für $x=6x=6$. Setze $x=6x=6$ in die Funktion ein.

$f\left(6\right)=2-\sqrt{12-2\cdot 6}=2-\sqrt{12-12}=2-\sqrt{0}=2-0=2f\backslash left(6\backslash right)=2-\backslash sqrt\{12-2\backslash cdot6\}=2-\backslash sqrt\{12-12\}=2-\backslash sqrt0=2-0=2$

Der Wert von $f(6)f(6)$ beträgt $22$.

Ableitung von $ff$

Bestimme die Ableitung $f^{\mathrm{\prime }}f\text{'}$ von $ff$.

Da du eine Funktion mit Wurzel ableiten willst, musst du die Wurzel in eine Potenz umschreiben. $f(x)=2-\sqrt{12-2x}=2-(12-2x{)}^{\frac{1}{2}}f(x)=2-\backslash sqrt\{12-2x\}=2-(12-2x)^\backslash frac12$

Anschließend kannst du mit der Kettenregel ableiten. $f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=-\frac{1}{2}(12-2x{)}^{-\frac{1}{2}}\cdot (-2)=(12-2x{)}^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{12-2x}}f\text{'}\backslash left(x\backslash right)=-\backslash frac12(12-2x)^\{-\backslash frac12\}\backslash cdot(-2)=(12-2x)^\{-\backslash frac12\}\backslash ;=\backslash frac1\{\backslash sqrt\{12-2x\}\}$

Maximale Definitionsmenge von $f^{\mathrm{\prime }}f\text{'}$

Bestimme die maximale Definitionsmenge von $f^{\mathrm{\prime }}f\text{'}$. Damit du die Definitionsmenge bestimmen kannst, musst du feststellen welche Bereiche ausgeschlossen werden müssen. Da deine Funktion eine Wurzel enthält, darf unter der Wurzel schoneinmal keine negative Zahl stehen. Löse die Ungleichung:

Zudem kannst du nicht durch $00$ teilen. Also darf der Nenner von $f^{\mathrm{\prime }}f\text{'}$ nicht gleich $00$ sein. Löse diese Gleichung und schließe den Wert aus der Definitionsmenge aus:

Die Definitionsmenge von $f^{\mathrm{\prime }}f\text{'}$ ist demnach $D_{f^{\mathrm{\prime }}}=]-\mathrm{\infty };6[D\_\{f\text{'}\}=\backslash rbrack-\backslash infty;6\backslash lbrack$.

Bestimmung von Grenzwert von $f^{\mathrm{\prime }}(x)f\text{'}(x)$ für $x\to 6x\backslash rightarrow6$

Bestimme den Limes $x\to 6x\backslash rightarrow6$ für $f^{\mathrm{\prime }}(x)f\text{'}(x)$.

$\underset{x\to 6}{\lim }{f}^{\mathrm{\prime }}(x)=\underset{x\to 6}{\lim }\frac{1}{\sqrt{12-2x}}=\mathrm{\infty }\backslash lim\backslash limits\_\{x\backslash rightarrow6\}f\text{'}(x)=\backslash lim\backslash limits\_\{x\backslash rightarrow6\}\backslash frac1\{\backslash sqrt\{12-2x\}\}=\backslash infty$ $\backslash ;$ Beachte, dass hier wegen des Definitionsbereichs $D_f=]-\mathrm{\infty };6[D\_f=]-\backslash infty;6[$ nur die Annäherung von links möglich ist. Du überlegst dir zuerst, dass der Nenner der Funktion den Grenzwert $00$ besitzt. Der Grund dafür ist $\sqrt{12-2\cdot 6}=0\backslash sqrt\{12-2\backslash cdot6\}=0$. Die Werte nähern sich also der $00$ an . Allerdings nur von rechts, das heißt es sind positive Werte nahe der $00$.

$11$ durch Zahlen nahe an $00$ ergibt $\mathrm{\infty }\backslash infty$.

Mit der Information kannst du jetzt interpretieren: Da die Ableitung sehr groß und positiv ist, steigt die Funktion $ff$ sehr stark an und vorallem steigt sie unendlich an.

Das Monotonieverhalten von $G_{f}G\_f$

Gib das Monotonieverhalten von $G_{f}G\_f$ an. Der Nenner und der Zähler der Ableitungsfuntion ist größer $00$, deshalb ist die Ableitung von $ff$ positiv. Es gilt:

$f^{\mathrm{\prime }}(x)>0f\text{'}(x)>0$

Das bedeutet $G_{f}G\_f$ ist streng monoton steigend.

Die Wertemege von $ff$

Bestimme die Wertemenge von $ff$. Du kannst dir überlegen, dass du durch deinen Definitionsbereich weißt die Funktion $ff$ geht bis zu $x=6x=6$. Setze $66$ in $ff$ ein.

$f(6)=\frac{20\cdot 6}{6^2-25}=2f(6)=\backslash frac\{20\backslash cdot6\}\{6^2-25\}=2$

Zusätzlich hast du den Limes für $x\to -\mathrm{\infty }x\backslash rightarrow-\backslash infty$ bestimmt, welcher $-\mathrm{\infty }-\backslash infty$ ist.

Stelle den Wertebereich der Funktion $ff$ auf.

$W_f=]-\mathrm{\infty },2]W\_f=\backslash rbrack-\backslash infty,2\backslash rbrack$

Die Werte von $ff$ reichen von $-\mathrm{\infty }-\backslash infty$ bis $22$.

Funktionswert von $ff$ an der Stelle $x=-2x=-2$:

Setzte $-2-2$ in die Funktion $ff$ ein.

$f(-2)=2-\sqrt{12-2\cdot (-2)}=2-\sqrt{12+4}=2-\sqrt{16}=2-4=-2f\backslash left(-2\backslash right)=2-\backslash sqrt\{12-2\backslash cdot\backslash left(-2\backslash right)\}=2-\backslash sqrt\{12+4\}=2-\backslash sqrt\{16\}=2-4=-2$

Der Funktionswert von $ff$ an der Stelle $x=-2x=-2$ beträgt $-2-2$.

Eintragen der Punkte von $G_{f}G\_f$ ins Koordinatensystem

Zeichne den Graph von $ff$ anhand der Information, die du zuvor berechnet hast. Der Graph soll im Bereich von $-3\le y\le 7-3\backslash leq\; y\backslash leq7$ gezeichnet werden.

1.Zeichne Nullstelle, y-Achsenabschnitt ein 2.Zeichne weitere bekannte Punkte ein: $f(6)=2f(6)=2$, $f(-2)=-2f(-2)=-2$ 3.Beachte, dass die Funktion streng monoton steigend ist. 4.Beachte, dass die Funktion für $x\to -\mathrm{\infty }x\backslash rightarrow-\backslash infty$ gegen $-\mathrm{\infty }-\backslash infty$ geht. 5.Verbinde oder setze Notfalls noch weitere Punkte in die Funktion ein, um genauer zeichen zu können.

Definitionsbereich der Umkehrfunktion von $ff$

Bestimme den Definitionsbereich der Umkehrfunktion $f^{-1}f^\{-1\}$. Hierzu musst du nur wissen, dass durch das Umkehren einer Funktion die Wertemenge und die Definitionsmenge getauscht werden. Das heißt, dass die Wertemenge von $ff$ zur Definitionsmenge von $f^{-1}f^\{-1\}$ wird.

$D_{f^{-1}}=W_f=]-\mathrm{\infty },2]D\_\{f^\{-1\}\}=W\_f=\backslash rbrack-\backslash infty,2\backslash rbrack$

Die Definitionsmenge von $f^{-1}f^\{-1\}$ reicht von $-\mathrm{\infty }-\backslash infty$ bis $22$.

Umkehrfunktion von $ff$

Berechne die Umkehrfunktion $f^{-1}f^\{-1\}$! Löse dafür die Gleichung $f(x)=yf(x)=y$ nach $xx$ auf.

$f(x)=yf(x)=y$

$2-\sqrt{12-2x}=y\mid -2\mid :(-1)2-\backslash sqrt\{12-2x\}=y\backslash ;\backslash ;\backslash ;\backslash left|-2\backslash left|:(-1)\backslash right.\backslash right.$

$\sqrt{12-2x}=2-y\mid {}^2\backslash sqrt\{12-2x\}=2-y\backslash ;\backslash ;\backslash ;\backslash left|\{\}^2\backslash right.$

$12-2x=(2-y{)}^2\mid -1212-2x=(2-y)^2\backslash ;\backslash ;\backslash ;\backslash left|-12\backslash right.$

$-2x=(2-y{)}^2-12\mid :(-2)-2x=(2-y)^2-12\backslash ;\backslash ;\backslash ;\backslash left|:(-2)\backslash right.$

$x={\displaystyle \frac{(2-y{)}^2-12}{-2}=\frac{y^2-4y+4-12}{-2}=-\frac{1}{2}{y}^2+2y+4}x=\backslash displaystyle\backslash frac\{(2-y)^2-12\}\{-2\}=\backslash frac\{y^2-4y+4-12\}\{-2\}=-\backslash frac12y^2+2y+4$

Tausche $xx$ und $yy$.

$y=-\frac{1}{2}{x}^2+2x+4y=-\backslash frac12x^2+2x+4$

Die Umkehrfunktion $f^{-1}f^\{-1\}$ von $ff$ ist:

$f^{-1}(x)=-\frac{1}{2}{x}^2+2x+4f^\{-1\}(x)=-\backslash frac12x^2+2x+4$

Bestimmung des Flächeninhalts

Bestimme den Flächeninhalt $AA$ des Flächenstücks zwischen dem Graph $G_{h}G\_h$ und der Winkelhalbierenden $ww$. Hierzu brauchst du die Integralrechnung.

Du berechnest das Integral von $h(x)h(x)$ von $22$ bist $44$ und ziehst das Integral von $w(x)w(x)$ im gleichen Bereich ab. Da das Integral, aber eine Flächenbilanz angibt musst du beide Funktionen um $22$ nach oben verschieben. Dein Flächenstück befindet sich somit gänzlich über der $xx$-Achse. Rechnerisch musst du nur zu jeder Funktion $22$ addieren.

$h(x)+2=-\frac{1}{2}{x}^2+2x+6h(x)+2=-\backslash frac12x^2+2x+6$

$w(x)+2=x+2w(x)+2=x+2$

Du musst die orange Fläche berechnen.

$\text{}A={\displaystyle {\int }_{-2}^{4}h(x)+2dx-{\int }_{-2}^{4}w(x)+2dx}A=\backslash displaystyle\backslash int\_\{-2\}^4h(x)+2dx-\backslash int\_\{-2\}^4w(x)+2dx$

Um weiter zu rechnen benutzt du den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung.

Forme zuerst um.

$A={\displaystyle {\int }_{-2}^{4}h(x)+2dx-{\int }_{-2}^{4}w(x)+2dx}A=\backslash displaystyle\backslash int\_\{-2\}^4h(x)+2dx-\backslash int\_\{-2\}^4w(x)+2dx$

$={\displaystyle {\int }_{-2}^{4}h(x)+2-(w(x)+2)dx={\int }_{-2}^{4}h(x)-w(x)dx}=\backslash displaystyle\backslash int\_\{-2\}^4h(x)+2-(w(x)+2)dx=\backslash int\_\{-2\}^4h(x)-w(x)dx$

Jetzt kannst eine Stammfunktion finden und den HDI anwenden.

$A={\displaystyle {\int }_{-2}^{4}h\left(x\right)-w\left(x\right)={\int }_{-2}^4-\frac{1}{2}{x}^2+x+4=[-\frac{1}{6}{x}^3+\frac{1}{2}{x}^2+4x]\begin{array}{c}4\\ -2\end{array}=(-\frac{1}{6}\cdot 4^3+\frac{1}{2}\cdot 4^2+4\cdot 4)-(-\frac{1}{6}\cdot (-2{)}^3+\frac{1}{2}\cdot (-2{)}^2+4\cdot (-2))=18}\backslash def\backslash arraystretch\{2\}\; A=\backslash displaystyle\backslash int\_\{-2\}^4h\backslash left(x\backslash right)-w\backslash left(x\backslash right)=\backslash int\_\{-2\}^4-\backslash frac12x^2+x+4=\backslash left[-\backslash frac16x^3+\backslash frac12x^2+4x\backslash right]\backslash begin\{array\}\{c\}4\backslash \backslash -2\backslash end\{array\}=\backslash left(-\backslash frac16\backslash cdot4^3+\backslash frac12\backslash cdot4^2+4\backslash cdot4\backslash right)-(-\backslash frac16\backslash cdot(-2)^3+\backslash frac12\backslash cdot(-2)^2+4\backslash cdot(-2))=18$

Das Flächenstück zwischen den Graphen $G_{h}G\_h$ und $G_{w}G\_w$ ist $18\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{2}18\backslash ;\backslash mathrm\{cm^2\}$.

Flächeninhalt des Blattes

Du hast in Aufgabe 2b) ein Modell eines Blattes erstellt. Darin kannst du deutlich sehen, dass das Blatt den doppelten Flächeninhalt hat bezogen auf A. $BB$ ist hierbei der Flächeninhalt des Blattes.

$B=2\cdot A=2\cdot 18=36B=2\backslash cdot\; A=2\backslash cdot18=36$

Der Flächeninhalt des Blattes beträgt $36\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{2}36\backslash ;\backslash mathrm\{cm^2\}$.

Tangente von $G_{h}G\_h$

Bestimme die Gleichung der Tangente an $G_{h}G\_h$ im Punkt $(-2\mathrm{\mid }h(-2))(-2|h(-2))$.

Berechne zuerst den Wert deiner $yy$-Koordinate.

$h(-2)=-\frac{1}{2}\cdot 4-4+4=-2h\backslash left(-2\backslash right)=-\backslash frac12\backslash cdot4-4+4=-2$

Deine Tangente soll also im Punkt $(-2\mathrm{\mid }-2)(-2|-2)$ sein.

Bestimme die Ableitung $h^{\mathrm{\prime }}h\text{'}$ von $hh$.

$h^{\mathrm{\prime }}(x)=-x+2h\text{'}(x)=-x+2$

Deine Tangente besitzt die allgemeine Form einer Geraden.

$y=mx+ty=mx+t$

Damit du die Steigung $mm$ berechnen kannst, musst du den $xx$-Wert deines Punktes in $h^{\mathrm{\prime }}(x)h\text{'}(x)$ einsetzen.

$h(-2)=-(-2)+2=4h(-2)=-(-2)+2=4$

Berechne $tt$, indem du deinen Punkt in die Tangentengleichung einsetzt und nach $tt$ auflöst.

$-2=4\cdot (-2)+t-2=4\backslash cdot(-2)+t$

$-2=-8+t\mid +8-2=-8+t\backslash ;\backslash ;\backslash ;\backslash left|+8\backslash right.$

$t=6\backslash ;\backslash ;\backslash ;t=6$

Stelle nun die Gleichung der Tangente $tt$ auf.

$t(x)=4\cdot x+6t(x)=4\backslash cdot\; x+6$

Bestimmung des Winkels, den die Blattspitze einschließt

Bestimme den Winkel zwischen den Funktionen $h(x)h(x)$ und $w(x)w(x)$.

Du kannst erkennen, dass der Winkel, der von der Blattspitze eingeschlossen wird, die doppelte Größe von $\alpha \backslash alpha$ hat.

Berechne den Winkel $\beta \backslash beta$ zwischen der Tangente $tt$ und der Waagrechten $rr$. Dazu musst du Tangens von $\beta \backslash beta$ gleich der Steigung von $tt$, also gleich $44$ setzen.

$\tan \left(\beta \right)=4\iff \beta ={\mathrm{75,96}}^{\circ }\backslash tan\backslash left(\backslash beta\backslash right)=4\backslash ;\backslash ;\backslash ;\backslash ;\backslash ;\backslash Leftrightarrow\backslash ;\backslash ;\backslash ;\backslash ;\backslash beta=75\{,\}96^\backslash circ$

Der Winkel zwischen der Tangente und der Waagrechten beträgt ${\mathrm{75,96}}^{\circ }75\{,\}96^\backslash circ$.

Du weißt schon, dass die Winkelhalbierende eines Quadranten des Koordinatensystems in einem ${45}^{\circ }45^\backslash circ$-Winkel auf jeder Waagrechten steht also auch auf $rr$.

Wie du in der Zeichung sehen kannst, ist der Winkel $\alpha \backslash alpha$ die Differenz zwischen dem Winkel $\beta \backslash beta$ und dem Winkel zwischen $ww$ und $rr$.

$\alpha =\beta -{45}^{\circ }={\mathrm{75,96}}^{\circ }-{45}^{\circ }={\mathrm{30,96}}^{\circ }\backslash alpha=\backslash beta-45^\backslash circ=75\{,\}96^\backslash circ-45^\backslash circ=30\{,\}96^\backslash circ$

Der Winkel $\alpha \backslash alpha$ hat ${\mathrm{30,96}}^{\circ }30\{,\}96^\backslash circ$.

Der Winkel, den die Blattspitzen einschließen, ist:

$2\cdot \alpha =2\cdot {\mathrm{30,96}}^{\circ }={\mathrm{61,92}}^{\circ }2\backslash cdot\backslash alpha=2\backslash cdot30\{,\}96^\backslash circ=61\{,\}92^\backslash circ$.

Der Winkel, der von der Blattspitze eingeschlossen wird, beträgt ${\mathrm{61,92}}^{\circ }61\{,\}92^\backslash circ$.

Bedingungen I,II und III

Mit Bedingung I und II stellst du sicher, dass die Funktionen $hh$ und $kk$ nahtlos ineinander übergehen. Genauer sagt dir die Bedingung I, dass $hh$ und $kk$ für $xx$ gleich $00$ den gleichen Funktionswert haben, und die Bedingung II, dass sie an diesem Punkt auch die gleiche Steigung haben.

Die III. Bedingung sagt dir, dass die beiden Funktionen wieder am gleichen Punkt zusammenlaufen. Also am Punkt $(-2\mathrm{\mid }-2)(-2|-2)$ das Ende der Blattspitze bleibt.

Bedingung IV

In der IV. Bedingung musst du erkennen, dass hier die Funktion $kk$ von der ursprünglichen Funktion $hh$ abweicht. Führ dir den Unterschied vor Augen, indem du die Werte berechnest.

$k^{\mathrm{\prime }}(-2)=\mathrm{1,5}k\text{'}(-2)=1\{,\}5$

$h^{\mathrm{\prime }}(-2)=-(-2)+2=4h\text{'}(-2)=-(-2)+2=4$

Du siehst der ursprüngliche Rand verläuft steiler, da er eine größere Steigung hat. Die Bedingung IV verursacht eine Abflachung an der Blattspitze, das ist die Kurve nach innen, die du auf dem Bild erkennen kannst.