Aufgaben zur Lagebeziehung dreier Ebenen

Mit diesen Übungsaufgaben lernst du, die Lagebeziehung von Ebenen rechnerisch zu überprüfen.

1
Untersuche, welche gegenseitige Lage die drei Ebenen $E_{1} : 3 x_{1} - 4 x_{2} + 2 x_{3} = 6$ , $E_{2} : - 1,5 x_{1} + 2 x_{2} - x_{3} = - 2$ und $E_{3} : 4,5 x_{1} - 6 x_{2} + 3 x_{3} = 12$ einnehmen.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehungen zwischen 3 Ebenen
Untersuchung auf Parallelität oder Identität
Betrachte zunächst die Normalenvektoren der drei Ebenen:
${\vec{n}}_{1} = (\begin{array}{c} 3 \\ - 4 \\ 2 \end{array})$ , ${\vec{n}}_{2} = (\begin{array}{c} - 1,5 \\ 2 \\ - 1 \end{array})$ und ${\vec{n}}_{3} = (\begin{array}{c} 4,5 \\ - 6 \\ 3 \end{array})$
Untersuche die Normalenvektoren auf Parallelität. Es gilt:
$( - 2) \cdot {\vec{n}}_{2} = {\vec{n}}_{1}$ , $(\frac{2}{3}) \cdot {\vec{n}}_{3} = {\vec{n}}_{1}$ und $( - 3) \cdot {\vec{n}}_{2} = {\vec{n}}_{3}$
Die Normalenvektoren sind Vielfache voneinander. Dies hat zur Folge, dass die Ebenen identisch oder parallel zueinander sind.
Betrachte nun die Ebenengleichungen $E_{1}$ und $E_{2}$ . Hier gilt:
Die Normalenvektoren unterscheiden sich um den Faktor $(- 2)$ . Die rechten Seiten der beiden Ebenengleichungen sind $6$ und $(- 2)$ , d.h. hier gilt der Faktor $(- 3)$ . Somit sind die beiden Faktoren ungleich. Damit ist $E_{1} \neq a \cdot E_{2}$ . Die beiden Ebenen sind echt parallel zueinander.
Betrachte jetzt die Ebenengleichungen $E_{1}$ und $E_{3}$ . Hier gilt:
Die Normalenvektoren unterscheiden sich um den Faktor $(\frac{2}{3})$ . Die rechten Seiten der beiden Ebenengleichungen sind $6$ und $12$ , d.h. hier gilt der Faktor $(\frac{1}{2})$ . Somit sind die beiden Faktoren ungleich. Damit ist $E_{1} \neq b \cdot E_{3}$ . Die beiden Ebenen sind echt parallel zueinander.
Für die Ebenengleichungen $E_{2}$ und $E_{3}$ gilt:
Die Normalenvektoren unterscheiden sich um den Faktor $(- 3)$ . Die rechten Seiten der beiden Ebenengleichungen sind $(- 2)$ und $12$ , d.h. hier gilt der Faktor $(- 6)$ . Somit sind die beiden Faktoren ungleich. Damit ist $E_{3} \neq c \cdot E_{2}$ . Die beiden Ebenen sind echt parallel zueinander.
Ergebnis: Es handelt sich um drei zueinander echt parallele Ebenen.
Weitere Untersuchungen sind nicht erforderlich.
2
Untersuche, welche gegenseitige Lage die drei Ebenen $E_{1} : 2 x_{2} + x_{3} = 4$ , $E_{2} : x_{1} + x_{2} + x_{3} = 4$ und $E_{3} : 2 x_{1} + x_{3} = 4$ einnehmen.

Untersuchung auf Parallelität oder Identität
Betrachte zunächst die Normalenvektoren der drei Ebenen:
${\vec{n}}_{1} = (\begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ 1 \end{array})$ , ${\vec{n}}_{2} = (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array})$ und ${\vec{n}}_{3} = (\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 1 \end{array})$
Die Normalenvektoren der 3 Ebenen sind keine Vielfache voneinander. Dies hat zur Folge, dass die Ebenen nicht identisch oder parallel zueinander sind.
${\vec{n}}_{E_{1}} \neq k_{1} \cdot {\vec{n}}_{E_{2}}$ , ${\vec{n}}_{E_{1}} \neq k_{2} \cdot {\vec{n}}_{E_{3}}$ und ${\vec{n}}_{E_{2}} \neq k_{3} \cdot {\vec{n}}_{E_{3}}$
In diesem Fall stellt man fest, dass die drei Normalenvektoren komplanar sind.
Der Normalenvektor ${\vec{n}}_{E_{3}}$ der Ebene $E_{3}$ ist als Linearkombination der beiden anderen Normalenvektoren ${\vec{n}}_{E_{1}}$ und ${\vec{n}}_{E_{2}}$ darstellbar: ${\vec{n}}_{E_{3}} = 2 \cdot {\vec{n}}_{E_{2}} - 1 \cdot {\vec{n}}_{E_{1}}$ .
Damit sind die drei Normalenvektoren linear abhängig. Sie sind komplanar, d.h. sie liegen in einer Ebene.
Schnittgeraden
$E _{1} \cap E_{2}$
Betrachte die Ebenengleichungen $E_{1}$ und $E_{2}$ :
$\begin{array}{ccccc} I & 0 \cdot x_{1} & + & 2 \cdot x_{2} & + & 1 \cdot x_{3} & = & 4 \\ II & 1 \cdot x_{1} & + & 1 \cdot x_{2} & + & 1 \cdot x_{3} & = & 4 \end{array}$
Rechne $I - II$ $\Rightarrow - x_{1} + x_{2} = 0$ $\Rightarrow x_{1} = x_{2}$
Eine Variable ist frei wählbar.
Setze $x_{2} = r \Rightarrow x_{1} = r$
Löse Gleichung $II$ nach $x_{3}$ auf und setze $x_{1} = r$ und $x_{2} = r$ ein:
$1 \cdot x_{1} + 1 \cdot x_{2} + 1 \cdot x_{3}$ $=$ $4$ $- 1 \cdot x_{1} - 1 \cdot x_{2}$
↓
Löse nach $x_{3}$ auf.
$x_{3}$ $=$ $4 - 1 \cdot x_{1} - 1 \cdot x_{2}$
↓
Setze $x_{1} = r$ und $x_{2} = r$ ein.
$x_{3}$ $=$ $4 - 1 \cdot r - 1 \cdot r$
↓
Fasse zusammen.
$x_{3}$ $=$ $4 - 2 r$
Untereinander geschrieben:
$x_{1} = 0 + 1 \cdot r$
$x_{2} = 0 + 1 \cdot r \Rightarrow (\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}) = (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 4 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ - 2 \end{array})$
$x_{3} = 4 - 2 \cdot r$
Die Schnittgerade $g_{12}$ hat folgende Gleichung:
$g_{12} : \vec{x} = (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 4 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ - 2 \end{array}) $
Die drei Schnittgeraden $g_{12}$ , $g_{13}$ und $g_{23}$ sind identisch.
Alle drei Ebenen schneiden sich in einer Geraden. Die Schnittgerade hat die Gleichung:
$g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 4 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ - 2 \end{array})$

Untersuche, welche gegenseitige Lage die drei Ebenen $E_{1} : - 2 x_{1} + 6 x_{2} - 4 x_{3} = 4$ , $E_{2} : 3 x_{1} - x_{2} + 2 x_{3} = 6$ und $E_{3} : x_{1} - 3 x_{2} + 2 x_{3} = 2$ einnehmen.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehungen zwischen 3 Ebenen

Untersuchung auf Parallelität oder Identität

Betrachte zunächst die Normalenvektoren der drei Ebenen:

${\vec{n}}_{1} = (\begin{array}{c} - 2 \\ 6 \\ - 4 \end{array})$ , ${\vec{n}}_{2} = (\begin{array}{c} 3 \\ - 1 \\ 2 \end{array})$ und ${\vec{n}}_{3} = (\begin{array}{c} 1 \\ - 3 \\ 2 \end{array}) $

Der Normalenvektor ${\vec{n}}_{1}$ ist ein Vielfaches des Normalenvektors ${\vec{n}}_{3}$ .

${\vec{n}}_{1} = (- 2) \cdot {\vec{n}}_{3}$

Dies hat zur Folge, dass die Ebenen $E_{1}$ und $E_{3}$ parallel sind. Sie sind aber nicht identisch, da $E_{1} \neq a \cdot E_{3}$ ist.

Weiterhin gilt:

Der Normalenvektor ${\vec{n}}_{E_{2}}$ ist kein Vielfaches der anderen beiden Normalenvektoren:

${\vec{n}}_{E_{2}} \neq k_{1} \cdot {\vec{n}}_{E_{1}}$ und ${\vec{n}}_{E_{2}} \neq k_{2} \cdot {\vec{n}}_{E_{3}}$

Die Ebene $E_{2}$ ist somit nicht parallel zu den beiden anderen Ebenen. Sie schneidet diese beiden Ebenen in zwei Schnittgeraden.

Berechnung der beiden Schnittgeraden

Erste Schnittgerade $g_{12}$ : $E _{1} \cap E_{2} $

Betrachte die Ebenengleichungen $E_{1}$ und $E_{2}$ :

$\begin{array}{ccccc} I & - 2 \cdot x_{1} & + & 6 \cdot x_{2} & - & 4 \cdot x_{3} & = & 4 \\ II & 3 \cdot x_{1} & - & 1 \cdot x_{2} & + & 2 \cdot x_{3} & = & 6 \end{array}$

Rechne $I + 2 \cdot II \Rightarrow 4 x_{1} + 4 x_{2} = 16$ $\Rightarrow x_{1} = 4 - x_{2}$

Eine Variable ist frei wählbar.

Setze $x_{2} = r \Rightarrow x_{1} = 4 - r$

Löse Gleichung $II$ nach $x_{3}$ auf und setze $x_{1} = 4 - r$ und $x_{2} = r$ ein:

$3 \cdot x_{1} - x_{2} + 2 \cdot x_{3}$	$=$	$6$	$- 3 \cdot x_{1} + x_{2}$
$2 \cdot x_{3}$	$=$	$6 - 3 \cdot x_{1} + x_{2}$
	↓	Setze $x_{1} = 4 - r$ und $x_{2} = r$ ein.
$2 \cdot x_{3}$	$=$	$6 - 3 \cdot (4 - r) + r$
	↓	Löse die Klammer auf.
$2 \cdot x_{3}$	$=$	$6 - 12 + 3 \cdot r + r$
	↓	Fasse zusammen.
$2 \cdot x_{3}$	$=$	$- 6 + 4 \cdot r$	$: 2$
$x_{3}$	$=$	$- 3 + 2 \cdot r$

Untereinander geschrieben:

$\begin{array}{l} x_{1} = 4 - 1 \cdot r \\ x_{2} = 0 + 1 \cdot r \Rightarrow (\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}) = (\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ - 3 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 2 \end{array}) \\ x_{3} = - 3 + 2 \cdot r \end{array}$

Die Schnittgerade $g_{12}$ hat folgende Gleichung:

g_{12} : \vec{X} = (\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ - 3 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 2 \end{array})

Zweite Schnittgerade $g_{12}$ : $E _{2} \cap E_{3} $

Betrachte die Ebenengleichungen $E_{2}$ und $E_{3}$ :

$\begin{array}{ccccc} II & 3 \cdot x_{1} & - & 1 \cdot x_{2} & + & 2 \cdot x_{3} & = & 6 \\ III & 1 \cdot x_{1} & - & 3 \cdot x_{2} & + & 2 \cdot x_{3} & = & 2 \end{array}$

Rechne $II - III \Rightarrow 2 x_{1} + 2 x_{2} = 4$ $\Rightarrow x_{1} = 2 - x_{2}$

Eine Variable ist frei wählbar.

Setze $x_{2} = r \Rightarrow x_{1} = 2 - r$

Löse Gleichung $II$ nach $x_{3}$ auf und setze $x_{1} = 2 - r$ und $x_{2} = r$ ein:

$3 \cdot x_{1} - x_{2} + 2 \cdot x_{3}$	$=$	$6$	$- 3 \cdot x_{1} + x_{2}$
$2 \cdot x_{3}$	$=$	$6 - 3 \cdot x_{1} + x_{2}$
	↓	Setze $x_{1} = 2 - r$ und $x_{2} = r$ ein.
$2 \cdot x_{3}$	$=$	$6 - 3 \cdot (2 - r) + r$
	↓	Löse die Klammer auf.
$2 \cdot x_{3}$	$=$	$6 - 6 + 3 \cdot r + r$
	↓	Vereinfache.
$2 \cdot x_{3}$	$=$	$4 \cdot r$	$: 2$
$x_{3}$	$=$	$2 \cdot r$

Untereinander geschrieben:

$\begin{array}{l} x_{1} = 2 - 1 \cdot r \\ x_{2} = 0 + 1 \cdot r \Rightarrow (\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}) = (\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 0 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 2 \end{array}) \\ x_{3} = 0 + 2 \cdot r \end{array}$

Die Schnittgerade $g_{23}$ hat folgende Gleichung:

g_{23} : \vec{X} = (\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 0 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 2 \end{array})

Die Richtungsvektoren der beiden Schnittgeraden sind identisch. Somit sind die beiden Schnittgeraden parallel zueinander. Aber die beiden Geraden sind nicht identisch.

Untersuche, welche gegenseitige Lage die drei Ebenen

$E_{1} : 2 x_{1} + x_{2} + x_{3} = 2$ , $E_{2} : 3 x_{1} + 4 x_{2} + x_{3} = 4$ und $E_{3} : \vec{X} = (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 0 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 2 \end{array})$ einnehmen.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehungen zwischen 3 Ebenen

Untersuchung auf Parallelität oder Identität

Dazu wird zuerst die Ebene $E_{3}$ in die Koordinatenform umgewandelt.

Berechne das Vektorprodukt der beiden Richtungsvektoren der Ebene $E_{3}$

$\vec{n} = (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 0 \end{array}) \times (\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} 4 \\ - 2 \\ 1 \end{array})$ und setze in die Normalenform ein:

$E : (\vec{X} - \vec{A}) \circ \vec{n}$	$=$	$0$
	↓	Setze $\vec{A} = (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array})$ und $\vec{n} = (\begin{array}{c} 4 \\ - 2 \\ 1 \end{array})$ ein.
$(\vec{X} - (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array})) \circ (\begin{array}{c} 4 \\ - 2 \\ 1 \end{array})$	$=$	$0$
	↓	Berechne das Skalarprodukt.
$4 \cdot x_{1} - 2 \cdot x_{2} + x_{3} - 4$	$=$	$0$
$4 \cdot x_{1} - 2 \cdot x_{2} + x_{3}$	$=$	$4$

Die umgewandelte Ebenengleichung der Ebene $E_{3}$ lautet:

$E_{3} : 4 \cdot x_{1} - 2 \cdot x_{2} + x_{3} = 4$

Betrachte nun die Normalenvektoren der drei Ebenen:

${\vec{n}}_{1} = (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 1 \end{array})$ , ${\vec{n}}_{2} = (\begin{array}{c} 3 \\ 4 \\ 1 \end{array})$ und ${\vec{n}}_{3} = (\begin{array}{c} 4 \\ - 2 \\ 1 \end{array}) $

Die Normalenvektoren sind keine Vielfache voneinander, d.h. die Ebenen sind nicht parallel (und damit auch nicht identisch). Demnach müssen sich die Ebenen schneiden.

Berechnung der Schnittgeraden

Erste Schnittgerade $g_{12} : E _{1} \cap E_{2} $

Betrachte die Ebenengleichungen $E_{1}$ und $E_{2}$ :

$\begin{array}{ccccc} I & 2 \cdot x_{1} & + & 1 \cdot x_{2} & + & 1 \cdot x_{3} & = & 2 \\ II & 3 \cdot x_{1} & + & 4 \cdot x_{2} & + & 1 \cdot x_{3} & = & 4 \end{array}$

Rechne $II - I \Rightarrow x_{1} + 3 \cdot x_{2} = 2$ $\Rightarrow x_{1} = 2 - 3 \cdot x_{2}$

Eine Variable ist frei wählbar.

Setze $x_{2} = r \Rightarrow x_{1} = 2 - 3 \cdot r$

Löse Gleichung $II$ nach $x_{3}$ auf und setze $x_{1} = 2 - 3 \cdot r$ und $x_{2} = r$ ein:

$3 \cdot x_{1} + 4 \cdot x_{2} + x_{3}$	$=$	$4$	$- 3 \cdot x_{1} - 4 \cdot x_{2}$
$x_{3}$	$=$	$4 - 3 \cdot x_{1} - 4 \cdot x_{2}$
	↓	Setze $x_{1} = 2 - 3 \cdot r$ und $x_{2} = r$ ein.
$x_{3}$	$=$	$4 - 3 \cdot (2 - 3 \cdot r) - 4 \cdot r$
	↓	Löse die Klammer auf.
$x_{3}$	$=$	$4 - 6 + 9 \cdot r - 4 \cdot r$
	↓	Fasse zusammen.
$x_{3}$	$=$	$- 2 + 5 \cdot r$

Untereinander geschrieben:

$\begin{array}{l} x_{1} = 2 - 3 \cdot r \\ x_{2} = 0 + 1 \cdot r \Rightarrow (\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}) = (\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ - 2 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} - 3 \\ 1 \\ 5 \end{array}) \\ x_{3} = - 2 + 5 \cdot r \end{array}$

Die Schnittgerade $g_{12}$ hat folgende Gleichung:

g_{12} : \vec{X} = (\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ - 2 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} - 3 \\ 1 \\ 5 \end{array})

Zweite Schnittgerade $g_{23} : E _{2} \cap E_{3} $

Betrachte die Ebenengleichungen $E_{2}$ und $E_{3}$ :

$\begin{array}{ccccc} II & 3 \cdot x_{1} & + & 4 \cdot x_{2} & + & 1 \cdot x_{3} & = & 4 \\ III & 4 \cdot x_{1} & - & 2 \cdot x_{2} & + & 1 \cdot x_{3} & = & 4 \end{array}$

Rechne $III - II \Rightarrow x_{1} - 6 \cdot x_{2} = 0$ $\Rightarrow x_{1} = 6 \cdot x_{2}$

Eine Variable ist frei wählbar.

Setze $x_{2} = r \Rightarrow x_{1} = 6 \cdot r$

Löse Gleichung $III$ nach $x_{3}$ auf und setze $x_{1} = 6 \cdot r$ und $x_{2} = r$ ein:

$4 \cdot x_{1} - 2 \cdot x_{2} + x_{3}$	$=$	$4$	$- 4 \cdot x_{1} + 2 \cdot x_{2}$
$x_{3}$	$=$	$4 - 4 \cdot x_{1} + 2 \cdot x_{2}$
	↓	Setze $x_{1} = 6 \cdot r$ und $x_{2} = r$ ein.
$x_{3}$	$=$	$4 - 4 \cdot 6 \cdot r + 2 \cdot r$
	↓	Fasse zusammen.
$x_{3}$	$=$	$4 - 22 \cdot r$

Untereinander geschrieben:

$\begin{array}{l} x_{1} = 0 + 6 \cdot r \\ x_{2} = 0 + 1 \cdot r \Rightarrow (\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}) = (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 4 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 6 \\ 1 \\ - 22 \end{array}) \\ x_{3} = 4 - 22 \cdot r \end{array}$

Die Schnittgerade $g_{23}$ hat folgende Gleichung:

g_{23} : \vec{X} = (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 4 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 6 \\ 1 \\ - 22 \end{array})

Dritte Schnittgerade $g_{13} : E _{1} \cap E_{3} $

Betrachte die Ebenengleichungen $E_{1}$ und $E_{3}$ :

$\begin{array}{ccccc} I & 2 \cdot x_{1} & + & 1 \cdot x_{2} & + & 1 \cdot x_{3} & = & 2 \\ III & 4 \cdot x_{1} & - & 2 \cdot x_{2} & + & 1 \cdot x_{3} & = & 4 \end{array}$

Rechne $III - II \Rightarrow 2 \cdot x_{1} - 3 \cdot x_{2} = 2$ $\Rightarrow x_{1} = 1 + 1,5 \cdot x_{2}$

Eine Variable ist frei wählbar.

Setze $x_{2} = r \Rightarrow x_{1} = 1 + 1,5 \cdot r$

Löse Gleichung $III$ nach $x_{3}$ auf und setze $x_{1} = 1 + 1,5 \cdot r$ und $x_{2} = r$ ein:

$4 \cdot x_{1} - 2 \cdot x_{2} + x_{3}$	$=$	$4$	$- 4 \cdot x_{1} + 2 \cdot x_{2}$
$x_{3}$	$=$	$4 - 4 \cdot x_{1} + 2 \cdot x_{2}$
	↓	Setze $x_{1} = 1 + 1,5 \cdot r$ und $x_{2} = r$ ein
$x_{3}$	$=$	$4 - 4 \cdot (1 + 1,5 \cdot r) + 2 \cdot r$
	↓	Löse die Klammer auf.
	$=$	$4 - 4 - 6 \cdot r + 2 \cdot r$
	↓	Fasse zusammen.
$x_{3}$	$=$	$- 4 \cdot r$

Untereinander geschrieben:

$\begin{array}{l} x_{1} = 1 + 1,5 \cdot r \\ x_{2} = 0 + 1 \cdot r \Rightarrow (\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}) = (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 1,5 \\ 1 \\ - 4 \end{array}) \\ x_{3} = 0 - 4 \cdot r \end{array}$

Die Schnittgerade $g_{13}$ hat folgende Gleichung:

g_{13} : \vec{X} = (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 1,5 \\ 1 \\ - 4 \end{array})

Schneiden sich die 3 Ebenen eventuell in einem Punkt?

Betrachte dazu das lineare Gleichungssystem, das aus den drei Ebenengleichungen besteht:

$\begin{array}{ccccc} I & 2 \cdot x_{1} & + & 1 \cdot x_{2} & + & 1 \cdot x_{3} & = 2 \\ II & 3 \cdot x_{1} & + & 4 \cdot x_{2} & + & 1 \cdot x_{3} & = 4 \\ III & 4 \cdot x_{1} & - & 2 \cdot x_{2} & + & 1 \cdot x_{3} & = 4 \end{array} \to (\begin{array}{cccc} 2 & 1 & 1 & 2 \\ 3 & 4 & 1 & 4 \\ 4 & - 2 & 1 & 4 \end{array})$

Zur leichten Anwendung des Gaußverfahrens wird die $3.$ Spalte zur $1.$ Spalte.

$(\begin{array}{cccc} 1 & 2 & 1 & 2 \\ 1 & 3 & 4 & 4 \\ 1 & 4 & - 2 & 4 \end{array}) \overset{1 \cdot I I - 1 \cdot I}{\underset{1 \cdot I I I - 1 \cdot I}{⟶}} (\begin{array}{cccc} 1 & 2 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 3 & 2 \\ 0 & 2 & - 3 & 2 \end{array}) \overset{1 \cdot I I I - 2 \cdot I I}{⟶} (\begin{array}{cccc} 1 & 2 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 3 & 2 \\ 0 & 0 & - 9 & - 2 \end{array})$

BeachteDie Spalten wurden vertauscht

Achte bei den folgenden Rechnungen auf die geänderte Reihenfolge der Variablen:

x_{3}, x_{1}, x_{2}

Dann folgt aus der letzten Zeile: $- 9 \cdot x_{2} = - 2 \Rightarrow x_{2} = \frac{2}{9}$

In der letzten Matrix lautet die $2.$ Zeile:

$x_{1} + 3 \cdot x_{2}$	$=$	$2$	$- 3 \cdot x_{2}$
	↓	Löse nach $x_{1}$ auf.
$x_{1}$	$=$	$2 - 3 \cdot x_{2}$
	↓	Setze $x_{2} = \frac{2}{9}$ ein.
$x_{1}$	$=$	$2 - 3 \cdot \frac{2}{9}$
$x_{1}$	$=$	$\frac{4}{3}$

In der letzten Matrix lautet die $1.$ Zeile:

$1 \cdot x_{3} + 2 \cdot x_{1} + 1 \cdot x_{2}$	$=$	$2$	$- 2 \cdot x_{1} - 1 \cdot x_{2}$
	↓	Löse nach $x_{3}$ auf.
$x_{3}$	$=$	$2 - 2 \cdot x_{1} - 1 \cdot x_{2}$
	↓	Setze $x_{1} = \frac{4}{3}$ und $x_{2} = \frac{2}{9}$ ein.
$x_{3}$	$=$	$2 - 2 \cdot \frac{4}{3} - 1 \cdot \frac{2}{9}$
$x_{3}$	$=$	$2 - \frac{8}{3} - \frac{2}{9}$
	↓	Erweitere auf den Nenner $9$ .
	$=$	$\frac{18}{9} - \frac{24}{9} - \frac{2}{9}$
	↓	Fasse zusammen.
$x_{3}$	$=$	$- \frac{8}{9}$

Das lineare Gleichungssystem hat die Lösung:

𝕃 = {\frac{4}{3}; \frac{2}{9}; - \frac{8}{9}}

Die drei Ebenen haben einen gemeinsamen Schnittpunkt $S (\frac{4}{3} | \frac{2}{9} | - \frac{8}{9})$ .

Anmerkung: Wenn man die $3$ Schnittgeraden miteinander schneidet, stellt man fest, dass sie sich auch im Punkt $S$ schneiden (siehe auch obige Abbildung). Der Rechenaufwand ist dabei allerdings größer als bei der Lösung des LGS.

Untersuche, welche gegenseitige Lage die drei Ebenen $E_{1} : x_{1} + 3 x_{2} + x_{3} = 5$ , $E_{2} : x_{1} + 2 x_{2} = 2$ und $E_{3} : x_{1} - 2 x_{2} - 4 x_{3} = 3$ einnehmen.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehungen zwischen 3 Ebenen

Untersuchung auf Parallelität oder Identität

Betrachte die Normalenvektoren der drei Ebenen:

${\vec{n}}_{1} = (\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ 1 \end{array})$ , ${\vec{n}}_{2} = (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 0 \end{array})$ und ${\vec{n}}_{3} = (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ - 4 \end{array}) $

Die drei Normalenvektoren sind keine Vielfache voneinander.

Die drei Ebenen sind nicht parallel zueinander, d.h. die Ebenen schneiden sich.

Haben die drei Ebenen einen gemeinsamen Schnittpunkt?

Das lineare Gleichungssystem wird mit dem Gauß-Verfahren gelöst:

$\begin{array}{ccccc} I & 1 \cdot x_{1} & + & 3 \cdot x_{2} & + & 1 \cdot x_{3} & = 5 \\ II & 1 \cdot x_{1} & + & 2 \cdot x_{2} & + & 0 \cdot x_{3} & = 2 \\ III & 1 \cdot x_{1} & - & 2 \cdot x_{2} & - & 4 \cdot x_{3} & = 3 \end{array} \to (\begin{array}{cccc} 1 & 3 & 1 & 5 \\ 1 & 2 & 0 & 2 \\ 1 & - 2 & - 4 & 3 \end{array})$

$\begin{array}{c} (\begin{array}{cccc} 1 & 3 & 1 & 5 \\ 1 & 2 & 0 & 2 \\ 1 & - 2 & - 4 & 3 \end{array}) & \underset{\to}{II - I} & (\begin{array}{rrrc} 1 & 3 & 1 & 5 \\ 0 & - 1 & - 1 & - 3 \\ 1 & - 2 & - 4 & 3 \end{array}) \\ (\begin{array}{rrrc} 1 & 3 & 1 & 5 \\ 0 & - 1 & - 1 & - 3 \\ 1 & - 2 & - 4 & 3 \end{array}) & \underset{\to}{III - I} & (\begin{array}{rrrc} 1 & 3 & 1 & 5 \\ 0 & - 1 & - 1 & - 3 \\ 0 & - 5 & - 5 & - 2 \end{array}) \end{array}$

$\begin{array}{c} (\begin{array}{rrrc} 1 & 3 & 1 & 5 \\ 0 & - 1 & - 1 & - 3 \\ 0 & - 5 & - 5 & - 2 \end{array}) & \underset{\to}{(- 5) \cdot II + III} & (\begin{array}{rrrc} 1 & 3 & 1 & 5 \\ 0 & - 1 & - 1 & - 3 \\ 0 & 0 & 0 & 13 \end{array}) \end{array}$

Die letzte Zeile besagt, dass das LGS keine Lösung hat. Es gibt also keinen gemeinsamen Schnittpunkt der drei Ebenen und die drei Ebenen schneiden sich auch nicht in einer gemeinsamen Geraden. Vielmehr gibt es drei Schnittgeraden, die nachfolgend berechnet werden.

Berechnung der Schnittgeraden

$g_{12} : E_{1} \cap E_{2} $

Betrachte die Ebenengleichungen $E_{1}$ und $E_{2}$ :

$\begin{array}{ccccc} I & 1 \cdot x_{1} & + & 3 \cdot x_{2} & + & 1 \cdot x_{3} & = & 5 \\ II & 1 \cdot x_{1} & + & 2 \cdot x_{2} & + & 0 \cdot x_{3} & = & 2 \end{array}$

Rechne $I - II \Rightarrow x_{2} + x_{3} = 3$ $\Rightarrow x_{2} = 3 - x_{3}$

Eine Variable ist frei wählbar.

Setze $x_{3} = r \Rightarrow x_{2} = 3 - r$

Löse Gleichung $I$ nach $x_{1}$ auf und setze $x_{2} = 3 - r$ und $x_{3} = r$ ein:

$1 \cdot x_{1} + 3 \cdot x_{2} + 1 \cdot x_{3}$	$=$	$5$	$- 3 \cdot x_{2} - 1 \cdot x_{3}$
	↓	Löse nach $x_{1}$ auf.
$x_{1}$	$=$	$5 - 3 \cdot x_{2} - 1 \cdot x_{3}$
	↓	Setze $x_{2} = 3 - r$ und $x_{3} = r$ ein
$x_{1}$	$=$	$5 - 3 \cdot (3 - r) - r$
	↓	Löse die Klammer auf.
$x_{1}$	$=$	$5 - 9 + 3 \cdot r - r$
	↓	Fasse zusammen.
$x_{1}$	$=$	$- 4 + 2 \cdot r$

Untereinander geschrieben:

$\begin{array}{l} x_{1} = - 4 + 2 \cdot r \\ x_{2} = 3 - 1 \cdot r \Rightarrow (\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}) = (\begin{array}{c} - 4 \\ 3 \\ 0 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ 1 \end{array}) \\ x_{3} = 0 + 1 \cdot r \end{array}$

Die Schnittgerade $g_{12}$ hat folgende Gleichung:

g_{12} : \vec{X} = (\begin{array}{c} - 4 \\ 3 \\ 0 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ 1 \end{array})

$g_{13} : E _{1} \cap E_{3} $

Betrachte die Ebenengleichungen $E_{1}$ und $E_{3}$ :

$\begin{array}{ccccc} I & 1 \cdot x_{1} & + & 3 \cdot x_{2} & + & 1 \cdot x_{3} & = & 5 \\ III & 1 \cdot x_{1} & - & 2 \cdot x_{2} & - & 4 \cdot x_{3} & = & 3 \end{array}$

Rechne $I - III \Rightarrow 5 x_{2} + 5 x_{3} = 2$ $\Rightarrow x_{2} = 0,4 - x_{3}$

Eine Variable ist frei wählbar.

Setze $x_{3} = r \Rightarrow x_{2} = 0,4 - r$

Löse Gleichung $III$ nach $x_{1}$ auf und setze $x_{2} = 0,4 - r$ und $x_{3} = r$ ein:

$1 \cdot x_{1} - 2 \cdot x_{2} - 4 \cdot x_{3}$	$=$	$3$	$+ 2 \cdot x_{2} + 4 \cdot x_{3}$
	↓	Löse nach $x_{1}$ auf.
$x_{1}$	$=$	$3 + 2 \cdot x_{2} + 4 \cdot x_{3}$
	↓	Setze $x_{2} = 0,4 - r$ und $x_{3} = r$ ein.
$x_{1}$	$=$	$3 + 2 \cdot (0,4 - r) + 4 \cdot r$
	↓	Löse die Klammer auf.
$x_{1}$	$=$	$3 + 0,8 - 2 \cdot r + 4 \cdot r$
	↓	Fasse zusammen.
$x_{1}$	$=$	$3,8 + 2 \cdot r$

Untereinander geschrieben:

$\begin{array}{l} x_{1} = 3,8 + 2 \cdot r \\ x_{2} = 0,4 - 1 \cdot r \Rightarrow (\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}) = (\begin{array}{c} 3,8 \\ 0,4 \\ 0 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ 1 \end{array}) \\ x_{3} = 0 + 1 \cdot r \end{array}$

Die Schnittgerade $g_{13}$ hat folgende Gleichung:

g_{13} : \vec{X} = (\begin{array}{c} 3,8 \\ 0,4 \\ 0 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ 1 \end{array})

$g_{23} : E _{2} \cap E_{3} $

Betrachte die Ebenengleichungen $E_{2}$ und $E_{3}$ :

$\begin{array}{ccccc} II & 1 \cdot x_{1} & + & 2 \cdot x_{2} & + & 0 \cdot x_{3} & = & 2 \\ III & 1 \cdot x_{1} & - & 2 \cdot x_{2} & - & 4 \cdot x_{3} & = & 3 \end{array}$

Rechne $II - III \Rightarrow 4 x_{2} + 4 x_{3} = - 1$ $\Rightarrow x_{2} = - 0,25 - x_{3}$

Eine Variable ist frei wählbar.

Setze $x_{3} = r \Rightarrow x_{2} = - 0,25 - r$

Löse Gleichung $II$ nach $x_{1}$ auf und setze $x_{2} = - 0,25 - r$ und $x_{3} = r$ ein:

$1 \cdot x_{1} + 2 \cdot x_{2} + 0 \cdot x_{3}$	$=$	$2$	$- 2 \cdot x_{2}$
$x_{1}$	$=$	$2 - 2 \cdot x_{2}$
	↓	Setze $x_{2} = - 0,25 - r$ ein.
$x_{1}$	$=$	$2 - 2 \cdot (- 0,25 - r)$
	↓	Fasse zusammen
$x_{1}$	$=$	$2,5 + 2 \cdot r$

Untereinander geschrieben:

$\begin{array}{l} x_{1} = 2,5 + 2 \cdot r \\ x_{2} = - 0,25 - 1 \cdot r \Rightarrow (\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}) = (\begin{array}{c} 2,5 \\ - 0,25 \\ 0 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ 1 \end{array}) \\ x_{3} = 0 + 1 \cdot r \end{array}$

Die Schnittgerade $g_{23}$ hat folgende Gleichung:

g_{23} : \vec{X} = (\begin{array}{c} 2,5 \\ - 0,25 \\ 0 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ 1 \end{array})

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CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$1 \cdot x_{1} + 1 \cdot x_{2} + 1 \cdot x_{3}$	$=$	$4$	$- 1 \cdot x_{1} - 1 \cdot x_{2}$
	↓	Löse nach $x_{3}$ auf.
$x_{3}$	$=$	$4 - 1 \cdot x_{1} - 1 \cdot x_{2}$
	↓	Setze $x_{1} = r$ und $x_{2} = r$ ein.
$x_{3}$	$=$	$4 - 1 \cdot r - 1 \cdot r$
	↓	Fasse zusammen.
$x_{3}$	$=$	$4 - 2 r$

Aufgaben zur Lagebeziehung dreier Ebenen

U﻿ntersuchung auf Parallelität oder Identität

U﻿ntersuchung auf Parallelität oder Identität

Schnittgeraden

Untersuchung auf Parallelität oder Identität

Berechnung der beiden Schnittgeraden

Untersuchung auf Parallelität oder Identität

Berechnung der Schnittgeraden

Schneiden sich die 3 Ebenen eventuell in einem Punkt?

Untersuchung auf Parallelität oder Identität

Haben die drei Ebenen einen gemeinsamen Schnittpunkt?

Berechnung der Schnittgeraden

Untersuchung auf Parallelität oder Identität

Untersuchung auf Parallelität oder Identität