Weitere Aufgaben zu linearen Funktionen

Gegeben ist die Funktion $a(x)=-0{,}3x+3$

Gib den Schnittpunkt mit der y-Achse an ohne zu rechnen.
Form: (x;y)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: lineare Funktion
Den y-Achsenabschnitt kannst du direkt ablesen. Es ist der Zahlwert, der nicht mit x multipliziert wird:
$a(x)=-0{,}3x+{\color{red}3}$
Der Schnittpunkt ist also S(0|3) (oder (0;3))
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Der Schnittpunkt mit der y-Achse besteht aus dem x-Wert 0 und dem y-Achsenabschnitt t.
Gib die Wertemenge der Funktion an wenn gilt: $D_a=D_{max}$ , es sich also um die maximal mögliche Definitionsmenge handelt.
- $W=\mathbb R$
- $W=\mathbb Q$
- $W=\mathbb R^+$
- $W=[3;\infty[$
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wertemenge
Da die Definitionsmenge mit $D_a=D_{max}=\mathbb R$ alle reellen Zahlen umfasst und die Gerade keine konstante Funktion mit $m=0$ ist, ist die Wertemenge ebenfalls $W=\mathbb R$ .
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Zeichne den Graph der Funktion in ein Koordinatensystem mit geeigneten Abmessungen.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gerade im Koordinatensystem
Zeichne den y-Achsenabschnitt in das Koordinatensystem.
Zeichne ein Steigunsdreieck. Schreibe dafür zunächst die Steigung als Bruch:
$m=-0{,}3=-\frac 3{10}$
Der Zähler gibt an, wie viel nach oben/unten gegangen werden muss. Mit dem Minus vor dem Bruch gehst du drei Kästchen nach unten.
Der Nenner gibt an, wie viel nach links/rechts gegangen werden muss. Das Minus ist bereits abgehandelt, deshalb gehst du 10 Kästchen nach rechts.
Verbinde die beiden Punkte:
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Die Gerade schneidet die y-Achse bei $y=3$ und fällt danach um $m=-0{,}3=-\frac 3 {10}$ . Ausgehend vom y-Achsenabschnitt sollten also mindestens drei Kästchen nach unten und 10 Kästchen nach rechts Platz sein.
Gib den Term einer Geraden u an, die parallel zu a ist und durch P(0|-5) verläuft.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradensteigung
Steigung der Geraden
Bei zwei parallelen Geraden ist die Steigung gleich. Für die Terme gilt also: $m_a=m_u=-0{,}3$
Zwischenstand: $u(x)=-0{,}3x+t$
y-Achsenabschnitt
Der Punkt P(0|-5) liefert direkt den Schnittpunkt mit der y-Achse, denn der x-Wert von P ist 0:
$u(x)=-0{,}3x-5$
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Überlege zunächst, wann zwei Geraden parallel sind.
Der Punkt P gibt dir ohne zu rechnen eine weitere Information über den Term.

Gib die Gleichung einer Geraden v an, die orthogonal zu a ist und durch Q(2|3) verläuft

Bestimme die Nullstelle der Funktion a.

Bestimme den Funktionswert an der Stelle x=0,23

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionswert
$\displaystyle a\left(0{,}23\right)$ $=$ $\displaystyle -0{,}3\cdot0{,}23+3$
$=$ $\displaystyle 2{,}931$
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Setze x=0,23 in den Funktionsterm ein.

Entscheide durch Rechnung, ob der Punkt R(-0,5|3) über, unter oder auf dem Graphen von a liegt.

R liegt über dem Graph von a
R liegt unter dem Graph von a
R liegt auf dem Graph von a ( $R\in a$ )

Bestimme rechnerisch den Schnittpunkt der dargestellten Gerade b mit der Gerade a, indem du zuvor den Term aus dem Koordinatensystem abliest.

Gib den Punkt in das Eingabefeld ein. Beispiel: "(-2;1)" oder "(-2|1)"

$\displaystyle m_a\cdot m_v$	$=$	$\displaystyle -1$
	↓	Setze $m_a$ ein
$\displaystyle -0{,}3\cdot m_v$	$=$	$\displaystyle -1$	$\displaystyle :\left(-0{,}3\right)$
$\displaystyle m_v$	$=$	$\displaystyle \dfrac{10}{3}$

$\displaystyle v\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \dfrac{10}{3}x+t$
	↓	Q einsetzen
$\displaystyle 3$	$=$	$\displaystyle \dfrac{10}{3}\cdot2+t$	$\displaystyle \cdot3$
$\displaystyle 9$	$=$	$\displaystyle 20+3t$	$\displaystyle -3t$
$\displaystyle 9-3t$	$=$	$\displaystyle 20$	$\displaystyle -9$
$\displaystyle -3t$	$=$	$\displaystyle 11$	$\displaystyle :-3$
$\displaystyle t$	$=$	$\displaystyle -\dfrac{11}{3}$

$\displaystyle a\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle -0{,}3x+3$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle -3$
$\displaystyle -0{,}3x$	$=$	$\displaystyle -3$	$\displaystyle :\left(-0{,}3\right)$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 10$

$\displaystyle a\left(-0{,}5\right)$	$=$	$\displaystyle -0{,}3\cdot\left(-0{,}5\right)+3$
	$=$	$\displaystyle 0{,}15+3$
	$=$	$\displaystyle 3{,}15$

$\displaystyle a(x)$	$=$	$\displaystyle b\left(x\right)$
$\displaystyle -0{,}3x+3$	$=$	$\displaystyle 2x-1{,}6$	$\displaystyle +1{,}6+0{,}3x$
$\displaystyle 4{,}6$	$=$	$\displaystyle 2{,}3x$	$\displaystyle :2{,}3$
$\displaystyle 2$	$=$	$\displaystyle x$

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Steigung der Geraden

y-Achsenabschnitt

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Steigung bestimmen

Punkt einsetzen

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Term von b ablesen

Schnittpunkte berechnen

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$\displaystyle a\left(0{,}23\right)$	$=$	$\displaystyle -0{,}3\cdot0{,}23+3$
	$=$	$\displaystyle 2{,}931$

$\displaystyle a\left(2\right)$	$=$	$\displaystyle -0{,}3\cdot2+3$
	$=$	$\displaystyle 2{,}4$