Weitere Aufgaben zu linearen Funktionen

Hier findest du gemischte Übungsaufgaben zu linearen Funktionen. Schaffst du sie alle?

1
Die Gerade $y=-3x$ wird an der $x$ -Achse gespiegelt.
Die gespiegelte Gerade wird anschließend um 2 Einheiten nach oben verschoben.
Bestimme die Gleichung der neuen Geraden zeichnerisch und rechnerisch.
ist die Gleichung der Geraden.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktion
Lösung zu a)
Zeichne die Funktion $y=-3x$
Spiegele die Gerade an der $x$ -Achse.
Lies die neue Funktionsgleichung ab.
Sie lautet: $y=3x$
Verschiebe die Gerade um 2 Einheiten nach oben.
Der y-Achsenabschnitt hat sich geändert.
Lies die neue Funktionsgleichung ab.
Antwort: Die an der $x$ -Achse gespiegelte und um $2$ Einheiten nach oben verschobene Gerade hat die Gleichung $y=3x+2$
Lösung zu b)
Bei der Spiegelung an der $x$ -Achse wird der Funktionsterm mit $(-1)$ multipliziert.
$y=(-1)\cdot(−3x)=3x$
Somit lautet die Gleichung der gespiegelten Geraden: $y=3x$
Verschiebe diese Gerade um $2$ nach oben.
Dies entspricht dem $y$ -Achsenabschnitt $t \Rightarrow$ $t=2$
Ergänze die Gleichung:
Antwort: Die neue Gleichung der Geraden lautet: $y=3x+2$
2
123mathe.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann
Gegeben sind die Funktionen $\mathrm g\left(\mathrm x\right)=0{,}75\mathrm x+3$ und $\mathrm h\left(\mathrm x\right)=-\mathrm x-2{,}5$ .
Die Gerade h soll so in y-Richtung verschoben werden, dass g und die verschobene Gerade h die x-Achse im gleichen Punkt schneiden.
Bestimmen Sie den Funktionsterm $\mathrm f\left(\mathrm x\right)$ für die verschobene Gerade.
ist der Funktionsterm der Geraden.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktionen
Wie man am Bild erkennen kann, muss man die Gerade h in y-Richtung, so verschieben, dass f und g dann die gleiche Nullstelle haben.
f hat die gleiche die Steigung wie h, also $m= -1$ .
Nullstelle von g bestimmen
$\displaystyle 0$ $=$ $\displaystyle \frac{3}{4}\cdot x+3$
↓
Nach x auflösen.
$\displaystyle x$ $=$ $\displaystyle -4$
Geradengleichung von f bestimmen
Setze die Nullstelle (-4 | 0) und die Steigung von f in die allgemeine Geradengleichung ein.
$\displaystyle y$ $=$ $\displaystyle m\cdot x+t$
$\displaystyle 0$ $=$ $\displaystyle (-1) \cdot (-4)+t$
$\displaystyle t$ $=$ $\displaystyle -4$
Also lautet die Geradengleichung für f:
$f(x)=-x-4$
3
123mathe.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann
Gegeben ist der Punkt $P\left(\left.t\;\right|\;\frac t2+3\right)$ mit $t\in\mathbb{R}$
Wählen Sie für t einige Werte und tragen Sie die dazugehörigen Punkte in ein Koordinatensystem ein.
Wie liegen die Punkte im Koordinatensystem? Für welche t- Werte gilt: x- Koordinate ist gleich y- Koordinate des Punktes P?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Punkte in ein Koordinatensystem zeichnen
Setze beispielsweise $t=\left\{0;1;2;3;4\right\}$ ein und berechne die zugehörigen y-Werte. Auch andere Zahlen für $t$ sind zulässig.
$t=0:\;y=\frac02+3$
$\hphantom{t=0:.;}y=3$
$\Rightarrow\;A(0\;|\;3)$
$t=1:\;y=\frac12+3$
$\hphantom{t=1::.}y=3{,}5$
$\Rightarrow\;B(1\;|\;3{,}5)$
$t=2:\;y=\frac22+3$
$\hphantom{t=2;;.}y=4$
$\Rightarrow\;C(2\;|\;4)$
$t=3:\;y=\frac32+3$
$\hphantom{t=3::.}y=4{,}5$
$\Rightarrow\;D(3\;|\;4{,}5)$
$t=4:\;y=\frac42+3$
$\hphantom{t=4;;.}y=5$
$\Rightarrow\;E(4\;|\;5)$
Zeichne die Punkte A, B, C, D und E in ein Koordinatensystem.
$\;\;\Rightarrow\;\;$ Alle Punkte liegen auf einer Geraden. Diese hat die Gleichung $y=\dfrac t2+3$ .
Berechne, wann die x - und y - Koordinate den gleichen Wert haben.
Setze dafür y mit t gleich.
$t=y$
Ersetze $y$ durch den Term $\dfrac t2+3$ .
$t=\dfrac t2+3 \qquad \qquad \left|\cdot2\right.$
$2t=t+6 \qquad \qquad \left|-t\right.$
$t=6$
$\;\;\Rightarrow\;\;$ Die x - und y - Koordinate haben den gleichen Wert, wenn $t= 6$ ist. Der zugehörige Punkt ist $P\left(6\;|\;6\right)$ .

Zeigen Sie: Die Gerade g durch ${\mathrm P}_1\left(\sqrt{\mathrm k}/\mathrm k\right)$ und ${\mathrm P}_2\left(1/1\right)$ besitzt die Steigung ${\mathrm a}_1=\sqrt{\mathrm k}+1$ und schneidet die y-Achse in $P_y\left(0/-\sqrt k\right)$

5
123mathe.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann
Zeigen Sie: Die Punkte $\mathrm{P}\left(\frac{k}{2}\sqrt{2}\ |\ k\right)$ liegen für alle $k\in\mathbb{R}$ auf einer Geraden.
Bestimmen Sie die Geradengleichung.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktionen
Gegeben ist eine Menge von Punkten $P(\frac k 2 \cdot \sqrt{2}\ |\ k)$ .
Um die allgemeine Geradengleichung herauszufinden, brauchen wir 2 Punkte auf der Gerade. Deshalb wählt man hier am besten z.B. die zwei Punkte $F(\frac k 2 \cdot \sqrt{2}\ |\ k)$ und
$G(\frac {k+1} {2} \cdot \sqrt{2}\ |\ k+1)$ .
$y=m\cdot x + t$
Bestimme zuerst die Steigung m.
$\displaystyle m=\frac{k+1-k}{\frac {k+1} {2} \cdot \sqrt{2}-\frac k 2 \cdot \sqrt{2}}=\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{2}{\sqrt{2}}$
Nun kann man m und einen der Punkte, z.B. hier am Besten gleich P, in die allgemeine Geradengleichung einsetzen.
$k=\underbrace{\frac k 2 \cdot \sqrt{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}}}_{=k}+t$
Löse nach t auf.
$\Rightarrow t=0$
Gebe die Geradengleichung an.
$y=\frac{2}{\sqrt{2}}\cdot x$
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123mathe.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann
Ermitteln Sie den Funktionsterm der linearen Funktion $\mathrm f\left(\mathrm x\right)$ , wenn gilt:
1. $\mathrm f\left(1\right)=7;\;\mathrm f\left(-1\right)=3$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktionen
  $\mathrm f\left(\mathrm x\right)=\mathrm m\cdot\mathrm x+\mathrm t$
  Setze $\mathrm f\left(1\right)$ und $\mathrm f\left(-1\right)$ in die allgemeine Geradengleichung ein.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}1)\;7=\mathrm m\cdot 1+\mathrm t\\2)\;3=\mathrm m\cdot (-1)+\mathrm t\end{array}$
  Löse das Gleichungssystem auf.
  $1)\;+\;2):\;10=2\mathrm t \qquad \left|:2\right.$
  $\qquad \Rightarrow\mathrm t=5$
  Setze t in 1) ein.
  $7=\mathrm m+5 \qquad \left|-5\right.$
  $\mathrm m=2$
  Setze m und t in die allgemeine Geradengleichung ein.
  $\mathrm f\left(\mathrm x\right)=2\mathrm x+5$
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2. $\mathrm f\left(\mathrm a\right)=0;\;\mathrm f\left(0\right)=\mathrm a$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktionen
  $\mathrm f\left(\mathrm x\right)=\mathrm m\cdot\mathrm x+\mathrm t$
  t ist der y-Achsenabschnitt, also der Wert bei x=0.
  $\mathrm t=\mathrm f(0)=a$
  Setze das und f(a)=0 in die allgemeine Geradengleichung ein.
  $0=\mathrm m\cdot a +a$
  Löse nach m auf.
  $\mathrm m=\dfrac{-a}{a}=-1$
  Setze m = -1 und t = a in die allgemeine Funktionsgleichung ein.
  $\mathrm f(x)=-x+a$
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3. $\mathrm f\left(\mathrm a\right)=1;\;\mathrm f\left(2\mathrm a\right)=-1$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktionen
  $\mathrm f\left(\mathrm x\right)=\mathrm m\cdot\mathrm x+\mathrm t$
  Setze $\mathrm f\left(\mathrm a\right)$ und $\mathrm f\left(2\mathrm a\right)$ in die allgemeine Geradengleichung ein.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrclcr}\text{I} &1 & = &\mathrm m\cdot \mathrm a &+ &\mathrm t\\\text{II}&-1 &= &\mathrm m\cdot2\mathrm a&+&\mathrm t\end{array}$
  Löse das Gleichungssystem auf.
  $2\cdot \text{I}\,-\,\text{II}:\\ \;2-(-1)=2\mathrm t-\mathrm t$
  $\Rightarrow\mathrm t=3$
  Setze t in $\text{I}$ ein.
  $1=\mathrm m\cdot \mathrm a+3$
  Löse die Gleichung nach m auf.
  $\mathrm m=(1-3)\cdot\dfrac1a=-\dfrac{2}{a}$
  Setze $\mathrm m = -\dfrac2a$ und $t = 3$ in die allgemeine Geradengleichung ein.
  $\mathrm f(x)=-\dfrac{2}{a}\cdot x+3$
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7
Bestimmung von Schnittpunkten
Im Koordinatensystem sind drei Geraden eingezeichnet. Lies die Schnittpunkte aus der Abbildung ab und gib sie nacheinander in das Eingabefeld ein.
Punkte können in dieser Form eingegeben werden: "(-2|0,5)"

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: lineares Gleichungssystem
Schnittpunkte ablesen
Im Bild rechts kann man die Koordinaten der drei Punkte ungefähr bestimmen. Diese lauten:
$S_1(−2∣4)$
$S_2(2∣3)$
$S_3(-1{,}5|-2)$
8
Bestimmung von Schnittpunkten
Gegeben ist eine Gerade g und eine Gerade h.
1. Bestimme die Geradengleichungen von g und h.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung
  Der Parameter $m$ ist die Steigung der Geraden. Der Parameter $t$ ist der y-Achsenabschnitt.
  Gerade g:
  $y = m_gx + t_g$
  Die Gerade g hat die Steigung $-\frac{3}{2}$ , das heißt $m_g = -\frac{3}{2}$ .
  $y = -\frac{3}{2}x + t_g$
  Sie schneidet die y-Achse bei $\frac{9}{2}$ , das heißt $t_g = \frac{9}{2}$ .
  $y = -\frac{3}{2}x + \frac{9}{2}$
  Gerade h:
  $y = m_hx + t_h$
  Die Gerade h hat die Steigung $2$ , das heißt $m_h = 2$
  $y = 2x + t_h$
  Die Gerade schneidet die y-Achse bei $1$ , das heißt $t_h = 1$ .
  $y = 2x + 1$
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2. Lies den Schnittpunkt ab.
  Gib den Punkt in das Eingabefeld ein. Beispiel: "(-2;1)" oder "(-2|1)"
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkt
  Schnittpunkte ablesen
  Wir lesen aus der Zeichnung den Schnittpunkt $\text{SP} (1|3)$ ab.
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10
Wissensquiz lineare Funktionen 1

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktion
$y=mx+b$ ist die Gleichung einer $\textcolor{ff6600}{\text{linearen}}$ Funktion.

Mit dem Buchstaben $\textcolor{ff6600}{\text{m}}$ wird die Steigung einer Geraden angegeben.

Der Buchstabe $\textcolor{ff6600}{\text{b}}$ steht für den y-Achsenabschnitt des Funktionsgraphens.

Eine Gerade steigt, wenn die Steigung $m$ $\textcolor{ff6600}{\text{größer}}$ als null ist.

Eine Gerade fällt, wenn die Steigung $m$ $\textcolor{ff6600}{\text{kleiner}}$ als null ist.

Die Gerade ist parallel zur x-Achse, wenn die Steigung $m$ $\textcolor{ff6600}{\text{gleich}}$ null ist.
11
Wissensquiz lineare Funktionen 2

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktionen
Der Graph einer linearen Funktion ist eine $\textcolor{ff6600}{\text{Gerade}}$ .

Die Gerade schneidet im Punkt $(0|b)$ die $\textcolor{ff6600}{\text{y-Achse}}$ .

Ein gegebener Punkt $P(x|y)$ liegt auf der Geraden $g$ , wenn seine $\textcolor{ff6600}{\text{Koordinaten}}$ die Geradengleichung $g$ erfüllen.

Setzt man $x=0$ in die Funktionsgleichung der Geraden ein, so erhält man den $\textcolor{ff6600}{\text{y-Achsenabschnitt}}$ .

Setzt man in der Funktionsgleichung der Geraden y=0, so kann man die $\textcolor{ff6600}{\text{Nullstelle}}$ berechnen.

Zwei Geraden stehen senkrecht aufeinander, wenn ihre $\textcolor{ff6600}{\text{Steigungen}}$ miteinander multipliziert $(-1)$ ergeben.
12
Wissensquiz lineare Funktionen 3

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktionen
$y=-2x+2$ ist die $\textcolor{ff6600}{\text{Funktionsgleichung}}$ einer linearen Funktion.

Die Steigung $m$ ist gleich $\textcolor{ff6600}{-2}$ .

Der y-Achsenabschnitt $b$ ist gleich $\textcolor{ff6600}{2}$ .

Die Nullstelle liegt bei $\textcolor{ff6600}{x=1}$ .

Da die Steigung $\textcolor{ff6600}{\text{negativ}}$ ist, fällt die Gerade.

Der Punkt $\textcolor{ff6600}{P(4|-6)}$ liegt auf der Geraden.
13
Ordne jeweils richtig zu:
Funktionsgleichung $f(x)$
y-Achsenschnittpunkt $S_y$
x-Achsenschnittpunkt $N$
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktionen
Funktionsgleichung:
$f(x)=-3x-1$
y-Achsenschnittpunkt:
$S_y(0|-1)$
x-Achsenschnittpunkt:
$N\left(-\frac{1}{3}|0\right)$
Funktionsgleichung:
$f(x)=-2x+3$
y-Achsenschnittpunkt:
$S_y(0|3)$
x-Achsenschnittpunkt:
$N\left(1{,}5|0\right)$

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$\displaystyle k-1$	$=$	$\displaystyle m\sqrt k-m +t-t$
	↓	Fasse zusammen.
$\displaystyle k-1$	$=$	$\displaystyle m(\sqrt k-1)$
	↓	Löse nach m auf.
$\displaystyle m$	$=$	$\displaystyle \frac{k-1}{\sqrt k -1}$
	↓	Vereinfache mit 3. binomischer Formel ( $k ={\sqrt k}^2)$ .
$\displaystyle m$	$=$	$\displaystyle \frac{(\sqrt k +1)(\sqrt k -1)}{\sqrt k -1}$
$\displaystyle m$	$=$	$\displaystyle \sqrt k+1$
	↓	Setze in 2) ein.
$\displaystyle 1$	$=$	$\displaystyle (\sqrt k +1)\cdot1+t$
	↓	Nach t auflösen.
$\displaystyle t$	$=$	$\displaystyle 1-(\sqrt k +1)$
$\displaystyle t$	$=$	$\displaystyle -\sqrt k$

$\displaystyle m_a\cdot m_v$	$=$	$\displaystyle -1$
	↓	Setze $m_a$ ein
$\displaystyle -0{,}3\cdot m_v$	$=$	$\displaystyle -1$	$\displaystyle :\left(-0{,}3\right)$
$\displaystyle m_v$	$=$	$\displaystyle \dfrac{10}{3}$

$\displaystyle v\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \dfrac{10}{3}x+t$
	↓	Q einsetzen
$\displaystyle 3$	$=$	$\displaystyle \dfrac{10}{3}\cdot2+t$	$\displaystyle \cdot3$
$\displaystyle 9$	$=$	$\displaystyle 20+3t$	$\displaystyle -3t$
$\displaystyle 9-3t$	$=$	$\displaystyle 20$	$\displaystyle -9$
$\displaystyle -3t$	$=$	$\displaystyle 11$	$\displaystyle :-3$
$\displaystyle t$	$=$	$\displaystyle -\dfrac{11}{3}$

$\displaystyle a\left(0{,}23\right)$	$=$	$\displaystyle -0{,}3\cdot0{,}23+3$
	$=$	$\displaystyle 2{,}931$

$\displaystyle a\left(-0{,}5\right)$	$=$	$\displaystyle -0{,}3\cdot\left(-0{,}5\right)+3$
	$=$	$\displaystyle 0{,}15+3$
	$=$	$\displaystyle 3{,}15$

Weitere Aufgaben zu linearen Funktionen

Lösung zu a)

Lösung zu b)

Nullstelle von g bestimmen

Geradengleichung von f bestimmen

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Bestimmung von Schnittpunkten

Schnittpunkte ablesen

Bestimmung von Schnittpunkten

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Schnittpunkte ablesen

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Steigung der Geraden

y-Achsenabschnitt

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Steigung bestimmen

Punkt einsetzen

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Term von b ablesen

Schnittpunkte berechnen

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Wissensquiz lineare Funktionen 1

Wissensquiz lineare Funktionen 2

Wissensquiz lineare Funktionen 3

$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle \frac{3}{4}\cdot x+3$
	↓	Nach x auflösen.
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle -4$

$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle m\cdot x+t$
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle (-1) \cdot (-4)+t$
$\displaystyle t$	$=$	$\displaystyle -4$

$\displaystyle a\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle -0{,}3x+3$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle -3$
$\displaystyle -0{,}3x$	$=$	$\displaystyle -3$	$\displaystyle :\left(-0{,}3\right)$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 10$

$\displaystyle a(x)$	$=$	$\displaystyle b\left(x\right)$
$\displaystyle -0{,}3x+3$	$=$	$\displaystyle 2x-1{,}6$	$\displaystyle +1{,}6+0{,}3x$
$\displaystyle 4{,}6$	$=$	$\displaystyle 2{,}3x$	$\displaystyle :2{,}3$
$\displaystyle 2$	$=$	$\displaystyle x$

$\displaystyle a\left(2\right)$	$=$	$\displaystyle -0{,}3\cdot2+3$
	$=$	$\displaystyle 2{,}4$