Aufgaben zur Bestimmung von Wertebereichen

Bestimme die Wertemenge der folgenden Funktionen für den vorgegebenen Definitionsbereich

$f (x) = 5 x^{3} - 15 x + 2$ mit $D = [0;$ 3]
Extrempunkte der Funktion
Bestimme die Kandidaten für Extrempunkte, indem du die Nullstellen der Ableitung bestimmst:
$f (x) = 5 x^{3} - 15 x + 2$
$f^{'} (x) = 15 x^{2} - 15$
$f^{'} (x)$ $=$ $0$
$15 x^{2} - 15$ $=$ $0$ $+ 15$
$15 x^{2}$ $=$ $15$ $: 15$
$x^{2}$ $=$ $1$
↓
Beachte, dass die Wurzel hier zwei Lösungen besitzt:
$x$ $=$ $\pm \sqrt{1}$
$x_{1}$ $=$ $1$
$x_{2}$ $=$ $- 1$
Beide Nullstellen der Ableitung haben die Vielfachheit 1, sind also Nullstellen mit Vorzeichenwechsel, deshalb sind beide Extremstellen.
Gleichzeitig liegt aber $x_{2} = - 1$ nicht in der Definitionsmenge $D = [0; 3]$ und wird deshalb nicht weiter untersucht.
Die Art der Extremstelle kannst du z.B. mit der 2. Ableitung ermitteln:
$f^{''} (x) = 30 x$
Setze die gefundene Nullstelle $x_{1} = 1$ in die 2. Ableitung ein:
$f^{''} (1) = 30 > 0 \Rightarrow$ Tiefpunkt
Die Lage der Extremstelle bestimmst du, indem du in die Ausgangsfunktion einsetzt:
$f (1) = 5 \cdot 1^{3} - 15 \cdot 1 + 2 = - 8$
Einziger "normaler" Extrempunkt in der Definitionsmenge: $T I P (1 | - 8)$
Randextrempunkte
Da beide Ränder der Definitionsmenge $D = [0; 3]$ eingeschlossen sind, gibt es an beiden Rändern einen Randextrempunkt, dessen y-Koordinate ebenfalls die Wertemenge beeinflusst.
Bestimme die y-Koordinaten durch einsetzen:
$f (0) = 5 \cdot 0^{3} - 15 \cdot 0 + 2 = 2 \Rightarrow R_{1} (0 | 2)$
$f (3) = 5 \cdot 3^{3} - 15 \cdot 3 + 2 = 92 \Rightarrow R_{2} (3 | 92)$
Wertemenge aufstellen
Die Wertemenge wird beeinflusst durch den Tiefpunkt und die Randextrempunkte. Suche unter diesen drei den kleinsten und den größten y-Wert:
$T I P (1 | - 8), R_{1} (0 | 2), R_{2} (3 | 92)$
Es ergibt sich die Wertemenge $W = [- 8; 92]$
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Da die Definitionsmenge auf beiden Seiten eingeschränkt ist und beide Ränder eingeschlossen sind, gehst du wie folgt vor:
Bestimme die Extrempunkte im Definitionsbereich, insbesondere die y-Koordinaten.
Bestimme die Randextrempunkte, insbesondere die y-Koordinaten.
Die Wertemenge setzt sich zusammen aus dem kleinsten und dem größten y-Wert.
$f (x) = - 0,5 x^{3} - 1,5 x^{2} - 3 x - 20$ in $D = [- 2; 3 [$
Extrempunkte im Definitionsbereich
Bestimme die Kandidaten für Extrempunkte, indem du die Nullstellen der Ableitung bestimmst:
$f (x) = - 0,5 x^{3} - 1,5 x^{2} - 3 x - 20$
$f^{'} (x) = - 1,5 x^{2} - 3 x - 3$
$f^{'} (x)$ $=$ $0$
$- 1,5 x^{2} - 3 x - 3$ $=$ $0$
Verwende die Mitternachtsformel, um die Lösungen zu bestimmen:
$x_{1 / 2} = \frac{3 \pm \sqrt{(- 3)^{2} - 4 \cdot (- 1,5) \cdot (- 3)}}{2 \cdot (- 1,5)} = \frac{3 \pm \sqrt{- 9}}{- 3}$ besitzt keine Lösung, also hat die Funktion keine Extrempunkte im Definitionsbereich.
Randextrempunkt am linken Rand
Da der linke Rand der Definitionsmenge $D = [- 2; 3 [$ eingeschlossen ist, gibt es an diesem Rand einen Randextrempunkt, dessen y-Koordinate ebenfalls die Wertemenge beeinflusst.
Bestimme dazu die y-Koordinate des Randextrempunkts:
$f (- 2) = - 0,5 \cdot (- 2)^{3} - 1,5 \cdot (- 2)^{2} - 3 \cdot (- 2) - 20 = - 16 \Rightarrow R (- 2 | - 16)$
Grenzwert am rechten Rand
Da der rechte Rand der Definitionsmenge $D = [- 2; 3 [$ nicht eingeschlossen ist, darf $f (3)$ nicht offiziell berechnet werden, auch wenn im Term nichts dagegen spricht. stattdessen musst du den Grenzwert $\lim_{x \to 3} f (x)$ angeben.
(Du berechnest dafür "hinter den Kulissen" trotzdem einfach $f (3)$ , da bei ganzrationalen Funktionswerten im Gegensatz zu z.B. gebrochenrationalen Funktionen jede Zahl aus $ℝ$ eingesetzt werden darf.)
$\lim_{x \to 3} f (x) = - 56$
Diesen Grenzwert musst du aus der Wertemenge ausschließen, denn da $x = 3$ nicht eingesetzt werden kann, darf der Wert von $f (3)$ auch nicht angenommen werden.
Wertemenge angeben
Die Wertemenge besteht aus den Werten an den beiden Rändern, da es keine weiteren Extrempunkte gibt. Dabei muss der Wert bei $x = 3$ ausgeschlossen werden:
$W =] - 56; - 16]$
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Da die Definitionsmenge auf beiden Seiten eingeschränkt ist aber nur ein Rand eingeschlossen ist, gehst du wie folgt vor:
Bestimme die Extrempunkte im Definitionsbereich, insbesondere die y-Koordinaten.
Bestimme den Randextrempunkt am linken Rand, insbesondere die y-Koordinaten.
Bestimme das Grenzwertverhalten für den rechten Rand, also den Wert von $\lim_{x \to 3} f (x)$ .
Die Wertemenge setzt sich zusammen aus dem kleinsten und dem größten y-Wert.
$f (x) = \frac{3}{4} x^{4} - 0.5 x^{3} - 4.5 x^{2}$ mit $D = [- 3; 3]$
Kandidaten für Extremstellen
Bestimme die Kandidaten für Extrempunkte, indem du die Nullstellen der Ableitung bestimmst:
$f (x) = \frac{3}{4} x^{4} - 0.5 x^{3} - 4.5 x^{2}$
$f^{'} (x) = 3 x^{3} - 1.5 x^{2} - 9 x$
$f^{'} (x)$ $=$ $0$
$3 x^{3} - 1,5 x^{2} - 9 x$ $=$ $0$
↓
3x ausklammern. (Nur x ausklammern auch ok)
$3 x (x^{2} - 0,5 x - 3)$ $=$ $0$
Mit dem Satz vom Nullprodukt kannst du $3 x = 0$ und $x^{2} - 0,5 x - 3 = 0$ einzeln betrachten:
$3 x$ $=$ $0$ $: 3$
$x_{1}$ $=$ $0$
und die weiteren Nullstellen erhältst du durch Anwendung der Mitternachtsformel auf $x^{2} - 0,5 x - 3 = 0$
$x_{1 / 2} = \frac{0,5 \pm \sqrt{(- 0,5)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1} = \frac{0,5 \pm 3,5}{2}$ und somit $x_{2} = 2$ und $x_{3} = - 1,5$
Alle Nullstellen der Ableitung haben die Vielfachheit 1, weshalb $G_{f}$ an allen drei eine Extremstelle besitzen wird.
Außerdem liegen alle Extremstellen im Definitionsbereich.
Beachtealternatives Vorgehen
In den vorherigen Teilaufgaben hast du nun die Art und Lage der Extremstellen direkt bestimmt. Da es drei Extremstellen und zwei Randextremstellen gibt, können aber auch alle Arten der Extremstellen gemeinsam in einer Monotonietabelle betrachtet werden.
Arten aller Extrema und Randextrema
Fertige eine Monotonietabelle an, um alle Extremstellen gleichzeitig zu untersuchen
-3
<x<
-1,5
<x<
0
<x<
2
<x<
3
VZ f'
(Rand)
-
0
+
0
-
0
+
(Rand)
$G_{f}$
(Rand)
$↘$
$\to$
$↗$
$\to$
$↘$
$\to$
$↗$
(Rand)
Rand- HOP
TIP
HOP
TIP
Rand- HOP
Lage aller Extrema und Randextrema
Setze jeden x-Wert in den Funktionsterm von f ein:
$f (- 3) = 33,75 \Rightarrow R H O P_{1} (- 3 | 33,75)$
$f (- 1,5) \approx - 4,64 \Rightarrow T I P_{1} (- 1,5 | - 4,64)$
$f (0) = 0 \Rightarrow H O P (0 | 0)$
$f (2) = - 10 \Rightarrow T I P_{2} (2 | - 10)$
$f (3) = 6,75 \Rightarrow R H O P_{2} (3 | 6,75)$
Wertemenge angeben
Die Wertemenge setzt sich zusammen aus dem kleinsten und dem größten y-Wert aus dem letzten Schritt. Da beide Ränder eingeschlossen sind, gibt es nichts weiter zu beachten.
$W = [- 10; 33,75]$
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Da die Definitionsmenge auf beiden Seiten eingeschränkt ist und beide Ränder eingeschlossen sind, gehst du wie folgt vor:
Bestimme die Extrempunkte im Definitionsbereich, insbesondere die y-Koordinaten.
Bestimme den Randextrempunkt am linken Rand, insbesondere die y-Koordinaten.
Die Wertemenge setzt sich zusammen aus dem kleinsten und dem größten y-Wert aller Extrema.

	-3	<x<	-1,5	<x<	0	<x<	2	<x<	3
VZ f'	(Rand)	-	0	+	0	-	0	+	(Rand)
$G_{f}$	(Rand)	$↘$	$\to$	$↗$	$\to$	$↘$	$\to$	$↗$	(Rand)
	Rand- HOP		TIP		HOP		TIP		Rand- HOP

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CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$f^{'} (x)$	$=$	$0$
$15 x^{2} - 15$	$=$	$0$	$+ 15$
$15 x^{2}$	$=$	$15$	$: 15$
$x^{2}$	$=$	$1$
	↓	Beachte, dass die Wurzel hier zwei Lösungen besitzt:
$x$	$=$	$\pm \sqrt{1}$
$x_{1}$	$=$	$1$
$x_{2}$	$=$	$- 1$

$f^{'} (x)$	$=$	$0$
$3 x^{3} - 1,5 x^{2} - 9 x$	$=$	$0$
	↓	3x ausklammern. (Nur x ausklammern auch ok)
$3 x (x^{2} - 0,5 x - 3)$	$=$	$0$

Extrempunkte der Funktion

Randextrempunkte

Wertemenge aufstellen

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Extrempunkte im Definitionsbereich

Randextrempunkt am linken Rand

Grenzwert am rechten Rand

Wertemenge angeben

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Kandidaten für Extremstellen

Arten aller Extrema und Randextrema

Lage aller Extrema und Randextrema

Wertemenge angeben

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