Wahlteil - GTR - lernen mit Serlo!

Aufgabe 1B

Ein mit Wasser befülltes Glas wird aus einem Kühlschrank genommen. Die anschließende Entwicklung der Wassertemperatur infolge der höheren Raumtemperatur lässt sich mithilfe der in $ℝ$ definierten Funktion $𝑓$ mit $𝑓 (𝑡) = 25 - 20 𝑒^{- 0,014 \cdot 𝑡}$ modellhaft beschreiben. Dabei ist $t$ die Zeit in Minuten, die seit der Entnahme aus dem Kühlschrank vergangen ist, und $f (t)$ die Wassertemperatur in $^{\circ} C$ . Die Raumtemperatur beträgt konstant $25^{\circ} C$ .

Geben Sie die Wassertemperatur zum Zeitpunkt der Entnahme aus dem Kühlschrank an.
Bestimmen Sie den Zeitpunkt, zu dem die Wassertemperatur $12^{\circ} C$ beträgt. [3 BE]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionswert
Gib die Wassertemperatur zum Zeitpunkt der Entnahme aus dem Kühlschrank an.
Berechne $f (0)$ :
$f (0) = 25 - 20 = 5$
Die Wassertemperatur zum Zeitpunkt der Entnahme aus dem Kühlschrank beträgt $5^{\circ} C$ .
Bestimme den Zeitpunkt, zu dem die Wassertemperatur $12^{\circ} C$ beträgt
$f (t) = 12$ , liefert die Lösung $t \approx 30,8$ .
Das Wasser hat rund $31$ Minuten nach der Entnahme eine Temperatur von $12^{\circ} C$ .
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Teil 1
Berechne $f (0)$ .
Teil 2
$Löse (f (t) = 12)$ .
Berechnen Sie die Werte der folgenden Terme und interpretieren Sie diese im Sachzusammenhang: [6 BE]
1. $f^{'} (30)$
2. $\frac{f (30) - f (0)}{30 - 0}$
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Die mittlere Änderungsrate – Einführung der Ableitung
Berechne die Werte der folgenden Terme und interpretiere diese im Sachzusammenhang
$(I)$ : $f^{'} (30) \approx 0,18$
$f^{'} (30)$ beschreibt die momentane Änderungsrate der Wassertemperatur $30$ Minuten nach Entnahme in Grad pro Minute.
$(I I)$ : $\frac{f (30) - f (0)}{30 - 0} \approx 0,23$
$\frac{f (30) - f (0)}{30 - 0}$ beschreibt die mittlere Änderungsrate der Wassertemperatur innerhalb der ersten $30$ Minuten in Grad pro Minute.
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Berechne $f^{'} (30)$ . Die erste Ableitung entspricht der momentanen Änderungsrate.
Berechne $\frac{f (30) - f (0)}{30 - 0}$ . Sekantensteigung oder mittlere Änderungsrate.
Gegeben ist die in $ℝ$ definierte Funktion ℎ mit $ℎ (𝑥) = (1 - 𝑥^{2}) \cdot 𝑒^{𝑥}$ .
Der Graph von ℎ wird mit $𝐺_{ℎ}$ bezeichnet.
Ohne Nachweis können Sie verwenden:
$ℎ^{'} (𝑥) = (- 𝑥^{2} - 2 𝑥 + 1) \cdot 𝑒^{x}$
Begründen Sie anhand des Funktionsterms von $ℎ$ , dass der Funktionswert $ℎ (𝑥)$ nur für $- 1 < 𝑥 < 1$ positiv ist. [3 BE]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: e-Funktion
Begründe anhand des Funktionsterms, dass der Funktionswert $h (x)$ nur für $- 1 < x < 1$ positiv ist
Die Funktion hat die beiden Nullstellen $x_{1} = - 1$ und $x_{2} = 1$ .
Betrachte den Funktionsterm: $(1 - x^{2}) \cdot e^{x}$
$e^{x}$ ist für alle $x$ größer null.
Der Term $(1 - x^{2})$ ist für $- 1 < x < + 1$ ebenfalls größer null, sodass das Produkt aus den beiden Termen $e^{x}$ und $(1 - x^{2})$ ebenfalls größer null ist.
(Für $x$ -Werte außerhalb des Intervalls $] - 1; 1 [$ ist der Term $(1 - x^{2})$ kleiner null.)
Damit ist $h (x)$ nur für $- 1 < x < 1$ positiv.
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Bestimme die Nullstellen der Funktion $f$ .
Betrachte die beiden Terme $(1 - x^{2})$ und $e^{x}$ und entscheide, für welche x-Werte die Terme größer oder kleiner null sind.
Die Gerade 𝑢 ist die Tangente an $𝐺_{ℎ}$ im Punkt $(0 | 1)$ . Es gibt genau eine Tangente 𝑣 an $𝐺_{ℎ}$ , die zu $𝑢$ senkrecht ist. Geben Sie die notwendigen Schritte zur Berechnung einer Gleichung von $𝑣$ an und erläutern Sie diese. [6 BE]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangente an Graph
Gib die notwendigen Schritte zur Berechnung einer Gleichung von $v$ an und erläutere diese
Die Gerade $u$ ist die Tangente an $G_{h}$ im Punkt $(0 | 1)$ $\Rightarrow m_{u} = h^{'} (0)$
Es gibt eine Tangente $v$ an $G_{h}$ , die zu $u$ senkrecht ist $\Rightarrow m_{u} \cdot m_{v} = - 1$
Steigung von $v : m_{v} = - \frac{1}{m_{u}} = - \frac{1}{h^{'} (0)}$
Lösen der Gleichung $h^{'} (x) = - \frac{1}{h^{'} (0)}$ zur Bestimmung der $x$ -Koordinate $x_{Q}$ des Berührpunkts $Q$ von $G_{h}$ und $v$ .
Bestimmung der $y$ -Koordinate $y_{Q}$ von $Q$ : $y_{Q} = h (x_{Q})$
Bestimmung des $y$ -Achsenabschnitts von $v$ mithilfe der Steigung von $v$ und der Koordinaten von $Q$ .
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Steigung von $m_{v} = - \frac{1}{m_{u}} = - \frac{1}{h^{'} (0)}$
Löse $h^{'} (x) = - \frac{1}{h^{'} (0)}$ zur Bestimmung der x-Koordinate $x_{Q}$ des Berührpunkts $Q$ von $G_{h}$ und $v$ .
Berechne $y_{Q} = h (x_{Q})$
Bestimmung des y-Achsenabschnitts von $v$ mithilfe der Steigung von $v$ und der Koordinaten von $Q$ .
In einem der Wendepunkte von $𝐺_{ℎ}$ ist die Steigung von $𝐺_{ℎ}$ maximal.
Berechnen Sie die Koordinaten dieses Wendepunktes und den Wert der maximalen
Steigung. [5 BE]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wendepunkte und Terrassenpunkte
Berechne die Koordinaten dieses Wendepunktes
$h^{''} (x) = 0$ $\Rightarrow$ $x_{1} \approx - 3,73$ und $x_{2} \approx - 0,27$ .
Es gibt zwei Wendestellen $x_{1}$ und $x_{2}$ .
Da $h^{'} (x_{2}) > h^{'} (x_{1})$ , hat $h^{'}$ an der Stelle $x_{2}$ ein Maximum und $h (x_{2}) \approx 0,71$ ist
die zugehörige y-Koordinate $\Rightarrow W P (- 0,27 | 0,71)$ .
Berechne den Wert der maximalen Steigung
$h^{'} (x_{2}) \approx 1,12$
Der Wert der maximalen Steigung im Wendepunkt ist rund $1,12$ .
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Teil 1
$h^{''} (x) = 0 \Rightarrow x_{1}$ und $x_{2}$ . Vergleiche $h^{'} (x_{1})$ mit $h^{'} (x_{2})$ . Beim größeren Wert liegt das gesuchte Maximum der Steigung. Berechne die dazugehörige y-Koordinate.
Teil 2
Berechne $h^{'} (x_{1})$ oder $h^{'} (x_{2})$ .
Für $0 < 𝑤 < 1$ wird das Dreieck mit den Eckpunkten $(0 | 0)$ , $(𝑤 | 0)$ und $(𝑤 | ℎ (𝑤))$ betrachtet. Für einen Wert von $𝑤$ ist der Flächeninhalt des Dreiecks maximal.
Bestimmen Sie den maximalen Flächeninhalt. [5 BE]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extremwertaufgabe
Für einen Wert von $w$ ist der Flächeninhalt des Dreiecks maximal
Skizze:
Es ist $A (w) = \frac{1}{2} \cdot w \cdot h (w) = \frac{1}{2} \cdot w \cdot (1 - w^{2}) \cdot e^{w}$
$Löse (A^{'} (w) = 0) \Rightarrow$ im Bereich $0 < w < 1$ gibt es die Lösung $w \approx 0,68$ .
Der Flächeninhalt des Dreiecks ist maximal für $w \approx 0,68$ .
Berechne den maximalen Flächeninhalt
Berechne $A (0,68)$ :
$A (0,68) \approx 0,36$
Der maximale Flächeninhalt beträgt rund $0,36 FE$ .
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Teil 1
Es ist $A (w) = \frac{1}{2} \cdot w \cdot h (w)$ . Bestimme $A^{'} (w) = 0 \Rightarrow w_{1}$
Teil 2
Berechne $A (w_{1})$ .
$𝐺_{ℎ}$ schließt mit der 𝑥-Achse eine Fläche $𝐴$ ein.
Es gibt genau einen Punkt $𝑃$ auf $𝐺_{ℎ}$ mit positiver $𝑥$ -Koordinate, sodass die Gerade durch die Punkte $𝑂 (0 | 0)$ und $𝑃$ die Fläche $𝐴$ in zwei Flächenstücke gleichen Inhalts teilt.
Geben Sie eine Gleichung an, mit der die 𝑥-Koordinate von 𝑃 bestimmt werden kann.
Veranschaulichen Sie den Aufbau der Gleichung in Abbildung 2. [7 BE]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenberechnung mit Integralen
Gib eine Gleichung an, mit der die x-Koordinate von $P$ bestimmt werden kann
Für die Koordinate $x_{P}$ des Punktes $P$ gilt:
Die Hälfte der Fläche, die $G_{h}$ mit der x-Achse einschließt, ist so groß wie die Summe der beiden Flächen $A_{1}$ und $A_{2}$ .
$\frac{1}{2} \cdot \underset{A gesamt}{\underset{⏟}{\int_{- 1}^{1} h (x) d x}} = \underset{A_{1}}{\underset{⏟}{\frac{1}{2} \cdot x_{P} \cdot h (x_{P})}} + \underset{A_{2}}{\underset{⏟}{\int_{x_{P}}^{1} h (x) d x}}$

Veranschauliche den Aufbau der Gleichung in Abbildung 2
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Teil 1
Zeichne einen Punkt $P$ auf $G_{h}$ mit positiver x-Koordinate ein. $x_{P}$ ist seine x-Koordinate.
Die Hälfte der Fläche, die $G_{h}$ mit der x-Achse einschließt, ist so groß wie die Summe der Dreiecksfläche $A_{O x_{P} P}$ und der Fläche unter $G_{h}$ von $x_{P}$ bis $1$ .
Teil 2
Markiere die unter Teil 1 angegebenen Flächen in der Abbildung 2.

Dieses Werk wurde vom Kultusministerium Niedersachsen zur Verfügung gestellt --- Die Lösungsvorschläge dagegen sind NICHT vom Land Niedersachsen → Was bedeutet das?

Aufgabe 1B

Gib die Wassertemperatur zum Zeitpunkt der Entnahme aus dem Kühlschrank an.

Bestimme den Zeitpunkt, zu dem die Wassertemperatur 12∘C beträgt

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Berechne die Werte der folgenden Terme und interpretiere diese im Sachzusammenhang

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Begründe anhand des Funktionsterms, dass der Funktionswert h(x) nur für −1<x<1 positiv ist

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Gib die notwendigen Schritte zur Berechnung einer Gleichung von v an und erläutere diese

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Berechne die Koordinaten dieses Wendepunktes

Berechne den Wert der maximalen Steigung

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Für einen Wert von w ist der Flächeninhalt des Dreiecks maximal

Berechne den maximalen Flächeninhalt

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Gib eine Gleichung an, mit der die x-Koordinate von P bestimmt werden kann

Veranschauliche den Aufbau der Gleichung in Abbildung 2

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Bestimme den Zeitpunkt, zu dem die Wassertemperatur $12^{\circ} C$ beträgt

Begründe anhand des Funktionsterms, dass der Funktionswert $h (x)$ nur für $- 1 < x < 1$ positiv ist

Gib die notwendigen Schritte zur Berechnung einer Gleichung von $v$ an und erläutere diese

Für einen Wert von $w$ ist der Flächeninhalt des Dreiecks maximal

Gib eine Gleichung an, mit der die x-Koordinate von $P$ bestimmt werden kann