Aufgaben zum Umgang mit Bruchtermen

Vereinfache so weit wie möglich.

$\dfrac{a+b}b-\dfrac{a-b}a$

$\dfrac c{c^2-8c+16}-\dfrac2{c^2-6c+8}$

$\dfrac{b-c}{a^2+ac}-\dfrac{a-b}{ac+c^2}+\dfrac{a^2+c^2}{a^2c+ac^2}$

$\dfrac{10u^2-11u-6}{25u^2-4}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellenform einer quadratischen Gleichung
Nenner vereinfachen
$\frac{10u^2-11u-6}{25u^2-4}$
$\frac{10u^2-11u-6}{(5u-2)\cdot (5u+2)}$
Die dritte binomische Formel auf den Nenner anwenden.
Zähler seperat faktorisieren
${10u^2-11u-6}=0$
Zähler separat mit Hilfe der Mitternachtsformel faktorisieren.
$u_{1{,}2}=\frac{-(-11) \pm \sqrt{(-11)^2-4 \cdot 10 \cdot (-6)}}{2 \cdot 10}$
$u_{1{,}2}=\frac{11 \pm \sqrt{121+240}}{20}$
$u_{1{,}2}=\frac{11 \pm \sqrt{361}}{20}$
$u_{1{,}2}=\frac{11 \pm 19}{20}$
Eine quadratische Gleichung der Form $ax^2+bx+c=0$ besitzt Nullstellen bei
$x_{1{,}2}=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
$u_{1}=\frac{30}{20}=\frac{3}{2}$
$u_{2}=-\frac{8}{20}=-\frac{2}{5}$
Wir erhalten die beiden Nullstellen $u_1$ und $u_2$ .
Normalform allgemein:
$f(x)=a \cdot x^2+b \cdot x+c$
Nullstellenform allgemein:
$f(x)=a \cdot (x-x_1) \cdot (x-x_2)$
Normalform hier:
$a \cdot u^2+b \cdot u+c$
Nullstellenform hier:
$a \cdot (u-u_1) \cdot (u-u_2)$
$a$ wird neben den gefundenen Nullstellen $u_1$ und $u_2$ in die Nullstellenformel eingesetzt.
$10\cdot(u-\frac{3}{2})\cdot(u-(-\frac{2}{5}))$
$10 \cdot (u- \frac{3}{2}) \cdot (u+\frac{2}{5})$
Günstige Umschreibung des Faktors und anschließendes Ausmultiplizieren.
$2 \cdot 5 \cdot (u- \frac{3}{2}) \cdot (u+\frac{2}{5})$
$2 \cdot (u- \frac{3}{2}) \cdot 5 \cdot (u+\frac{2}{5})$
$(2 \cdot u- 2 \cdot \frac{3}{2}) \cdot (5 \cdot u+ 5 \cdot \frac{2}{5})$
$(2u- 3) \cdot (5u+2)$
Der ursprüngliche Zähler wurde faktorisiert.
$(2u-3)\cdot(5u+2)=10u^2-11u-6$
$\frac{10u^2-11u-6}{(5u-2) \cdot (5u+2)}=\frac{(2u- 3) \cdot (5u+2)}{(5u-2) \cdot(5u+2)}=\frac{(2u- 3)}{(5u-2)}$
Der vereinfachte Term lautet $\frac{(2u-3)}{(5u-2)}$ .
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$\dfrac{c^2+c-20}{-c^2+c+30}$

$\dfrac{7r^2s}{12\left(r-s\right)}\;\cdot\;\dfrac{(2\mathrm{sr}-2r)^2}{21\mathrm{rs}^2}$

$\dfrac{\left(\frac66a^2\right)^3:\left(\frac{4x}{y^2}\right)^2}{\frac1{\left(2a^2b\right)^3\cdot\left(3x^2y^3\right)^3}}\;:\;\dfrac{2a^3b}5$

$\dfrac{\frac23b^2+\left(\frac{3b}2\right)^2-\frac56b^2}{\left(\frac43a^2b\right)^3}\;:\;\dfrac{\left(\frac{2a}3\right)^2}{\frac{5a^3}{b^2}}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Brüche kürzen und erweitern

Löse die Klammern mithilfe der Potenzgesetze auf.

$\displaystyle \dfrac{\frac23b^2+\left(\frac{3b}2\right)^2-\frac56b^2}{\left(\frac43a^2b\right)^3}\;:\;\dfrac{\left(\frac{2a}3\right)^2}{\frac{5a^3}{b^2}}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{\frac23b^2+\frac{9b^2}4-\frac56b^2}{\frac{64}{27}a^6b^3}\;:\;\dfrac{\frac{4a^2}9}{\frac{5a^3}{b^2}}$
	↓	Multipliziere mit dem Kehrbruch.
$\displaystyle$	$=$	$\displaystyle \dfrac{b^2\cdot\left(\frac23+\frac94-\frac56\right)}{\frac{64}{27}a^6b^3}\;\cdot\dfrac{\frac{5a^3}{b^2}}{\frac{4a^2}9}$
	↓	Multipliziere die beiden Brüche und kürze im Zähler mit $b^2$ .
	$=$	$\displaystyle \dfrac{5a^3\cdot\left(\frac23+\frac94-\frac56\right)}{\frac{64}{27}a^6b^3\cdot\frac{4a^2}9}$
	↓	Bilde im Zähler den Hauptnenner (12) und erweitere alle Brüche auf diesen. Multipliziere im Nenner aus.
$\displaystyle$	$=$	$\displaystyle \dfrac{5a^3\cdot\left(\frac8{12}+\frac{27}{12}-\frac{10}{12}\right)}{\frac{256a^8b^3}{243}}$
	↓	Berechne das Innere der Klammer $\left(\frac{25}{12}\right)$ .
$\displaystyle$	$=$	$\displaystyle \dfrac{\frac{125a^3}{12}}{\frac{256a^8b^3}{243}}$
	↓	Der mittlere Bruchstrich entspricht einem "Geteilt", stattdessen kannst du deswegen mit dem Kehrbruch multiplizieren.
$\displaystyle$	$=$	$\displaystyle \dfrac{125a^3}{12}\cdot\dfrac{243}{256a^8b^3}$
	↓	Multipliziere und kürze mit $3a^3$ .
	$=$	$\displaystyle \dfrac{10125}{1024a^5b^3}$

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$\displaystyle \frac{a+b}{b}-\frac{a-b}{a}$	$=$	$\displaystyle \frac{\left(a+b\right)\cdot a}{b\cdot a}-\frac{\left(a-b\right)\cdot b}{a\cdot b}$
	↓	Fasse die beiden Brüche zu einen zusammen.
	$=$	$\displaystyle \frac{(a+b)\cdot a-(a-b)\cdot b}{b\cdot a}$
	↓	Multipliziere aus.
	$=$	$\displaystyle \frac{a^2+ab-ab+b^2}{b\cdot a}$
	↓	Berechne im Zähler $ab-ab$ .
	$=$	$\displaystyle \frac{a^2+b^2}{b\cdot a}$

	$\displaystyle \displaystyle\frac{\left(\frac{6}{6}a^2\right)^3:\left(\frac{4x}{y^2}\right)}{\displaystyle\frac{1}{\left(2a^2b\right)^3\cdot\left(3x^2y^3\right)^3}}:\frac{2a^3b}{5}$
	↓ Löse die Klammern mithilfe der Potenzgesetze auf
$=$	$\displaystyle \displaystyle\frac{a^6:\frac{16x^2}{y^4}}{\displaystyle\frac{1}{8a^6b^3\cdot27x^6y^9}}:\frac{2a^3b}{5}$
	↓ Multipliziere im Zähler des ersten Bruchs mit dem Kehrbruch
$=$	$\displaystyle \displaystyle\frac{\displaystyle\frac{a^6y^4}{16x^2}}{\displaystyle\frac{1}{216a^6b^3x^6y^9}}:\frac{2a^3b}{5}$
	↓ Der mittlere Bruchstrich entspricht einem "Geteilt", deshalb kannst du stattdessen mit dem Kehrbruch multiplizieren. Gleiches bei dem zweiten Bruch.
$=$	$\displaystyle \displaystyle\frac{a^6y^4}{16x^2}\cdot\frac{216a^6b^3x^6y^9}{1}\cdot\frac{5}{2a^3b}$
	↓ Kürze mit $8a^3bx^2$ .
$=$	$\displaystyle \displaystyle\frac{a^6y^4}{2}\cdot\frac{27a^3b^2x^4y^9}{1}\cdot\frac{5}{2}$
	↓ Multipliziere.
$=$	$\displaystyle \displaystyle\frac{135}{4}a^9b^2x^4y^{13}$

$\displaystyle \frac{c}{c^2-8c+16}-\frac{2}{c^2-6c+8}$	$=$
	↓	Wende die 2. binomische Formel und den Satz von Vieta an
	$=$	$\displaystyle \frac{c}{\left(c-4\right)^2}-\frac{2}{\left(c-4\right)\left(c-2\right)}$
	↓	Bilde den Hauptnenner $((c-4)^2(c-2))$
	$=$	$\displaystyle \frac{c(c-2)-\left[2(c-4)\right]}{(c-4)^2(c-2)}$
	$=$	$\displaystyle \frac{c^2-2c-\left[2c-8\right]}{(c-4)^2(c-2)}$
	$=$	$\displaystyle \frac{c^2-2c-2c+8}{(c-4)^2(c-2)}$
	↓	Subtraktion
	$=$	$\displaystyle \frac{c^2-4c+8}{(c-2)(c-4)^2}$

$\displaystyle \frac{b-c}{a^2+ac}-\frac{a-b}{ac+c^2}+\frac{a^2+c^2}{a^2c+ac^2}$	$=$
	↓	Mache die Nenner übersichtlicher, um den Hauptnenner leichter zu finden.
	$=$	$\displaystyle \frac{b-c}{a\cdot(a+c)}-\frac{a-b}{c\cdot(a+c)}+\frac{a^2+c^2}{a\cdot c\cdot(a+c)}$
	↓	Bilde den Hauptnenner $(a \cdot c \cdot (a+c))$ und erweitere beide Brüche auf diesen.
	$=$	$\displaystyle \frac{c\cdot(b-c)}{a\cdot c\cdot(a+c)}-\frac{a\cdot(a-b)}{a\cdot c\cdot(a+c)}+\frac{a^2+c^2}{a\cdot c\cdot(a+c)}$
	↓	Schreibe den Term auf einen Bruchstrich
	$=$	$\displaystyle \frac{c\cdot(b-c)-a\cdot(a-b)+a^2+c^2}{a\cdot c\cdot(a+c)}$
	↓	Vereinfache den Zähler
	$=$	$\displaystyle \frac{bc-c^2-a^2+ab+a^2+c^2}{a\cdot c\cdot(a+c)}$
	$=$	$\displaystyle \frac{bc+ab}{a\cdot c\cdot(a+c)}$
	$=$	$\displaystyle \frac{b\left(a+c\right)}{a\cdot c\cdot(a+c)}$
	↓	Kürze $\left(a+c\right)$
	$=$	$\displaystyle \frac{b}{ac}$

$\displaystyle \frac{c^2+c-20}{-c^2+c+30}$	$=$
	$=$	$\displaystyle \frac{(c-4)\cdot(c+5)}{(c+5)\cdot(-c+6)}$
	$=$	$\displaystyle \frac{c-4}{-c+6}$
	$=$	$\displaystyle -\frac{c-4}{c-6}$

$\displaystyle \frac{7r^2s}{12\left(r-s\right)}\cdot\frac{\left(2sr-2r\right)^2}{21rs^2}$	$=$
	↓	Kürze zunächst alles, was man schonmal kürzen kann. Hier die $7$ mit der $21$ , $r^2$ mit $r$ und $s$ mit $s^2$ .
	$=$	$\displaystyle \frac{r}{12\left(r-s\right)}\cdot\frac{\left(2sr-2r\right)^2}{3s}$
	↓	Nun kannst du in der Klammer $(2sr-2r)^2$ die $2r$ ausklammern.
	$=$	$\displaystyle \frac{r}{12\left(r-s\right)}\cdot\frac{\left(2r\left(s-1\right)\right)^2}{3s}$
	↓	Löse nun die Klammer oben mithilfe der Potenzgesetze auf.
	$=$	$\displaystyle \frac{r}{12\left(r-s\right)}\cdot\frac{4r^2\left(s-1\right)^2}{3s}$
	↓	Kürze die $4$ mit der $12$ und fasse zusammen
	$=$	$\displaystyle \frac{r3\left(s-1\right)^2}{9s\left(r-s\right)}$

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