Aufgaben zum Umgang mit Bruchtermen

Vereinfache so weit wie möglich.

$\frac{a + b}{b} - \frac{a - b}{a}$

$\frac{c}{c^{2} - 8 c + 16} - \frac{2}{c^{2} - 6 c + 8}$

$\frac{b - c}{a^{2} + a c} - \frac{a - b}{a c + c^{2}} + \frac{a^{2} + c^{2}}{a^{2} c + a c^{2}}$

$\frac{10 u^{2} - 11 u - 6}{25 u^{2} - 4}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellenform einer quadratischen Gleichung
Nenner vereinfachen
$\frac{10 u^{2} - 11 u - 6}{25 u^{2} - 4}$
$\frac{10 u^{2} - 11 u - 6}{(5 u - 2) \cdot (5 u + 2)}$
Die dritte binomische Formel auf den Nenner anwenden.
Zähler seperat faktorisieren
$10 u^{2} - 11 u - 6 = 0$
Zähler separat mit Hilfe der Mitternachtsformel faktorisieren.
$u_{1,2} = \frac{- (- 11) \pm \sqrt{(- 11)^{2} - 4 \cdot 10 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 10}$
$u_{1,2} = \frac{11 \pm \sqrt{121 + 240}}{20}$
$u_{1,2} = \frac{11 \pm \sqrt{361}}{20}$
$u_{1,2} = \frac{11 \pm 19}{20}$
Eine quadratische Gleichung der Form $a x^{2} + b x + c = 0$ besitzt Nullstellen bei
$x_{1,2} = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$
$u_{1} = \frac{30}{20} = \frac{3}{2}$
$u_{2} = - \frac{8}{20} = - \frac{2}{5}$
Wir erhalten die beiden Nullstellen $u_{1}$ und $u_{2}$ .
Normalform allgemein:
$f (x) = a \cdot x^{2} + b \cdot x + c$
Nullstellenform allgemein:
$f (x) = a \cdot (x - x_{1}) \cdot (x - x_{2})$
Normalform hier:
$a \cdot u^{2} + b \cdot u + c$
Nullstellenform hier:
$a \cdot (u - u_{1}) \cdot (u - u_{2})$
$a$ wird neben den gefundenen Nullstellen $u_{1}$ und $u_{2}$ in die Nullstellenformel eingesetzt.
$10 \cdot (u - \frac{3}{2}) \cdot (u - (- \frac{2}{5}))$
$10 \cdot (u - \frac{3}{2}) \cdot (u + \frac{2}{5})$
Günstige Umschreibung des Faktors und anschließendes Ausmultiplizieren.
$2 \cdot 5 \cdot (u - \frac{3}{2}) \cdot (u + \frac{2}{5})$
$2 \cdot (u - \frac{3}{2}) \cdot 5 \cdot (u + \frac{2}{5})$
$(2 \cdot u - 2 \cdot \frac{3}{2}) \cdot (5 \cdot u + 5 \cdot \frac{2}{5})$
$(2 u - 3) \cdot (5 u + 2)$
Der ursprüngliche Zähler wurde faktorisiert.
$(2 u - 3) \cdot (5 u + 2) = 10 u^{2} - 11 u - 6$
$\frac{10 u^{2} - 11 u - 6}{(5 u - 2) \cdot (5 u + 2)} = \frac{(2 u - 3) \cdot (5 u + 2)}{(5 u - 2) \cdot (5 u + 2)} = \frac{(2 u - 3)}{(5 u - 2)}$
Der vereinfachte Term lautet $\frac{(2 u - 3)}{(5 u - 2)}$ .
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$\frac{c^{2} + c - 20}{- c^{2} + c + 30}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Brüche kürzen und erweitern
$\frac{c^{2} + c - 20}{- c^{2} + c + 30}$ $=$
$=$ $\frac{(c - 4) \cdot (c + 5)}{(c + 5) \cdot (- c + 6)}$
$=$ $\frac{c - 4}{- c + 6}$
$=$ $- \frac{c - 4}{c - 6}$
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$\frac{7 r^{2} s}{12 (r - s)} \cdot \frac{(2 sr - 2 r)^{2}}{21 {rs}^{2}}$

$\frac{{(\frac{6}{6} a^{2})}^{3} : {(\frac{4 x}{y^{2}})}^{2}}{\frac{1}{{(2 a^{2} b)}^{3} \cdot {(3 x^{2} y^{3})}^{3}}} : \frac{2 a^{3} b}{5}$

$\frac{\frac{2}{3} b^{2} + {(\frac{3 b}{2})}^{2} - \frac{5}{6} b^{2}}{{(\frac{4}{3} a^{2} b)}^{3}} : \frac{{(\frac{2 a}{3})}^{2}}{\frac{5 a^{3}}{b^{2}}}$

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CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$\frac{a + b}{b} - \frac{a - b}{a}$	$=$	$\frac{(a + b) \cdot a}{b \cdot a} - \frac{(a - b) \cdot b}{a \cdot b}$
	↓	Fasse die beiden Brüche zu einen zusammen.
	$=$	$\frac{(a + b) \cdot a - (a - b) \cdot b}{b \cdot a}$
	↓	Multipliziere aus.
	$=$	$\frac{a^{2} + a b - a b + b^{2}}{b \cdot a}$
	↓	Berechne im Zähler $a b - a b$ .
	$=$	$\frac{a^{2} + b^{2}}{b \cdot a}$

$\frac{c}{c^{2} - 8 c + 16} - \frac{2}{c^{2} - 6 c + 8}$	$=$
	↓	Wende die 2. binomische Formel und den Satz von Vieta an
	$=$	$\frac{c}{{(c - 4)}^{2}} - \frac{2}{(c - 4) (c - 2)}$
	↓	Bilde den Hauptnenner $((c - 4)^{2} (c - 2))$
	$=$	$\frac{c (c - 2) - [2 (c - 4)]}{(c - 4)^{2} (c - 2)}$
	$=$	$\frac{c^{2} - 2 c - [2 c - 8]}{(c - 4)^{2} (c - 2)}$
	$=$	$\frac{c^{2} - 2 c - 2 c + 8}{(c - 4)^{2} (c - 2)}$
	↓	Subtraktion
	$=$	$\frac{c^{2} - 4 c + 8}{(c - 2) (c - 4)^{2}}$

$\frac{b - c}{a^{2} + a c} - \frac{a - b}{a c + c^{2}} + \frac{a^{2} + c^{2}}{a^{2} c + a c^{2}}$	$=$
	↓	Mache die Nenner übersichtlicher, um den Hauptnenner leichter zu finden.
	$=$	$\frac{b - c}{a \cdot (a + c)} - \frac{a - b}{c \cdot (a + c)} + \frac{a^{2} + c^{2}}{a \cdot c \cdot (a + c)}$
	↓	Bilde den Hauptnenner $(a \cdot c \cdot (a + c))$ und erweitere beide Brüche auf diesen.
	$=$	$\frac{c \cdot (b - c)}{a \cdot c \cdot (a + c)} - \frac{a \cdot (a - b)}{a \cdot c \cdot (a + c)} + \frac{a^{2} + c^{2}}{a \cdot c \cdot (a + c)}$
	↓	Schreibe den Term auf einen Bruchstrich
	$=$	$\frac{c \cdot (b - c) - a \cdot (a - b) + a^{2} + c^{2}}{a \cdot c \cdot (a + c)}$
	↓	Vereinfache den Zähler
	$=$	$\frac{b c - c^{2} - a^{2} + a b + a^{2} + c^{2}}{a \cdot c \cdot (a + c)}$
	$=$	$\frac{b c + a b}{a \cdot c \cdot (a + c)}$
	$=$	$\frac{b (a + c)}{a \cdot c \cdot (a + c)}$
	↓	Kürze $(a + c)$
	$=$	$\frac{b}{a c}$

$\frac{7 r^{2} s}{12 (r - s)} \cdot \frac{{(2 s r - 2 r)}^{2}}{21 r s^{2}}$	$=$
	↓	Kürze zunächst alles, was man schonmal kürzen kann. Hier die $7$ mit der $21$ , $r^{2}$ mit $r$ und $s$ mit $s^{2}$ .
	$=$	$\frac{r}{12 (r - s)} \cdot \frac{{(2 s r - 2 r)}^{2}}{3 s}$
	↓	Nun kannst du in der Klammer $(2 s r - 2 r)^{2}$ die $2 r$ ausklammern.
	$=$	$\frac{r}{12 (r - s)} \cdot \frac{{(2 r (s - 1))}^{2}}{3 s}$
	↓	Löse nun die Klammer oben mithilfe der Potenzgesetze auf.
	$=$	$\frac{r}{12 (r - s)} \cdot \frac{4 r^{2} {(s - 1)}^{2}}{3 s}$
	↓	Kürze die $4$ mit der $12$ und fasse zusammen
	$=$	$\frac{r 3 {(s - 1)}^{2}}{9 s (r - s)}$

	$\frac{{(\frac{6}{6} a^{2})}^{3} : (\frac{4 x}{y^{2}})}{\frac{1}{{(2 a^{2} b)}^{3} \cdot {(3 x^{2} y^{3})}^{3}}} : \frac{2 a^{3} b}{5}$
	↓ Löse die Klammern mithilfe der Potenzgesetze auf
$=$	$\frac{a^{6} : \frac{16 x^{2}}{y^{4}}}{\frac{1}{8 a^{6} b^{3} \cdot 27 x^{6} y^{9}}} : \frac{2 a^{3} b}{5}$
	↓ Multipliziere im Zähler des ersten Bruchs mit dem Kehrbruch
$=$	$\frac{\frac{a^{6} y^{4}}{16 x^{2}}}{\frac{1}{216 a^{6} b^{3} x^{6} y^{9}}} : \frac{2 a^{3} b}{5}$
	↓ Der mittlere Bruchstrich entspricht einem "Geteilt", deshalb kannst du stattdessen mit dem Kehrbruch multiplizieren. Gleiches bei dem zweiten Bruch.
$=$	$\frac{a^{6} y^{4}}{16 x^{2}} \cdot \frac{216 a^{6} b^{3} x^{6} y^{9}}{1} \cdot \frac{5}{2 a^{3} b}$
	↓ Kürze mit $8 a^{3} b x^{2}$ .
$=$	$\frac{a^{6} y^{4}}{2} \cdot \frac{27 a^{3} b^{2} x^{4} y^{9}}{1} \cdot \frac{5}{2}$
	↓ Multipliziere.
$=$	$\frac{135}{4} a^{9} b^{2} x^{4} y^{13}$

$\frac{c^{2} + c - 20}{- c^{2} + c + 30}$	$=$
	$=$	$\frac{(c - 4) \cdot (c + 5)}{(c + 5) \cdot (- c + 6)}$
	$=$	$\frac{c - 4}{- c + 6}$
	$=$	$- \frac{c - 4}{c - 6}$

$\frac{\frac{2}{3} b^{2} + {(\frac{3 b}{2})}^{2} - \frac{5}{6} b^{2}}{{(\frac{4}{3} a^{2} b)}^{3}} : \frac{{(\frac{2 a}{3})}^{2}}{\frac{5 a^{3}}{b^{2}}}$	$=$	$\frac{\frac{2}{3} b^{2} + \frac{9 b^{2}}{4} - \frac{5}{6} b^{2}}{\frac{64}{27} a^{6} b^{3}} : \frac{\frac{4 a^{2}}{9}}{\frac{5 a^{3}}{b^{2}}}$
	↓	Multipliziere mit dem Kehrbruch.
	$=$	$\frac{b^{2} \cdot (\frac{2}{3} + \frac{9}{4} - \frac{5}{6})}{\frac{64}{27} a^{6} b^{3}} \cdot \frac{\frac{5 a^{3}}{b^{2}}}{\frac{4 a^{2}}{9}}$
	↓	Multipliziere die beiden Brüche und kürze im Zähler mit $b^{2}$ .
	$=$	$\frac{5 a^{3} \cdot (\frac{2}{3} + \frac{9}{4} - \frac{5}{6})}{\frac{64}{27} a^{6} b^{3} \cdot \frac{4 a^{2}}{9}}$
	↓	Bilde im Zähler den Hauptnenner (12) und erweitere alle Brüche auf diesen. Multipliziere im Nenner aus.
	$=$	$\frac{5 a^{3} \cdot (\frac{8}{12} + \frac{27}{12} - \frac{10}{12})}{\frac{256 a^{8} b^{3}}{243}}$
	↓	Berechne das Innere der Klammer $(\frac{25}{12})$ .
	$=$	$\frac{\frac{125 a^{3}}{12}}{\frac{256 a^{8} b^{3}}{243}}$
	↓	Der mittlere Bruchstrich entspricht einem "Geteilt", stattdessen kannst du deswegen mit dem Kehrbruch multiplizieren.
	$=$	$\frac{125 a^{3}}{12} \cdot \frac{243}{256 a^{8} b^{3}}$
	↓	Multipliziere und kürze mit $3 a^{3}$ .
	$=$	$\frac{10125}{1024 a^{5} b^{3}}$

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Nenner vereinfachen

Zähler seperat faktorisieren

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