Aufgaben zum Umgang mit Bruchtermen

Vereinfache so weit wie möglich.

$\dfrac{a+b}b-\dfrac{a-b}a$

$\dfrac c{c^2-8c+16}-\dfrac2{c^2-6c+8}$

$\dfrac{b-c}{a^2+ac}-\dfrac{a-b}{ac+c^2}+\dfrac{a^2+c^2}{a^2c+ac^2}$

$\dfrac{10u^2-11u-6}{25u^2-4}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellenform einer quadratischen Gleichung
Nenner vereinfachen
$\frac{10u^2-11u-6}{25u^2-4}$
$\frac{10u^2-11u-6}{(5u-2)\cdot (5u+2)}$
Die dritte binomische Formel auf den Nenner anwenden.
Zähler seperat faktorisieren
${10u^2-11u-6}=0$
Zähler separat mit Hilfe der Mitternachtsformel faktorisieren.
$u_{1{,}2}=\frac{-(-11) \pm \sqrt{(-11)^2-4 \cdot 10 \cdot (-6)}}{2 \cdot 10}$
$u_{1{,}2}=\frac{11 \pm \sqrt{121+240}}{20}$
$u_{1{,}2}=\frac{11 \pm \sqrt{361}}{20}$
$u_{1{,}2}=\frac{11 \pm 19}{20}$
Eine quadratische Gleichung der Form $a x^{2} + b x + c = 0$ besitzt Nullstellen bei
$x_{1{,}2}=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
$u_{1}=\frac{30}{20}=\frac{3}{2}$
$u_{2}=-\frac{8}{20}=-\frac{2}{5}$
Wir erhalten die beiden Nullstellen $u_{1}$ und $u_{2}$ .
Normalform allgemein:
$f(x)=a \cdot x^2+b \cdot x+c$
Nullstellenform allgemein:
$f(x)=a \cdot (x-x_1) \cdot (x-x_2)$
Normalform hier:
$a \cdot u^2+b \cdot u+c$
Nullstellenform hier:
$a \cdot (u-u_1) \cdot (u-u_2)$
$a$ wird neben den gefundenen Nullstellen $u_{1}$ und $u_{2}$ in die Nullstellenformel eingesetzt.
$10\cdot(u-\frac{3}{2})\cdot(u-(-\frac{2}{5}))$
$10 \cdot (u- \frac{3}{2}) \cdot (u+\frac{2}{5})$
Günstige Umschreibung des Faktors und anschließendes Ausmultiplizieren.
$2 \cdot 5 \cdot (u- \frac{3}{2}) \cdot (u+\frac{2}{5})$
$2 \cdot (u- \frac{3}{2}) \cdot 5 \cdot (u+\frac{2}{5})$
$(2 \cdot u- 2 \cdot \frac{3}{2}) \cdot (5 \cdot u+ 5 \cdot \frac{2}{5})$
$(2u- 3) \cdot (5u+2)$
Der ursprüngliche Zähler wurde faktorisiert.
$(2u-3)\cdot(5u+2)=10u^2-11u-6$
$\frac{10u^2-11u-6}{(5u-2) \cdot (5u+2)}=\frac{(2u- 3) \cdot (5u+2)}{(5u-2) \cdot(5u+2)}=\frac{(2u- 3)}{(5u-2)}$
Der vereinfachte Term lautet $\frac{(2u-3)}{(5u-2)}$ .
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👇

$\dfrac{c^2+c-20}{-c^2+c+30}$

$\dfrac{7r^2s}{12\left(r-s\right)}\;\cdot\;\dfrac{(2\mathrm{sr}-2r)^2}{21\mathrm{rs}^2}$

$\dfrac{\left(\frac66a^2\right)^3:\left(\frac{4x}{y^2}\right)^2}{\frac1{\left(2a^2b\right)^3\cdot\left(3x^2y^3\right)^3}}\;:\;\dfrac{2a^3b}5$

$\dfrac{\frac23b^2+\left(\frac{3b}2\right)^2-\frac56b^2}{\left(\frac43a^2b\right)^3}\;:\;\dfrac{\left(\frac{2a}3\right)^2}{\frac{5a^3}{b^2}}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Brüche kürzen und erweitern

Löse die Klammern mithilfe der Potenzgesetze auf.

$\displaystyle \dfrac{\frac23b^2+\left(\frac{3b}2\right)^2-\frac56b^2}{\left(\frac43a^2b\right)^3}\;:\;\dfrac{\left(\frac{2a}3\right)^2}{\frac{5a^3}{b^2}}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{\frac23b^2+\frac{9b^2}4-\frac56b^2}{\frac{64}{27}a^6b^3}\;:\;\dfrac{\frac{4a^2}9}{\frac{5a^3}{b^2}}$
	↓	Multipliziere mit dem Kehrbruch.
$\displaystyle$	$=$	$\displaystyle \dfrac{b^2\cdot\left(\frac23+\frac94-\frac56\right)}{\frac{64}{27}a^6b^3}\;\cdot\dfrac{\frac{5a^3}{b^2}}{\frac{4a^2}9}$
	↓	Multipliziere die beiden Brüche und kürze im Zähler mit $b^{2}$ .
	$=$	$\displaystyle \dfrac{5a^3\cdot\left(\frac23+\frac94-\frac56\right)}{\frac{64}{27}a^6b^3\cdot\frac{4a^2}9}$
	↓	Bilde im Zähler den Hauptnenner (12) und erweitere alle Brüche auf diesen. Multipliziere im Nenner aus.
$\displaystyle$	$=$	$\displaystyle \dfrac{5a^3\cdot\left(\frac8{12}+\frac{27}{12}-\frac{10}{12}\right)}{\frac{256a^8b^3}{243}}$
	↓	Berechne das Innere der Klammer $\left(\frac{25}{12}\right)$ .
$\displaystyle$	$=$	$\displaystyle \dfrac{\frac{125a^3}{12}}{\frac{256a^8b^3}{243}}$
	↓	Der mittlere Bruchstrich entspricht einem "Geteilt", stattdessen kannst du deswegen mit dem Kehrbruch multiplizieren.
$\displaystyle$	$=$	$\displaystyle \dfrac{125a^3}{12}\cdot\dfrac{243}{256a^8b^3}$
	↓	Multipliziere und kürze mit $3 a^{3}$ .
	$=$	$\displaystyle \dfrac{10125}{1024a^5b^3}$

Hast du eine Frage oder Feedback?

Kommentiere hier 👇

$\displaystyle \frac{a+b}{b}-\frac{a-b}{a}$	$=$	$\displaystyle \frac{\left(a+b\right)\cdot a}{b\cdot a}-\frac{\left(a-b\right)\cdot b}{a\cdot b}$
	↓	Fasse die beiden Brüche zu einen zusammen.
	$=$	$\displaystyle \frac{(a+b)\cdot a-(a-b)\cdot b}{b\cdot a}$
	↓	Multipliziere aus.
	$=$	$\displaystyle \frac{a^2+ab-ab+b^2}{b\cdot a}$
	↓	Berechne im Zähler $a b - a b$ .
	$=$	$\displaystyle \frac{a^2+b^2}{b\cdot a}$

	$\displaystyle \displaystyle\frac{\left(\frac{6}{6}a^2\right)^3:\left(\frac{4x}{y^2}\right)}{\displaystyle\frac{1}{\left(2a^2b\right)^3\cdot\left(3x^2y^3\right)^3}}:\frac{2a^3b}{5}$
	↓ Löse die Klammern mithilfe der Potenzgesetze auf
$=$	$\displaystyle \displaystyle\frac{a^6:\frac{16x^2}{y^4}}{\displaystyle\frac{1}{8a^6b^3\cdot27x^6y^9}}:\frac{2a^3b}{5}$
	↓ Multipliziere im Zähler des ersten Bruchs mit dem Kehrbruch
$=$	$\displaystyle \displaystyle\frac{\displaystyle\frac{a^6y^4}{16x^2}}{\displaystyle\frac{1}{216a^6b^3x^6y^9}}:\frac{2a^3b}{5}$
	↓ Der mittlere Bruchstrich entspricht einem "Geteilt", deshalb kannst du stattdessen mit dem Kehrbruch multiplizieren. Gleiches bei dem zweiten Bruch.
$=$	$\displaystyle \displaystyle\frac{a^6y^4}{16x^2}\cdot\frac{216a^6b^3x^6y^9}{1}\cdot\frac{5}{2a^3b}$
	↓ Kürze mit $8 a^{3} b x^{2}$ .
$=$	$\displaystyle \displaystyle\frac{a^6y^4}{2}\cdot\frac{27a^3b^2x^4y^9}{1}\cdot\frac{5}{2}$
	↓ Multipliziere.
$=$	$\displaystyle \displaystyle\frac{135}{4}a^9b^2x^4y^{13}$

$\displaystyle \frac{c}{c^2-8c+16}-\frac{2}{c^2-6c+8}$	$=$
	↓	Wende die 2. binomische Formel und den Satz von Vieta an
	$=$	$\displaystyle \frac{c}{\left(c-4\right)^2}-\frac{2}{\left(c-4\right)\left(c-2\right)}$
	↓	Bilde den Hauptnenner $((c - 4)^{2} (c - 2))$
	$=$	$\displaystyle \frac{c(c-2)-\left[2(c-4)\right]}{(c-4)^2(c-2)}$
	$=$	$\displaystyle \frac{c^2-2c-\left[2c-8\right]}{(c-4)^2(c-2)}$
	$=$	$\displaystyle \frac{c^2-2c-2c+8}{(c-4)^2(c-2)}$
	↓	Subtraktion
	$=$	$\displaystyle \frac{c^2-4c+8}{(c-2)(c-4)^2}$

$\displaystyle \frac{b-c}{a^2+ac}-\frac{a-b}{ac+c^2}+\frac{a^2+c^2}{a^2c+ac^2}$	$=$
	↓	Mache die Nenner übersichtlicher, um den Hauptnenner leichter zu finden.
	$=$	$\displaystyle \frac{b-c}{a\cdot(a+c)}-\frac{a-b}{c\cdot(a+c)}+\frac{a^2+c^2}{a\cdot c\cdot(a+c)}$
	↓	Bilde den Hauptnenner $(a \cdot c \cdot (a+c))$ und erweitere beide Brüche auf diesen.
	$=$	$\displaystyle \frac{c\cdot(b-c)}{a\cdot c\cdot(a+c)}-\frac{a\cdot(a-b)}{a\cdot c\cdot(a+c)}+\frac{a^2+c^2}{a\cdot c\cdot(a+c)}$
	↓	Schreibe den Term auf einen Bruchstrich
	$=$	$\displaystyle \frac{c\cdot(b-c)-a\cdot(a-b)+a^2+c^2}{a\cdot c\cdot(a+c)}$
	↓	Vereinfache den Zähler
	$=$	$\displaystyle \frac{bc-c^2-a^2+ab+a^2+c^2}{a\cdot c\cdot(a+c)}$
	$=$	$\displaystyle \frac{bc+ab}{a\cdot c\cdot(a+c)}$
	$=$	$\displaystyle \frac{b\left(a+c\right)}{a\cdot c\cdot(a+c)}$
	↓	Kürze $\left(a+c\right)$
	$=$	$\displaystyle \frac{b}{ac}$

$\displaystyle \frac{c^2+c-20}{-c^2+c+30}$	$=$
	$=$	$\displaystyle \frac{(c-4)\cdot(c+5)}{(c+5)\cdot(-c+6)}$
	$=$	$\displaystyle \frac{c-4}{-c+6}$
	$=$	$\displaystyle -\frac{c-4}{c-6}$

$\displaystyle \frac{7r^2s}{12\left(r-s\right)}\cdot\frac{\left(2sr-2r\right)^2}{21rs^2}$	$=$
	↓	Kürze zunächst alles, was man schonmal kürzen kann. Hier die $7$ mit der $21$ , $r^{2}$ mit $r$ und $s$ mit $s^{2}$ .
	$=$	$\displaystyle \frac{r}{12\left(r-s\right)}\cdot\frac{\left(2sr-2r\right)^2}{3s}$
	↓	Nun kannst du in der Klammer $(2 s r - 2 r)^{2}$ die $2 r$ ausklammern.
	$=$	$\displaystyle \frac{r}{12\left(r-s\right)}\cdot\frac{\left(2r\left(s-1\right)\right)^2}{3s}$
	↓	Löse nun die Klammer oben mithilfe der Potenzgesetze auf.
	$=$	$\displaystyle \frac{r}{12\left(r-s\right)}\cdot\frac{4r^2\left(s-1\right)^2}{3s}$
	↓	Kürze die $4$ mit der $12$ und fasse zusammen
	$=$	$\displaystyle \frac{r3\left(s-1\right)^2}{9s\left(r-s\right)}$

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Nenner vereinfachen

Zähler seperat faktorisieren

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?