Aufgaben zu Steigung und Differenzierbarkeit anhand des Graphen

Vom Schätzen zum Konstruieren und Berechnen von Steigungen

Wie man die Steigung einer Funktion in einem bestimmten Punkt ermittelt, hängt davon ab, welche Informationen man über die Funktion hat. Man kann Steigungen schätzen, unter Umständen konstruieren, vor allem aber auch berechnen. Wenn man eine Steigung berechnet, dann sagt man, man hat die Funktion "differenziert".

Von der Funktion $f$ ist lediglich der Graph gegeben. Schätze die Steigung im Punkt P(3|f(3)).
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Steigugswinkel
Lösungsschritte:
Lege gefühlmäßig die Tangente t in P an den Graphen von $f$ .
Schätze den Neigungswinkel der linksgeneigten Tangente.
Ein guter Schätzwert ist 130°.
Lies vom Taschenrechner den Wert $\tan\left(130^\circ\right)$ ab.
Es ergibt sich $f'(3)\approx-1{,}2$ .
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Von der Funktion $k$ ist bekannt, dass es sich um eine Halbkreislinie handelt. Konstruiere die Tangente im Punkt $P(4|k(4))$ und bestimme so den Steigungswert der Funktion k im Punkt $P$ .
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Steigungswinkel
Lösungsschritte:
Dem Halbkreis entnimmt man den Mittelpunkt $M(1\vert5)$ .
Verbinde den Mittelpunkt M mit dem Punkt P.
Errichte in P - zum Beispiel mit dem Geodreieck - das [Lot]() auf die Gerade $MP$ ./1891
Dieses Lot ist die gesuchte Tangente.(Du kannst das Lot auch ohne Geodreieck mit Zirkel und Lineal konstruieren.)
Mit dem Winkelmesser liest du den Neigungswinkel von rund 49° ab.
Lies vom Taschenrechner $\tan\left(49^\circ\right)\approx1{,}15$ ab.
Man erhält $k'(4)\approx1{,}15$ .
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Berechne für den gegebenen Graphen die Steigung $k^\prime(4)$ .
Es ist bekannt, dass es sich bei dem Graphen um einen Viertelkreis handelt.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Steigungswinkel
Ergänze den Kreisbogen zu einem Kreissektor mit Mittelpunkt $M$ und dem Mittelpunktswinkel 90° ("Viertelkreis"!).
Der Kreisbogen hat den Mittelpunkt $M(2\vert1)$ und den Radius $4\;LE$ .
Jeder Punkt $A(x\vert y)$ des Kreises hat vom Mittelpunkt $M$ den Abstand $4\;LE$ . Verwende den Satz des Pythagoras für das rechtwinklige Dreieck mit den Seiten $4\;LE$ , $(y-1)$ und $(x-2)$ .
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcll} (y-1)^2+(x-2)^2 &=& 16 &|-(x-2)^2 \\(y-1)^2 &=& 16-(x-2)^2 &|\sqrt{} \\y-1 &=& \pm \sqrt{16-(x-2)^2} &|+1 \\y &=& \sqrt{16-(x-2)^2}+1 \end{array}$
Wähle die positive Wurzel, da y > 1.
Damit hast du den Funktionsterm des graphisch gegebenen Viertelkreises berechnet. Der Definitionsbereich des Viertelskreises beginnt bei $x=2$ und reicht bis $x=6$ .
Also gilt:
Ableitung der Funktion $\text{k}$ mit der Kettenregel
$k(x)=\sqrt{16- (x-2)^2} + 1$
Quadriere unter der Wurze und fasse zusammen.
$k(x)=\sqrt{-x^2 + 4x +12} + 1$
Zerlege $k(x)$ in die Form $u(v(x))$
innere Funktion:
$v(x)=-x^2 + 4x + 12$
äußere Funktion:
$u(x) = \sqrt{x} + 1$
Bilde die Ableitungen $u^\prime(x)$ und $v^\prime(x)$
$\displaystyle u^\prime(x) =\frac {1}{2\cdot \sqrt{x}}$
$v^\prime(x)= -2x + 4$
Setzte $v(x)$ in $u'(x)$ ein.
$\displaystyle u^\prime(v(x)) = \frac {1}{2 \cdot \sqrt{-x^2 + 4x + 12}}$
Benutze die Formel für die Kettenregel.
$k^\prime(x) = u^\prime(v(x))\cdot v^\prime(x)$
$\displaystyle k^\prime(x) = \frac {1} {2 \cdot \sqrt {-x^2 + 4x + 12}} \cdot (-2x + 4)$
Kürze mit 2, damit es übersichtlicher wird:
$\displaystyle k^\prime(x) = \frac{2 - x}{ \sqrt {-x^2 + 4x + 12}}$
$k^\prime(4)$ liefert die gesuchte Steigung im Punkt P des Graphen.
$\displaystyle k^\prime(4) = \frac {-2} {\sqrt{-16 + 16 + 12}}$ = $\displaystyle \frac {-2}{\sqrt{12}}$ = $\displaystyle - \frac {2}{2 \cdot \sqrt{3}}$ = $\displaystyle - \frac {1}{ \sqrt {3}}$ $\approx -0{,}58$
Ergänzung:
Der Neigungswinkel der Tangente im Punkt P ist demnach rund 150°.
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