Aufgaben zu Steigung und Differenzierbarkeit anhand des Graphen

Hier findest du Aufgaben zur Stetigkeit und Differenzierbarkeit. Lerne, anhand des Graphen Fragen zu beantworten und vertiefe dein Wissen!

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Steigungen schätzen
1. Welche der drei Aussagen über die gezeichnete Funktion f stimmt?
  $f^{'} (2) < 1$
  $f^{'} (2) > 1$
  $f^{'} (2) = 0$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Neigungswinkel
  Tipp: Schätze den Neigungswinkel der Tangente im betreffenden Punkt des Graphen. Wenn du willst darfst du den Tangens des geschätzten Winkels am Taschenrechner ablesen, um die Frage zu beantworten.
  Gerne können Sie Ihre Lösung mit uns teilen.
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2. Welche Aussage über einen Ableitungswert der gezeichneten Funktion f stimmt?
  $f^{'} (4,9) > 2$
  $f^{'} (4,9) < 2$
  $f^{'} (4,9) = 1$
3. Welche der Aussagen über den Steigungswert $f^{'} (0)$ der gezeichneten Funktion f stimmt?
  $- 1 < f^{'} (0) < 0$
  $f^{'} (0) > 0$
  $f^{'} (0) < - 1$
4. Welche der Aussagen über den Ableitungswert $f^{'} (- 2,9)$ stimmen?
  $f^{'} (- 2,9) < - 2,9$
  $f^{'} (- 2,9) > 2$
  $f^{'} (- 2,9) > - 1$
5. Welche der drei Aussagen über die gezeichnete Funktion f stimmt?
  $f^{'} (- 0,5) > 1$
  $f^{'} (- 0,5) < - 1$
  $f^{'} (- 0,5) < 1$
6. Welche der Aussagen bezüglich der gezeichneten Funktion f stimmt?
  $f^{'} (4) > - 1$
  $f^{'} (4) = - 1$
  $f^{'} (4) < - 1$
7. Welche der drei Aussagen über den Stegungswert $f^{'} (6,9)$ stimmt?
  $f^{'} (6,9) < - 1$
  $0 < f^{'} (6,9) < 1$
  $f^{'} (6,9) > 1$
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Vom Schätzen zum Konstruieren und Berechnen von Steigungen
Wie man die Steigung einer Funktion in einem bestimmten Punkt ermittelt, hängt davon ab, welche Informationen man über die Funktion hat. Man kann Steigungen schätzen, unter Umständen konstruieren, vor allem aber auch berechnen. Wenn man eine Steigung berechnet, dann sagt man, man hat die Funktion "differenziert".
1. Von der Funktion $f$ ist lediglich der Graph gegeben. Schätze die Steigung im Punkt P(3|f(3)).
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Steigugswinkel
  Lösungsschritte:
  Lege gefühlmäßig die Tangente t in P an den Graphen von $f$ .
  Schätze den Neigungswinkel der linksgeneigten Tangente.
  Ein guter Schätzwert ist 130°.
  Lies vom Taschenrechner den Wert $\tan (130^{\circ})$ ab.
  Es ergibt sich $f^{'} (3) \approx - 1,2$ .
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2. Von der Funktion $k$ ist bekannt, dass es sich um eine Halbkreislinie handelt. Konstruiere die Tangente im Punkt $P (4 | k (4))$ und bestimme so den Steigungswert der Funktion k im Punkt $P$ .
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Steigungswinkel
  Lösungsschritte:
  Dem Halbkreis entnimmt man den Mittelpunkt $M (1 | 5)$ .
  Verbinde den Mittelpunkt M mit dem Punkt P.
  Errichte in P - zum Beispiel mit dem Geodreieck - das [Lot]() auf die Gerade $M P$ ./1891
  Dieses Lot ist die gesuchte Tangente.(Du kannst das Lot auch ohne Geodreieck mit Zirkel und Lineal konstruieren.)
  Mit dem Winkelmesser liest du den Neigungswinkel von rund 49° ab.
  Lies vom Taschenrechner $\tan (49^{\circ}) \approx 1,15$ ab.
  Man erhält $k^{'} (4) \approx 1,15$ .
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3. Berechne für den gegebenen Graphen die Steigung $k^{'} (4)$ .
  Es ist bekannt, dass es sich bei dem Graphen um einen Viertelkreis handelt.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Steigungswinkel
  Ergänze den Kreisbogen zu einem Kreissektor mit Mittelpunkt $M$ und dem Mittelpunktswinkel 90° ("Viertelkreis"!).
  Der Kreisbogen hat den Mittelpunkt $M (2 | 1)$ und den Radius $4 L E$ .
  Jeder Punkt $A (x | y)$ des Kreises hat vom Mittelpunkt $M$ den Abstand $4 L E$ . Verwende den Satz des Pythagoras für das rechtwinklige Dreieck mit den Seiten $4 L E$ , $(y - 1)$ und $(x - 2)$ .
  $\begin{array}{rcll} (y - 1)^{2} + (x - 2)^{2} & = & 16 & | - (x - 2)^{2} \\ (y - 1)^{2} & = & 16 - (x - 2)^{2} & | \sqrt{} \\ y - 1 & = & \pm \sqrt{16 - (x - 2)^{2}} & | + 1 \\ y & = & \sqrt{16 - (x - 2)^{2}} + 1 \end{array}$
  Wähle die positive Wurzel, da y > 1.
  Damit hast du den Funktionsterm des graphisch gegebenen Viertelkreises berechnet. Der Definitionsbereich des Viertelskreises beginnt bei $x = 2$ und reicht bis $x = 6$ .
  Also gilt:
  $k : x \mapsto \sqrt{16 - (x - 2)^{2}} + 1 mit 𝔻_{𝕜} = [- 2; + 6]$
  Ableitung der Funktion $k$ mit der Kettenregel
  $k (x) = \sqrt{16 - (x - 2)^{2}} + 1$
  Quadriere unter der Wurze und fasse zusammen.
  $k (x) = \sqrt{- x^{2} + 4 x + 12} + 1$
  Zerlege $k (x)$ in die Form $u (v (x))$
  innere Funktion:
  $v (x) = - x^{2} + 4 x + 12$
  äußere Funktion:
  $u (x) = \sqrt{x} + 1$
  Bilde die Ableitungen $u^{'} (x)$ und $v^{'} (x)$
  $u^{'} (x) = \frac{1}{2 \cdot \sqrt{x}}$
  $v^{'} (x) = - 2 x + 4$
  Setzte $v (x)$ in $u^{'} (x)$ ein.
  $u^{'} (v (x)) = \frac{1}{2 \cdot \sqrt{- x^{2} + 4 x + 12}}$
  Benutze die Formel für die Kettenregel.
  $k^{'} (x) = u^{'} (v (x)) \cdot v^{'} (x)$
  $k^{'} (x) = \frac{1}{2 \cdot \sqrt{- x^{2} + 4 x + 12}} \cdot (- 2 x + 4)$
  Kürze mit 2, damit es übersichtlicher wird:
  $k^{'} (x) = \frac{2 - x}{\sqrt{- x^{2} + 4 x + 12}}$
  $ k^{'} (4)$ liefert die gesuchte Steigung im Punkt P des Graphen.
  $k^{'} (4) = \frac{- 2}{\sqrt{- 16 + 16 + 12}}$ = $\frac{- 2}{\sqrt{12}}$ = $- \frac{2}{2 \cdot \sqrt{3}}$ = $- \frac{1}{\sqrt{3}}$ $\approx - 0,58$
  Ergänzung:
  Der Neigungswinkel der Tangente im Punkt P ist demnach rund 150°.
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3
Betrachte den gegebenen Graphen der Funktion $f$ und entscheide, welche der nachfolgenden Aussagen über die Differenzierbarkeit von $f$ zutrifft.
$f$ ist im Punkt $P (x_{0} | f (x_{0}))$ nicht differenzierbar, weil gilt:
$\underset{x \to x_{0^{-}}}{l} f^{'} (x) = 3 u n d \underset{x \to x_{0^{+}}}{l} f^{'} (x) = - 0,2$
$f$ ist im Punkt $P (x_{0} | f (x_{0}))$ nicht differenzierbar, weil gilt:
$\underset{x \to x_{0^{-}}}{l} f^{'} (x) = - 0,2 u n d \underset{x \to x_{0^{+}}}{l} f^{'} (x) = 3.$
$f$ ist im Punkt $P (x_{0} | f (x_{0}))$ nicht differenzierbar, weil git:
$\underset{x \to x_{0^{-}}}{l} f^{'} (x) = 1 u n d \underset{x \to x_{0^{+}}}{l} f^{'} (x) = - 1.$
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Achtung Fallen!
Unterscheide bei Funktionswertbetrachtungen eine Angabe $x = 0$ von $x_{0}$ und für Grenzwertberechnungen die Angabe $x \to 0$ von $x \to x_{0}$ .
(Nicht nur Anfänger fallen darauf ein.)
1. Lies aus dem gegebenen Graphen der Funktion $f$ so weit möglich folgende Werte ab:
  $f (0)$
  $f (x_{0})$
  $f^{'} (0)$
  $f^{'} (x_{0})$
  
  $f (0)$ muss aus dem Graphen geschätzt werden.
  $f (0) \approx - 0,4$
  Eine waagrechte Tangente für $x = 0$ scheint gut zu passen.
  $f^{'} (0) = 0$
  $f (x_{0})$ muss aus dem Graphen geschätzt werden.
  $f (x_{0}) \approx 2,4$
  Die linksseitge Tangente und die rechtsseitge Tangente sind für $x_{0}$ verschieden. f ist für $x_{0}$ nicht differenzierbar.
  $f^{'} (x_{0})$ existiert nicht.
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2. Lies aus dem gegebenen Graphen der Funktion $f$ folgende Werte ab:
  $f (1)$
  $f^{'} (1)$
  $f (x_{1})$
  $f^{'} (x_{1})$
  
  x = 1 ist eine Nullstelle.
  $f (1) = 0$
  Für $x = 1$ existiert eine eindeutig bestimmbare Tangente. Ein guter Schätzwert für den Neigungswinkel der Tangente ist 42°. Den Tangens von 42° ergibt der Taschenrechner.
  $f^{'} (1) \approx 0,9$
  Der Funktionswert für $x_{1}$ muss aus dem Graphen geschätzt werden.
  $f (x_{1}) \approx 2,3$
  Für den Punkt $(x_{1} | f (x_{1}))$ existiert eine eindeutig bestimmbare Tangente mit flacher negativer Steigung. Ein Schätzwert für den Neigungswinkel der Tangente ist 175°. Den Tangens von 175° ergibt der Taschenrechner.
  $f^{'} (x_{1}) \approx - 0,1$
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Entscheide, welche Feststellung auf die gezeichnete Funktion $f$ zutrifft.
f ist für $x_{0}$ nicht differenzierbar, weil nicht stetig.
f ist für $x_{0}$ differenzierbar, weil gilt:
$\underset{x \to x_{0^{-}}}{l} f^{'} (x) = \underset{x \to x_{0^{+}}}{l} f^{'} (x)$
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Graphisches Differenzieren
1. Graphisches Differenzieren einer linearen Funktion
  Die lineare Funktion $f$ soll graphisch differenziert werden.
  Betrachte die gegebenen Graphen und entscheide, was zutrifft.
  $f^{'} = h$
  $f^{'} = g$
  Weder $h$ noch $g$ ist die Ableitungsfunktion von $f$ .
2. Graphisches Differenzieren einer ganzrationalen Funktion 2. Grades
  Die quadratische Funktion p soll graphisch differenziert werden.
  Entscheide, welche der beiden Funktionen $g$ oder $f$ die Ableitungsfunktion von p ist.
  $p^{'} = f$
  $p^{'} = g$
3. Graphisches Differenzieren einer ganzrationalen Funktion höheren Grades
  Fertige durch graphisches Differenzieren eine Skizze der Ableitungsfunktion der nachfolgenden ganzrationalen Funktion 4. Grades.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Graphen ganzrationaler Funktionen
  Lösungsschritte:
  x(A), x(C) und x(E) liefern die einzigen (!) Nullstellen von f'.
  Links von A sind die Tangenten von f linksgeneigt. Also gilt: $x \to - \infty \Rightarrow f^{'} (x) \to - \infty$
  B ist Wendepunkt von f und liefert mit seiner Tangentenneigung (Schätzwert 76°) das lokale Maximum von f' mit $\approx 4,2$ .
  Auch D ist Wendepunkt von f und liefert mit seiner Tangentenneigung (Schätzwert 115°) das lokale Minimum von f' mit $\approx - 2,1$
  Zwischen den Wendepunkten B und D ist f' fallend.
  Rechts von E sind die Tangenten von f zunehmend rechtsgeneigt. Also gilt: $x \to + \infty \Rightarrow f^{'} (x) \to + \infty$ .
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4. Graphisches Differenzieren der e-Funktion
  Die e-Funktion $x \mapsto e^{x}, D = ℝ,$ ist für viele Anwendungsgebiete der Mathematik eine der wichtigsten Funktionen.
  Graphisch gesehen ist sie aber eher eine besonders "langweilige" Funktion: ohne Nullstellen, ohne lokale Extrema und ohne Wendepunkte - einfach nur steigend.
  Welche überraschende Besonderheit der e-Funktion entdeckst du aber, wenn du dich um eine möglichst genaue Skizze beim graphischen Differenzieren der e-Funktion bemühst?
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: e-Funktion
  Allgemeine Aussagen über die Ableitungsfunktion $e^{'}$
  Begründung
  $e^{'} (x) \neq 0$ . D.h. $e^{'}$ hat keine Nullstelle.
  Der Graph von $e$ hat keine waagrechte Tangente.
  $e^{'} (x) > 0$ . D.h. $e^{'}$ hat nur positive Funktionswerte.
  Alle Tangenten von $e$ sind rechtsgeneigt. D.h. sie haben positive Steigung.
  $e^{'}$ ist eine steigende Funktion.
  Die Tangentenneigungen von $e$ nehmen mit wachsendem x-Wert zu.
  Durchführung des graphischen Differenzierens
  Lösungsschritte zum graphischen Differenzieren der $e$ -Funktion
  Wähle einen beliebigen Punkt $P (x_{0} | e (x_{0}))$ auf dem Graphen von $e$ .
  Lege in $P$ "gefühlsmäßig" die Tangente an den Graphen von $e$ .
  Schätze den Neigungswinkel $α$ der Tangente.
  Lies am Taschenrechner $\tan (α) = e^{'} (x_{0})$ ab.
  Trage den Punkt $P^{'} (x_{0} | e^{'} (x_{0}))$ ein.
  Wenn du gut geschätzt hast, sollten $P$ und $P^{'}$ zusammenfallen, da im Idealfall gilt: $\tan (α) = e^{'} (x_{0}) = e (x_{0})$ .
  Überprüfe das Ergebnis aus den Schritten 1-6 an weiteren Punkten. Zum Beispiel an den Punkten A, B und C.
  Endergebnis:
  Die $e$ -Funktion stimmt mit ihrer Ableitungsfunktion $e^{'}$ überein. Die Graphen beider Funktionen fallen zusammen.
  Klicke im anschließenden Applet auf den Punkt P der $e$ -Funktion und verschiebe ihn. Überzeuge dich, dass für jeden Punkt P gilt $e (x (P)) = e^{'} (x (P))$ .
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5. Graphisches Differenzieren einer abschnittsweise definierten Funktion
  Die folgende Funktion ist graphisch zu differenzieren.
  Klicke die richtige Lösung an!
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Differenzieren von Parabeln
  Die Funktion $f$ setzt sich aus zwei verschobenen, nach unten geöffneten Normalparabeln zusammen. Ihre Ableitung besteht demnach aus zwei zueinander parallelen Strecken mit der Steigung -2 und den Nullstellen $x = 2$ und $x = 5$ .
  $f$ ist an jeder Stelle stetig, an der Stelle $x = 3$ aber nicht differenzierbar, da dort linksseitige und rechtsseitige Steigung nicht übereinstimmen.
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