Aufgaben zu Steigung und Differenzierbarkeit anhand des Graphen

Aufgaben

Steigungen schätzen

Kommentieren
Welche der drei Aussagen über die gezeichnete Funktion f stimmt?
f′(2)<1f'(2)<1
f′(2)>1f'(2)>1
f′(2)=0f'(2)=0

Welche Aussage über einen Ableitungswert der gezeichneten Funktion f stimmt?

Leider falsch. Die Tangente an den Graphen für x = 4,9 verläuft sehr steil, mit einem geschätzten Neigungswinkel von 89°. Der Tangens eines solchen Winkels ist aber sehr groß.

Du musst Grundsätzliches zum Thema Ableitung und Steigung wiederholen. Ein Ableitungswert 1 verlangt eine Tangente, die den Neigungswinkel 45° zur x-Achse besitzt.

Prima! Die Tangente an den Graphen verläuft für x = 4,9 sehr steil. Der Tangens eines zu schätzenden Winkels von fast schon 90° ist sehr viel größer als 2.

Welche der Aussagen über den Steigungswert %%f'(0)%% der gezeichneten Funktion f stimmt?

Eine linksgeneigte und "flache" Tangente ([Neigungswinkel]() > 135°) besitzt einen negativen echten Bruch als Steigungswert. Wähle nochmal.

Leider falsch. Die Tangente an die Kurve ist für x = 0 linksgeneigt, so dass ein positiver Ableitungswert nicht in Frage kommt.

Richtig. Die Tangente ist linksgeneigt (Neigungswinkel %%>135^\circ%%) und verläuft somit flacher als die Winkelhalbierende des 2. Quadranten. Somit ist ihre Steigung negativ mit einem Betrag kleiner als 1.

Welche der Aussagen über den Ableitungswert %%f'(-2,9)%% stimmen?

Du erkennst zwar eine linksgeneigte Tangente. Allerdings müsste sie flacher verlaufen als die Winkelhalbierende des 2. Quadranten (Steigung -1). Wähle also nochmal.

Du warst unaufmerksam. Wähle nochmal.

Prima! Eine steile und linksgeneigte Tangente hat eine kleine negative Steigung.

Welche der drei Aussagen über die gezeichnete Funktion f stimmt?

Auch eine grobe Schätzung ergibt, dass die Tangente rechtsgeneigt ist. Die Steigung der Funktion f muss für x = -0,5 also positiv sein. Wähle nochmal.

Du hast keinen groben Fehler gemacht. Wenn du aber den Graphen noch etwas genauer untersuchst, spürst du sicher, dass der Kurvenpunkt, in dem die Steigung 1 ist, rechts von der y-Achse liegt (bei x %%\approx%% 0,2). Wähle also nochmal.

Richtig entschieden! Auch wenn man schon genau hinsehen muss: Die Tangente für x = -0,5 verläuft etwas steiler als die Winkelhalbierende y = x des 3. und 1. Quadranten. Und diese hat die Steigung 1.

Welche der Aussagen bezüglich der gezeichneten Funktion f stimmt?

Wahrscheinlich hast du richtig erkannt, dass die Tangente linksgeneigt ist und "flach" verläuft. Du bist aber mit negativen Steigungswerten noch nicht voll vertraut: Kleinere Steigungswerte als -1 (-2; -3; -4; . . . ) ergeben "steile" linksgeneigte Tangenten. Größere negative Steigungswerte als -1 (-0,9; -0,8; -0,6; . . .) ergeben "flachere" linksgeneigte Tangenten. Wähle nochmal.

Du hast möglicherweise noch keine gutes Gespür dafür, wie eine "Tangente" zum Graphen liegt. Die Tangente mit der Steigung -1 erhältst du für x %%\approx%%5,8. Die Tangente für x = 4 ist linksgeneigt und verläuft "flach". Wähle nochmal.

Prima. Wenn du nicht nur geraten hast, bist du mit Steigungswerten bei Funktionsgraphen gut vertraut.

Welche der drei Aussagen über den Stegungswert %%f'(6,9)%% stimmt?

Falsch. Die Tangente ist linksgeneigt. Die Steigung deshalb negativ.

Falsch. Die Tangente ist linksgeneigt. Die Steigung deshalb negativ.

Richtig entschieden. Die Tangente ist linksgeneigt und verläuft sehr steil. Der genaue Steigungswert - den du natürlich ohne Kenntnis der Funktionsgleichung nicht erfassen kannst - ist rund -4,39 und der Steigungswinkel deshalb etwa 103°.

Vom Schätzen zum Konstruieren und Berechnen von Steigungen
Wie man die Steigung einer Funktion in einem bestimmten Punkt ermittelt, hängt davon ab, welche Informationen man über die Funktion hat. Man kann Steigungen schätzen, unter Umständen konstruieren, vor allem aber auch berechnen. Wenn man eine Steigung berechnet, dann sagt man, man hat die Funktion "differenziert".
Kommentieren
Von der Funktion kk ist bekannt, dass es sich um eine Halbkreislinie handelt. Konstruiere die Tangente im Punkt P(4∣k(4))P(4|k(4)) und bestimme so den Steigungswert der Funktion k im Punkt PP.
Hinweis
Für manche Funktionen, aber längst nicht für alle, kann man die Tangente in einem bestimmten Punkt geometrisch konstruieren. Dies gilt z.B. für Kreislinien, Parabeln oder Spiralen.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Steigungswinkel

Lösungsschritte:
  1. Dem Halbkreis entnimmt man den Mittelpunkt M(1∣5)M(1\vert5).
  2. Verbinde den Mittelpunkt M mit dem Punkt P.
  3. Errichte in P - zum Beispiel mit dem Geodreieck - das [Lot]() auf die Gerade MPMP./1891
  4. Dieses Lot ist die gesuchte Tangente.(Du kannst das Lot auch ohne Geodreieck mit Zirkel und Lineal konstruieren.)
  5. Mit dem Winkelmesser liest du den Neigungswinkel von rund 49° ab.
  6. Lies vom Taschenrechner tan⁡(49∘)≈1,15\tan\left(49^\circ\right)\approx1,15 ab.
  7. Man erhält k′(4)≈1,15k'(4)\approx1,15.
Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0. Information
Berechne für den gegebenen Graphen die Steigung k′(4)k^\prime(4).
Es ist bekannt, dass es sich bei dem Graphen um einen Viertelkreis handelt.
Hinweis
Bestimme zunächst den Mittelpunkt und den Radius des Kreises. Anschließend den Definitionsbereich und die Funktionsgleichung der Funktion k. Zum Differenzieren der Funktionsgleichung benötigst du die Kettenregel.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Steigungswinkel

Ergänze den Kreisbogen zu einem Kreissektor mit Mittelpunkt MM und dem Mittelpunktswinkel 90° ("Viertelkreis"!).
Der Kreisbogen hat den Mittelpunkt M(2∣1)M(2\vert1) und den Radius 4  LE4\;LE.
Jeder Punkt A(x∣y)A(x\vert y) des Kreises hat vom Mittelpunkt MM den Abstand 4  LE4\;LE. Verwende den Satz des Pythagoras für das rechtwinklige Dreieck mit den Seiten 4  LE4\;LE, (y−1)(y-1) und (x−2)(x-2).
(y−1)2+(x−2)2=16∣−(x−2)2(y−1)2=16−(x−2)2∣y−1=±16−(x−2)2∣+1y=16−(x−2)2+1\begin{array}{rcll} (y-1)^2+(x-2)^2 &=& 16 &|-(x-2)^2 \\(y-1)^2 &=& 16-(x-2)^2 &|\sqrt{} \\y-1 &=& \pm \sqrt{16-(x-2)^2} &|+1 \\y &=& \sqrt{16-(x-2)^2}+1 \end{array}
Wähle die positive Wurzel, da y > 1.
Damit hast du den Funktionsterm des graphisch gegebenen Viertelkreises berechnet. Der Definitionsbereich des Viertelskreises beginnt bei x=2x=2 und reicht bis x=6x=6.
Also gilt:
k:x↦16−(x−2)2+1 mit Dk=[−2;+6]\displaystyle \text{k}: x \mapsto\sqrt{16-(x - 2)^2} +1 \text { mit } \mathbb{D_k} = \left[-2;+6\right]
Ableitung der Funktion k\text{k} mit der Kettenregel
k(x)=16−(x−2)2+1k(x)=\sqrt{16- (x-2)^2} + 1
Quadriere unter der Wurze und fasse zusammen.
k(x)=−x2+4x+12+1k(x)=\sqrt{-x^2 + 4x +12} + 1
Zerlege k(x)k(x) in die Form u(v(x))u(v(x))
innere Funktion:
v(x)=−x2+4x+12v(x)=-x^2 + 4x + 12
äußere Funktion:
u(x)=x+1u(x) = \sqrt{x} + 1
Bilde die Ableitungen u′(x)u^\prime(x) und v′(x)v^\prime(x)
u′(x)=12⋅x\displaystyle u^\prime(x) =\frac {1}{2\cdot \sqrt{x}}
v′(x)=−2x+4v^\prime(x)= -2x + 4
Setzte v(x)v(x) in u′(x)u'(x) ein.
u′(v(x))=12⋅−x2+4x+12\displaystyle u^\prime(v(x)) = \frac {1}{2 \cdot \sqrt{-x^2 + 4x + 12}}
Benutze die Formel für die Kettenregel.
k′(x)=u′(v(x))⋅v′(x)k^\prime(x) = u^\prime(v(x))\cdot v^\prime(x)
k′(x)=12⋅−x2+4x+12⋅(−2x+4)\displaystyle k^\prime(x) = \frac {1} {2 \cdot \sqrt {-x^2 + 4x + 12}} \cdot (-2x + 4)
Kürze mit 2, damit es übersichtlicher wird:
k′(x)=2−x−x2+4x+12\displaystyle k^\prime(x) = \frac{2 - x}{ \sqrt {-x^2 + 4x + 12}}
k′(4)k^\prime(4) liefert die gesuchte Steigung im Punkt P des Graphen.
k′(4)=−2−16+16+12\displaystyle k^\prime(4) = \frac {-2} {\sqrt{-16 + 16 + 12}} =−212\displaystyle \frac {-2}{\sqrt{12}} = −22⋅3\displaystyle - \frac {2}{2 \cdot \sqrt{3}} = −13\displaystyle - \frac {1}{ \sqrt {3}} ≈−0,58\approx -0,58
Ergänzung:
Der Neigungswinkel der Tangente im Punkt P ist demnach rund 150°.
Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0. Information
Betrachte den gegebenen Graphen der Funktion ff und entscheide, welche der nachfolgenden Aussagen über die Differenzierbarkeit von ff zutrifft.
ff ist im Punkt P(x0∣f(x0))P(x_0\vert f(x_0)) nicht differenzierbar, weil gilt:
limx→x0−f′(x)=3    und  limx→x0+f′(x)=−0,2\displaystyle \underset{x\rightarrow x_{0^-}}{lim}f'(x)=3\;\;und\;\underset{x\rightarrow x_{0^+}}{lim}f'(x)=-0,2
ff ist im Punkt P(x0∣f(x0))P(x_0\vert f(x_0)) nicht differenzierbar, weil gilt:
limx→x0−f′(x)=−0,2    und    limx→x0+f′(x)=3.\displaystyle \underset{x\rightarrow x_{0^-}}{lim}f'(x)=-0,2\;\;und\;\;\underset{x\rightarrow x_{0^+}}{lim}f'(x)=3.
ff ist im Punkt P(x0∣f(x0))P(x_0\left|f(x_0))\right. nicht differenzierbar, weil git:
limx→x0−f′(x)=1    und    limx→x0+f′(x)=−1.\displaystyle \underset{x\rightarrow x_{0^-}}{lim}f'(x)=1\;\;und\;\;\underset{x\rightarrow x_{0^+}}{lim}f'(x)=-1.

Achtung Fallen

Unterscheide bei Funktionswertbetrachtungen eine Angabe %%x = 0%% von %%x_0%% und für Grenzwertberechnungen die Angabe %%x\rightarrow0%% von %%x\rightarrow x_0%%.

Nicht nur Anfänger fallen darauf ein.

Hinweis

%%x_0%% (gelesen: "x Null") bezeichnet einen beliebig ausgewählten Wert aus dem Definitionsbereich einer Funktion. Dieser muss nicht die Zahl 0 sein. Im Gegensatz zur Angabe %%x=0%% (gelesen: " x gleich Null").

Kommentieren

Lies aus dem gegebenen Graphen der Funktion %%f%% so weit möglich folgende Werte ab:

  1. %%f(0)%%

  2. %%f(x_0)%%

  3. %%f'(0)%%

  4. %%f'(x_0)%%

f(0) muss aus dem Graphen geschätzt werden.

%%f(0)\approx-0,4%%

Eine waagrechte Tangente für %%x=0%% scheint gut zu passen.

%%f'(0)=0%%

%%f(x_0)%% muss aus dem Graphen geschätzt werden.

%%f(x_0)\approx2,4%%

Die linksseitge Tangente und die rechtsseitge Tangente sind für %%x_0%% verschieden. f ist für %%x_0%% nicht differenzierbar.

%%f'(x_0)%% existiert nicht.

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0. Information

Lies aus dem gegebenen Graphen der Funktion f folgende Werte ab:

  1. %%f(1)%%

  2. %%f'(1)%%

  3. %%f(x_1)%%

  4. $$f'(x_1)$$

x = 1 ist eine Nullstelle.

%%f(1)=0%%

Für %%x=1%% existiert eine eindeutig bestimmbare Tangente. Ein guter Schätzwert für den Neigungswinkel der Tangente ist 42°. Den Tangens von 42° ergibt der Taschenrechner.

%%f'(1)\approx0,9%%

Der Funktionswert für %%x_1%% muss aus dem Graphen geschätzt werden.

%%f(x_1)\approx2,3%%

Für den Punkt %%(x_1\left|f(x_1))\right.%% existiert eine eindeutig bestimmbare Tangente mit flacher negativer Steigung. Ein Schätzwert für den Neigungswinkel der Tangente ist 175°. Den Tangens von 175° ergibt der Taschenrechner.

%%f'(x_1)\approx-0,1%%

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0. Information
Entscheide, welche Feststellung auf die gezeichnete Funktion ff zutrifft.
f ist für x0x_0 nicht differenzierbar, weil nicht stetig.
f ist für x0x_0 differenzierbar, weil gilt:
limx→x0−f′(x)=limx→x0+f′(x)\displaystyle \underset{x\rightarrow x_{0^-}}{lim}f'(x)=\underset{x\rightarrow x_{0^+}}{lim}f'(x)

Graphisches Differenzieren

Hinweis

Schätzt man nicht nur für einzelne Punkte des Graphen %%G_f%% einer differenzierbaren Funktion %%f%% die Steigungswerte %%f'%%, sondern für jeden Wert %%x%% des Definitionsbereichs, so bildet die Funktion %%x\mapsto f'(x)%% die Ableitungsfunktion %%f'%% von %%f%% und man sagt, %%f%% wurde graphisch differenziert.

Beispiel:

Arbeitsschritte zum graphischen Differenzieren:

  1. Schätze den Neigungswinkel einer Tangente. Z.B. in %%P(-2\vert f(-2)).%%
  2. Ergebnis hier: %%\alpha\approx130^\circ%%
  3. Vom Taschenrechner ablesen: %%\tan\left(\alpha\right)=f'(-2)\approx-1,2%%
  4. %%P'(-2\vert f'(-2))%% im Koordinatensystem einzeichnen.
  5. Arbeitsschritte 1-4 für beliebige weitere Punkte wiederholen.
  6. Kontrollen beachten: Punkte von %%f%% mit waagrechter Tangente ergeben für %%f'%% Nullstellen. Für Bereiche, in denen %%f%% fallend ist, sind die Funktionswerte von %%f'%% negativ. Für Bereiche, in denen %%f%% steigend ist, liegt der Graph von %%f'%% oberhalb der x-Achse.
Kommentieren

Graphisches Differenzieren einer linearen Funktion

Die lineare Funktion %%f%% soll graphisch differenziert werden.

Betrachte die gegebenen Graphen und entscheide, was zutrifft.

Du liegst falsch. Einer der beiden Graphen %%G_h%% bzw. %%G_g%% passt. Die Ableitungsfunktion einer jeden linearen Funktion ist eine konstante Funktion. Finde heraus, welche Steigung die Funktion %%f%% besitzt.

Du hast recht, wenn du überlegt hast, dass die Ableitungsfunktion einer linearen Funktion eine konstante Funktion ist. Allerdings musst du nochmal genau hinsehen und richtig erkennen, welche Steigung die Funktion f hat.

Die Steigung einer linearen Funktion ist in jedem Punkt gleich groß. Man kann dies auch so ausdrücken: In jedem Punkt der Funktion ist der Graph der Funktion seine eigene Tangente. Die Ableitungsfunktion einer linearen Funktion ist also eine konstante Funktion. Hier ist die Steigung von f gleich -1. Also gilt %%f'(x)=-1=g(x)%%. Prima, wenn du dies auch so erkannt hast.

Graphisches Differenzieren einer ganzrationalen Funktion 2. Grades

Die quadratische Funktion p soll graphisch differenziert werden.

Entscheide, welche der beiden Funktionen %%g%% oder %%f%% die Ableitungsfunktion von p ist.

Den Scheitelpunkt (2|3) hast du zwar richtig abgelesen und mit seiner Steigung 0 richtig eingeschätzt. In welchem Bereich aber ist die Parabel steigend, d.h. wo sind die Tangenten rechtsgeneigt, wo also sind die Funktionswete der Ableitungsfunktion positiv?

Rechnerisches Differenzieren ergibt, dass jede quadratische Funktion %%x\mapsto ax^2+bx+c%% die lineare Funktion %%x\mapsto2ax+b%% als Ableitungsfunktion besitzt. Wenn man dies weiß, genügt es zwei Punkte von %%p%% graphisch zu differenzieren. Man benutzt natürlich den ablesbaren Scheitelpunkt (2|3) und als guten Schätzwert den Punkt (0|2) in dem man eine Tangente mit dem Neigungswinkel 45°, also %%p'(0)=1%% schätzt. Prima, wenn du so überlegt hast.

Graphisches Differenzieren einer ganzrationalen Funktion höheren Grades

Hinweise

Jede ganzrationale Funktion n-ten Grades mit dem [Definitionsbereich]() %%\mathbb{R}%% ist an allen Stellen differenzierbar. Der Graph ist eine zusammenhängende Linie mit einem formmäßig ansprechenden Steigungs- und Krümmungsverhalten. Eine ganzrationale Funktion n-ten Grades hat höchstens n Nullstellen, höchstens n-1 Extremwertstellen und höchstens n-2 Wendepunkte. Diese Sonderstellen bestimmen den graphischen Verlauf. Die Ableitungsfunktion einer ganzrationalen Funktion n-ten Grades ist ebenfalls eine ganzrationale Funktion. Mit dem niederen Grad n-1. Die angenehmen graphischen Eigenschaften einer ganzrationalen Funktion übertragen sich in passender Weise auf ihre Ableitungsfunktion.

Beispiel:

Arbeitsschritte zum Anfertigen einer Skizze des Ableitungsgraphen:

  1. Die Hoch- und Tiefpunkte von f bestimmen (waagrechte Tangenten!) die Nullstellen der Ableitungsfunktion.
  2. Die Wendepukte von f bestimmen die Hoch- und Tiefpunkte der Ableitungsfunktion.
  3. Zwischen zwei Wendepunkten von f ist die Ableitungsfunktion entweder steigend oder fallend.
  4. Punkte von f mit rechtsgeneigten Tangenten ergeben positive y-Werte bei f'. Linksgeneigte Tangenten negative y-Werte bei f'.
  5. Für %%\left|x\right|\rightarrow\infty\;%% gilt %%\left|f'(x)\right|\rightarrow\infty%%

Da bei Aufgaben zum graphischen Differenzieren der Funktionsterm von f in der Regel nicht bekannt ist, kann (über das Schätzen der Tangentenneigungen) die Ableitungsfunktion immer nur als mehr oder weniger genaue Skizze graphisch gezeichnet werden.

Fertige durch graphisches Differenzieren eine Skizze der Ableitungsfunktion der nachfolgenden ganzrationalen Funktion 4. Grades.

Graphen ganzrationaler Funktionen

Lösungsschritte:

  1. x(A), x(C) und x(E) liefern die einzigen (!) Nullstellen von f'.
  2. Links von A sind die Tangenten von f linksgeneigt. Also gilt: %%x\rightarrow-\infty\Rightarrow f'(x)\rightarrow-\infty%%
  3. B ist Wendepunkt von f und liefert mit seiner Tangentenneigung (Schätzwert 76°) das lokale Maximum von f' mit %%\approx4,2%%.
  4. Auch D ist Wendepunkt von f und liefert mit seiner Tangentenneigung (Schätzwert 115°) das lokale Minimum von f' mit %%\approx-2,1%%
  5. Zwischen den Wendepunkten B und D ist f' fallend.
  6. Rechts von E sind die Tangenten von f zunehmend rechtsgeneigt. Also gilt: %%x\rightarrow+\infty\Rightarrow f'(x)\rightarrow+\infty%%.
Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0. Information

Graphisches Differenzieren der e-Funktion

Die e-Funktion %%x\mapsto e^x,\;D=\mathbb{R},\;%% ist für viele Anwendungsgebiete der Mathematik eine der wichtigsten Funktionen.

Graphisch gesehen ist sie aber eher eine besonders "langweilige" Funktion: ohne Nullstellen, ohne lokale Extrema und ohne Wendepunkte - einfach nur steigend.

Welche überraschende Besonderheit der e-Funktion entdeckst du aber, wenn du dich um eine möglichst genaue Skizze beim graphischen Differenzieren der e-Funktion bemühst?

Allgemeine Aussagen über die Ableitungsfunktion %%e'%%

Begründung

%%e'(x)\neq0%%.
D.h. %%e'%% hat keine Nullstelle.

Der Graph von %%e%% hat keine waagrechte Tangente.

%%e'(x)>0%%.
D.h. %%e'%% hat nur positive Funktionswerte.

Alle Tangenten von %%e%% sind rechtsgeneigt. D.h. sie haben positive Steigung.

%%e'%% ist eine steigende Funktion.

Die Tangentenneigungen von %%e%% nehmen mit wachsendem x-Wert zu.

Durchführung des graphischen Differenzierens

Lösungsschritte zum graphischen Differenzieren der %%e%%-Funktion

  1. Wähle einen beliebigen Punkt %%P(x_0\vert e(x_0))%% auf dem Graphen von %%e%%.
  2. Lege in %%P%% "gefühlsmäßig" die Tangente an den Graphen von %%e%%.
  3. Schätze den Neigungswinkel %%\alpha%% der Tangente.
  4. Lies am Taschenrechner %%\tan(\alpha)=e'(x_0)%% ab.
  5. Trage den Punkt %%P'(x_0\vert e'(x_0))%% ein.
  6. Wenn du gut geschätzt hast, sollten %%P%% und %%P'%% zusammenfallen, da im Idealfall gilt: %%\tan(\alpha)=e'(x_0)=e(x_0)%%.
  7. Überprüfe das Ergebnis aus den Schritten 1-6 an weiteren Punkten. Zum Beispiel an den Punkten A, B und C.

Endergebnis:

Die %%e%%-Funktion stimmt mit ihrer Ableitungsfunktion %%e'%% überein. Die Graphen beider Funktionen fallen zusammen.

Klicke im anschließenden Applet auf den Punkt P der %%e%%-Funktion und verschiebe ihn. Überzeuge dich, dass für jeden Punkt P gilt %%e(x(P))=e'(x(P))%%.

Geogebra Applet
Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0. Information

Graphisches Differenzieren einer abschnittsweise definierten Funktion

Die folgende Funktion ist graphisch zu differenzieren.

Klicke die richtige Lösung an!

Leider falsch. Überlege nochmal, in welchen Bereichen die Parabeln steigend bzw. fallend sind.

Richtig entschieden. Hast du auch bemerkt, dass die Funktion f für %%x=3%% nicht differenzierbar ist?

Differenzieren von Parabeln

Die Funktion %%f%% setzt sich aus zwei verschobenen, nach unten geöffneten Normalparabeln zusammen. Ihre Ableitung besteht demnach aus zwei zueinander parallelen Strecken mit der Steigung -2 und den Nullstellen %%x=2%% und %%x = 5%%.

%%f%% ist an jeder Stelle stetig, an der Stelle %%x = 3%% aber nicht differenzierbar, da dort linksseitige und rechtsseitige Steigung nicht übereinstimmen.

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0. Information
Kommentieren Kommentare