Lösung 1f

Aufgabenstellung

%%1%% Gegeben ist die in %%\mathbb{R}%% definierte Funktion %%f: x \mapsto \; e^{\frac{1}{2}x}+e^{-\frac{1}{2}x}%%. Der Graph von %%f%% wird mit %%G_f%% bezeichnet.

%%a)%% Bestimmen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts von %%G_f%% mit der %%y%%-Achse und begründen Sie, dass %%G_f%% oberhalb der %%x%%-Achse verläuft. (2 BE)

%%b)%% Ermitteln Sie das Symmetrieverhalten von %%G_f%% sowie das Verhalten von %%f%% für %%x \to -\infty%% und für %%x \to \infty%%. (3 BE)

%%c)%% Zeigen Sie, dass für die zweite Ableitung %%f''%% von %%f%% die Beziehung %%f''(x)=\frac{1}{4}\cdot f(x)%% für %%x\in \mathbb{R}%% gilt. Weisen Sie nach, dass %%G_f%% linksgekrümmt ist. (4 BE)

%%\rightarrow%% Zur Kontrolle: %%f'(x)=\frac{1}{2}\cdot\left(e^{\frac{1}{2}x}-e^{-\frac{1}{2}x}\right)%%

%%d)%% Bestimmen Sie Lage und Art des Extrempunkts von %%G_f%%. (3 BE)

%%e)%% Berechnen Sie die Steigung der Tangente %%g%% an %%G_f%% im Punkt %%P(2|f(2))%% auf eine Dezimale genau. Zeichnen Sie den Punkt %%P%% und die Gerade %%g%% in ein Koordinatensystem ein (Platzbedarf im Hinblick auf das Folgende: %%-4\leq x\leq4%%, %%-1 \leq y \leq 9%%). (3 BE)

%%f)%% Berechnen Sie %%f(4)%%, im Hinblick auf eine der folgenden Aufgaben auf zwei Dezimalen genau, und zeichnen Sie unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse %%G_f%% im Bereich %%-4 \leq x \leq 4%% in das Koordinatensystem aus Aufgabe 1e ein. (4 BE)

Lösung

Berechnung von %%f(4)%%

%%f(4)=e^{\frac{1}{2}\cdot 4}+e^{-\frac{1}{2}\cdot 4}%%

%%f(4)=e^{2}+e^{-2}%%

%%f(4)\approx 7,52%%

Graph von %%G_f%%

Zeichne nun den Graphen, du kennst schon:

  • den Extrempunkt %%EP(0|2)%%
  • den Punkt %%P(2|3,1)%%
  • den Punkt %%(4|7,52)%%
  • das Verhalten im Unendlichen
  • die Symmetrie zur y-Achse

Insgesamt ergibt sich folgender Graph:

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