Gemischte Aufgaben zur Oberflächenberechnung
- 1
Berechne.
Eine Kugel hat die Oberfläche O=100 cm2. Berechne den Radius r.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Radius
gegeben: O=100π cm2
gesucht: r
Um den Radius zu berechnen, wenn die Oberfläche gegeben ist, benutzt du die passende Formel und forme nach r um.
O = 4πr2 :4π 4πO = r2 ±4πO=r
Der Radius kann nur positiv sein. Du kannst also das negative Ergebnis ignorieren.
4πO=r
Setze den Wert für O ein.
r=4π100 cm2
Rechne mit dem Taschenrechner und runde das Ergebnis.
r≈2,821 cm
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Ein Würfel hat das Volumen V=125 cm3. Berechne die Oberfläche O.
cm²Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Würfel
Gegeben: VWu¨rfel=125 cm3 Gesucht: OWu¨rfel
Gesucht ist die Oberfläche eines Würfels. Stelle daher zunächst die Formel auf.
OWu¨rfel=6⋅a2
Du musst also die Seitenlänge a berechnen. Diese erhältst du aus der Volumenformel:
VWu¨rfel=a3=125cm3
Daraus kannst du nun a bestimmen, indem du die 3. Wurzel 3 ziehst. (Das bedeutet: Welche Zahl a ergibt hoch 3 genommen 125)
⇒a=5 cm, denn 5 cm⋅5 cm⋅5 cm=125 cm3
Mit a kannst du nun die Oberfläche berechnen.
O=6⋅a2=6⋅(5 cm)2=6⋅25 cm2=150 cm2
Lösung: Die Oberfläche des Würfels ist O=150 cm2
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Berechne die Oberfläche eines 20 cm hohen Zylinders mit dem Durchmesser 10cm.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zylinder
Gegeben: h = 20 cm, d = 2 ⋅r =10 cm
Gesucht: O= ?
Stelle die Formel für die Zylinderoberfläche auf. Diese setzt sich zusammen aus der Mantelfläche M und zwei Kreisflächen AKreis
O=M+2⋅AKreis
Mantelfläche
M= ?
Stelle die Formel für die Mantelfläche auf.
M=U⋅h=2πr⋅h
Die Höhe ist gegeben als 20 cm. Den Radius kannst du aus dem Durchmesser berechnen. Die gegebenen Werte findest du oben. Setze diese Werte nun in die Formel ein und berechne die Mantelfläche
M=2π⋅5 cm⋅20 cm=π⋅200 cm2≈628,32 cm2
Kreisflächen
A= ?
Stelle die Formel für die Kreisfläche auf.
A=r2⋅π
Setze den Radius r=5 cm ein und berechne die Kreisfläche.
A=(5 cm)2⋅π=π⋅25 cm2≈78,54 cm2
Gesamte Oberfläche
O=M+2⋅AKreis
Setze die eben berechneten Werte für die Mantelfläche und Kreisfläche ein und berechne die Oberfläche
O≈628,32 cm2+2⋅78,54 cm2=785,4 cm2
Lösung: Die Oberfläche des Zylinders ist 785,4 cm2
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- 2
Berechne die Oberfläche der Figuren
- cm²
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Oberfläche eines Würfels
Oberfläche des Würfels
Setze den Wert aus dem Bild ein.
Rechne aus.
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Radius 6,75cm
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Oberfläche einer Kugel
Setze den Wert in die Formel ein.
Rechne aus
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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Oberfläche einer Pyramide
Die Grundfläche G ist ein Quadrat, die Mantelfläche sind 4 Dreiecke.
Berechne zuerst die Grundfläche
Grundfläche: Quadrat
Die Seitenlänge ist 4 cm. Setze diesen Wert in die Formel ein.
Mantelfläche: Vier Dreiecke
Höhe der Seitenflächen
Die Dreiecke sind alle gleich, da die Grundfläche ein Quadrat ist.
Um die Seitenflächen zu berechnen benötigst du zuerst die Höhe der Dreiecke. Diese kannst du mit dem Satz des Pythagoras berechnen.
a ist die Halbe Seitenlänge des Quadrats, b ist die Höhe der Pyramide.
Setze die Werte ein.
Ziehe die Wurzel um die Höhe des Dreiecks zu erhalten.
Berechne damit nun die Seitenflächen.
Seitenfläche
Setze die Werte ein.
Mantelfläche
Oberfläche der Pyramide
Berechne nun die Oberfläche der Pyramide, indem du Grundfläche und Mantelfläche addierst.
Lösung: Die Oberfläche der Pyramide ist 59,2 cm2
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- 3
Ein Tempel soll restauriert werden, da er ziemlich verfallen ist. Im Rahmen der Sanierungsarbeiten soll er auch einen neuen Anstrich bekommen.
Die Maße des Tempels kannst du aus dem Bild unten entnehmen.
Zusätzlich gibt dir der Bauleiter folgende Informationen:
Die Länge des Tempels ist insgesamt 90m, die in drei gleich lange Teilstücke aufgeteilt sind.
Auf der Rückseite befinden sich 9 Säulen, an jeder Breitseite jeweils 5 und vorne insgesamt 10.
Der Boden mit der Treppenstufe muss nicht saniert werden
Berechne, für wie viel Fläche die Farbe reichen muss, wenn nur die Säulen gestrichen werden sollen.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zylinder
Berechnung der Mantelfläche einer Säule
Die zu streichende Fläche einer Säule berechnest du über die Formel zur Berechnung der Mantelfläche eines Zylinders:
U ist der Umfang der Säule und h die Höhe.
In der Angabe siehst du, dass die Säule einen Durchmesser d von 3m hat. Du kannst damit den Umfang berechnen:
Setze die Werte in die Formel oben ein.
MSa¨ule = U⋅h ↓ Setze U=d⋅π ein.
= d⋅π⋅h ↓ Setze d=3 m und h=20 m ein.
= 3m⋅π⋅20m = 60 π m2 ≈ 188,50 m2 Jetzt hast du den Mantel einer Säule. Du brauchst aber 25 Säulen.
Berechnung der Mantelfläche aller Säulen
MSa¨ulen = 25⋅MSa¨ule ↓ Rechne mit dem ungerundeten Wert und setze MSa¨ule=60πm2.
= 25⋅60 πm2 = 1500πm2 = 4712,39 m2 Die Farbe muss für 4712,39m2 reichen.
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Zuerst musst du überlegen, wie viele Säulen der Tempel hat. Die Angabe sagt dir, dass auf der Rückseite 9, auf der Vorderseite 10 und an jeder Breitseite jeweils 5 Säulen sind. Das Problem ist jetzt, dass die Ecksäulen nicht doppelt gezählt werden dürfen.
Du darfst also nur 3 Säulen auf jeder Breitseite zählen und die Vorder- und Rückseite. Insgesamt sind es also 3+3+9+10=25.
Dann musst du dir überlegen, welche Figur eine Säule ist, nämlich ein Zylinder. Du musst also die Zylinderoberfläche von den 25 Säulen ausrechnen. Allerdings brauchst du dazu nur die Mantelfläche, da der "Boden" und der "Deckel" nicht gestrichen werden können.
Das Dach bekommt einen wasserfesten Anstrich. Dazu wird alles gestrichen, was vom Regen erreicht werden kann, das heißt alles außer die Unterseite des Daches.
Berechne, für wie viel Fläche die wasserfeste Farbe reichen muss.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Oberflächenformeln von Körpern
Oberfläche der Seitendächer
Die Seitendächer sind Quader, dessen Oberfläche du so berechnen kannst:
(l: Länge des Quaders, b: Breite des Quaders, h: Höhe des Quaders)
Überlege dir jetzt, welche Seiten wirklich gestrichen werden müssen. Du brauchst nur eine l⋅b Seite und nur eine l⋅h Seite und zwei b⋅h Seiten.
OSeitendach = l⋅b+l⋅h+2⋅b⋅h ↓ Setze die gegebenen Werte ein: l=90m:3=30m,h=50m,h=5m
= 30m⋅50m+50m⋅5m+2⋅30m⋅5m = 2050m2 Das ganze brauchst du zwei mal, da es zwei Seitendächer gibt.
Oberfläche Mittelteil
Zur Oberfläche vom Mittelteil gelangst du, indem du
die zwei Seiten vom Spitzdach
die Vorder und Rückseite, die sich aus Rechteck und Dreieck zusammensetzen
die zwei Seitenflächen vom Vordach
ausrechnest. A bezeichnet hier immer die Fläche.
Die Seitenflächen brauchst du zweimal. Die Länge ist 60m. Aber wie lang ist die Breite?
Berechnung der Breite des Seitendachs
Betrachte dazu das Dreieck, das du auf der Vorderseite siehst. Aus diesem musst du jetzt die fehlende Länge ausrechnen. Dies machst du mit dem Satz des Pythagoras.
Wie kommst du jetzt auf die fehlende Strecke?
h2+c2=b2 ⇒ b=h2+c2.
Setze die Werte ein.
b = h2+c2 ↓ Setze h=10m und c=30m:2=15m ein.
= (10m)2+(15m)2 = 100m2+225m2 = 325m2 ↓ Zerlege 325 in seine Primfaktoren um teilweise zu radizieren.
= 5⋅5⋅13m ↓ = 513m Mit dieser Breite kannst du jetzt weiter rechnen.
Berechnung der Fläche der Oberseite des Spitzdachs
ASpitzdach Oberseite = 2⋅l⋅b ↓ Die Breite hast du gerade ausgerechnet und die Länge ist 60m.
= 2⋅60m⋅513m ≈ 2163,33m2 Berechnung der Oberfläche des Spitzdachs vorne
Wie geht die Flächenformel für Dreiecke? Jetzt benötigst du aber wieder ein anderes Dreieck, nämlich das, was du auf der Vorderseite des Daches siehst.
ASpitzdach Vorderseite = ADreieck+ARechteck ↓ Die Fläche des Dreiecks bestimmst du mithilfe der Höhe h und die Länge der Grundseite g.
= 21⋅g⋅h+l⋅b ↓ Setze die gegebenen Werte ein: g=30m,h=10m,l=30m und b=5m.
= 21⋅30m⋅10m+30m⋅5m ↓ Berechne.
= 300m2 Da es sowohl eine Vorder- als auch eine Rückseite gibt, die den gleichen Flächeninhalt haben, kannst du die Fläche mal 2 nehmen.
Jetzt fehlen noch zwei kleine Seiten vom Vordach, mit der Länge 10m und Breite 5m.
ASeitenfla¨chen = 2⋅l⋅b ↓ Setze die gegebenen Werte ein: l=10m und b=5m
= 2⋅10m⋅5m = 100m2 Gesamtfläche Dach
Setze die Werte ein. Am besten die genauen, ungerundeten Werte, ansonsten auf zwei Nachkommastellen gerundet.
Es wird also insgesamt so viel Farbe benötigt, dass sie für eine Fläche von 6963,33m2 reicht.
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Aus welchen Figuren und Flächen besteht das Dach?
Die beiden "Seitendächer" sind Quader.
In der Mitte siehst du vielleicht ein Prisma. Es ist aber leichter und weniger aufwendig, sich die einzelnen Flächen des Prismas anzuschauen, als die Oberfläche.
Du teilst also deine Rechenschritte auf. Hier beginnt die Lösung mit den Seitenteilen, die aus Quadern bestehen.
Wie viele 10l Eimer Farbe werden für den ganzen Tempel benötigt, wenn ein Liter für 7m2 reicht.
Oberfläche Tempel insgesamt
Ogesamt = ODach+OSa¨ulen ↓ Setze die Werte aus Teilaufgabe a) und b) ein.
≈ 6963,33m2+4712,39m2 = 11675,72m2 Wie viele Liter sind das?
Nenne die Anzahl der Liter x. Schaue dir jetzt noch einmal die Angabe an. Es heißt: "1l reicht für 7m2". Was sagt dir das?
Das bedeutet, dass man 7m2 mit einem Liter Farbe streichen kann. Du musst nun also OGesamt durch 7 teilen, um die benötigte Menge an Farbe x zu bestimmen.
x = Ogesamt:7lm2 ↓ Setze OGesamt ein.
= 11675,72m2:7lm2 = 1667,96l Es werden also 1667,96 Liter benötigt.
Wie viele Eimer sind das?
Berechne nun die Anzahl e der Eimer. In einem Eimer sind 10l Farbe.
e = 10lx ↓ Setze x ein.
= 10l1667,96l = 166,796 Es werden also 166,796 Eimer benötigt. Da man nur ganze Eimer kaufen kann, musst du immer aufrunden.
Antwort: Es werden 167 Eimer Farbe benötigt.
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Zuerst musst du die Teilaufgaben a) und b) anschauen und zusammenrechnen, wie viel Quadratmeter Oberfläche du insgesamt ausgerechnet hast. Als nächstes musst du die Quadratmeter durch 7 teilen, um zu wissen, wie viele Liter du benötigst und anschließend nochmal durch 10 teilen, um die Anzahl der Eimer heraus zu finden.
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