Gemischte Aufgaben zur Oberflächenberechnung

1
Berechne.
1. Eine Kugel hat die Oberfläche $O=100 \text{ cm}^2$ . Berechne den Radius $r$ .
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Radius
  gegeben: $O = 100 \pi \text{ cm}^2$
  gesucht: $r$
  Um den Radius zu berechnen, wenn die Oberfläche gegeben ist, benutzt du die passende Formel und forme nach $r$ um.
  $\displaystyle O$ $=$ $\displaystyle 4\pi r^2$ $\displaystyle :4\pi$
  $\displaystyle \frac{O}{4\pi}$ $=$ $\displaystyle r^2$ $\displaystyle \sqrt{ }$
  $\pm \sqrt{\dfrac{O}{4\pi}}= r$
  Der Radius kann nur positiv sein. Du kannst also das negative Ergebnis ignorieren.
  $\sqrt{\dfrac{O}{4\pi}}= r$
  Setze den Wert für $O$ ein.
  $r=\sqrt{\dfrac{100 \text{ cm}^2}{4\pi}}$
  Rechne mit dem Taschenrechner und runde das Ergebnis.
  $r \approx 2{,}821\text{ cm}$
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2. Ein Würfel hat das Volumen $V=125\ \mathrm{cm^3}$ . Berechne die Oberfläche $O$ .
  cm²
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Würfel
  Gegeben: $V_\text{Würfel}=125\ \mathrm{cm^3}$ Gesucht: $O_\text{Würfel}$
  Gesucht ist die Oberfläche eines Würfels. Stelle daher zunächst die Formel auf.
  $O_\text{Würfel} = 6 \cdot a^2$
  Du musst also die Seitenlänge $a$ berechnen. Diese erhältst du aus der Volumenformel:
  $V_{\text{Würfel}}=a^3=125\mathrm{cm^3}$
  Daraus kannst du nun $a$ bestimmen, indem du die 3. Wurzel $\sqrt[3]{}$ ziehst. (Das bedeutet: Welche Zahl a ergibt hoch 3 genommen 125)
  $\Rightarrow a = 5\ \mathrm{cm}$ , denn $5\ \mathrm{cm}\cdot 5\ \mathrm{cm} \cdot 5\ \mathrm{cm} = 125\ \mathrm{cm^3}$
  Mit $a$ kannst du nun die Oberfläche berechnen.
  $O = 6 \cdot a^2 =6 \cdot (5\ \mathrm{cm})^2 = 6 \cdot 25\ \mathrm{cm^2} = 150\ \mathrm{cm^2}$
  Lösung: Die Oberfläche des Würfels ist $O = 150\ \mathrm{cm^2}$
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3. Berechne die Oberfläche eines $20\ \mathrm{cm}$ hohen Zylinders mit dem Durchmesser $10 \mathrm{cm}$ .
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zylinder
  Gegeben: $h =$ 20 cm, $d\ =\ 2\ \cdot r\ =$ 10 cm
  Gesucht: $O = ?$
  Stelle die Formel für die Zylinderoberfläche auf. Diese setzt sich zusammen aus der Mantelfläche $M$ und zwei Kreisflächen $A_\text{Kreis}$
  $O = M + 2\cdot A_\text{Kreis}$
  Mantelfläche
  $M = ?$
  Stelle die Formel für die Mantelfläche auf.
  $M = U \cdot h = 2\pi r \cdot h$
  Die Höhe ist gegeben als $20\ \mathrm{cm}$ . Den Radius kannst du aus dem Durchmesser berechnen. Die gegebenen Werte findest du oben. Setze diese Werte nun in die Formel ein und berechne die Mantelfläche
  $M = 2\pi \cdot 5\ \mathrm{cm} \cdot 20\ \mathrm{cm} = \pi \cdot 200\ \mathrm{cm^2} \approx 628{,}32\ \mathrm{cm^2}$
  Kreisflächen
  $A = ?$
  Stelle die Formel für die Kreisfläche auf.
  $A = r^2 \cdot \pi$
  Setze den Radius $r = 5\ \mathrm{cm}$ ein und berechne die Kreisfläche.
  $A = (5\ \mathrm{cm})^2 \cdot \pi = \pi \cdot 25\ \mathrm{cm^2} \approx 78{,}54\ \mathrm{cm^2}$
  Gesamte Oberfläche
  $O = M + 2 \cdot A_\text{Kreis}$
  Setze die eben berechneten Werte für die Mantelfläche und Kreisfläche ein und berechne die Oberfläche
  $O \approx 628{,}32\ \mathrm{cm^2} + 2 \cdot 78{,}54\ \mathrm{cm^2} = 785{,}4\ \mathrm{cm^2}$
  Lösung: Die Oberfläche des Zylinders ist $785{,}4\ \mathrm{cm^2}$
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2
Berechne die Oberfläche der Figuren
1. cm²
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Oberfläche eines Würfels
  Oberfläche des Würfels
  $\displaystyle O=a^2\cdot6$
  Setze den Wert aus dem Bild ein.
  $\displaystyle O=(7{,}5\,\mathrm{cm})^2\cdot6$
  Rechne aus.
  $\displaystyle O = 337{,}5\,\mathrm{cm}^2$
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2. Radius $6{,}75\,\mathrm{cm}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Oberfläche einer Kugel
  Oberfläche der Kugel
  $\displaystyle O_K = 4 \cdot r^2 \cdot \pi$
  Setze den Wert in die Formel ein.
  $\displaystyle O_k= 4 \cdot (6{,}75\ \mathrm{cm})^2\cdot\pi$
  Rechne aus
  $\displaystyle O_k=4 \cdot 45{,}5625\ \mathrm{cm^2} \cdot \pi = 182{,}25 \ \mathrm{cm^2} \cdot \pi \approx 572{,}56 \mathrm{cm^2}$
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4. Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Oberfläche einer Pyramide
  Oberfläche der Pyramide
  $\displaystyle O=G+M$
  Die Grundfläche G ist ein Quadrat, die Mantelfläche sind 4 Dreiecke.
  Berechne zuerst die Grundfläche
  Grundfläche: Quadrat
  Stelle die Formel für ein Quadrat auf.
  $\displaystyle A_\text{Quadrat} = a^2$
  Die Seitenlänge ist $4 \ \mathrm{cm}$ . Setze diesen Wert in die Formel ein.
  $\displaystyle A_\text{Quadrat} = ( 4 \ \mathrm{cm})^2 = 16\ \mathrm{cm^2}$
  Mantelfläche: Vier Dreiecke
  Höhe der Seitenflächen
  Die Dreiecke sind alle gleich, da die Grundfläche ein Quadrat ist.
  Um die Seitenflächen zu berechnen benötigst du zuerst die Höhe der Dreiecke. Diese kannst du mit dem Satz des Pythagoras berechnen.
  $\displaystyle c^2 = a^2 + b^2$
  a ist die Halbe Seitenlänge des Quadrats, b ist die Höhe der Pyramide.
  $\displaystyle a = 4 \,\mathrm{cm} :2 =2\,\mathrm{cm}$
  $\displaystyle b = 5 \ \mathrm{cm}$
  Setze die Werte ein.
  $\displaystyle c^2 = (2\ \mathrm{cm})^2 + (5\ \mathrm{cm})^2 = 4 \mathrm{cm^2}+ 25\mathrm{cm^2} = 29\mathrm{cm^2}$
  Ziehe die Wurzel um die Höhe des Dreiecks zu erhalten.
  $\displaystyle \Rightarrow c = \sqrt{29\ \mathrm{cm^2}} \approx 5{,}4\ \mathrm{cm}$
  Berechne damit nun die Seitenflächen.
  Seitenfläche
  Stelle die Formel für ein Dreieck auf.
  $\displaystyle A = \frac12 \cdot g \cdot h$
  Setze die Werte ein.
  $\displaystyle A = \frac12 \cdot 4\ \mathrm{cm} \cdot 5{,}4\ \mathrm{cm} = 10{,}8 \mathrm{cm^2}$
  Mantelfläche
  $\displaystyle M = 4 \cdot A = 4 \cdot 10{,}8\ \mathrm{cm^2} = 43{,}2 \ \mathrm{cm^2}$
  Oberfläche der Pyramide
  Berechne nun die Oberfläche der Pyramide, indem du Grundfläche und Mantelfläche addierst.
  $\displaystyle O=G + M = 16\ \mathrm{cm^2} +43{,}2\ \mathrm{cm^2} = 59{,}2\ \mathrm{cm^2}$
  Lösung: Die Oberfläche der Pyramide ist $59{,}2\ \mathrm{cm^2}$
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Ein Tempel soll restauriert werden, da er ziemlich verfallen ist. Im Rahmen der Sanierungsarbeiten soll er auch einen neuen Anstrich bekommen.

Die Maße des Tempels kannst du aus dem Bild unten entnehmen.

Zusätzlich gibt dir der Bauleiter folgende Informationen:

Die Länge des Tempels ist insgesamt $90 \;\mathrm{m}$ , die in drei gleich lange Teilstücke aufgeteilt sind.
Auf der Rückseite befinden sich $9$ Säulen, an jeder Breitseite jeweils $5$ und vorne insgesamt $10$ .
Der Boden mit der Treppenstufe muss nicht saniert werden

Berechne, für wie viel Fläche die Farbe reichen muss, wenn nur die Säulen gestrichen werden sollen.

Das Dach bekommt einen wasserfesten Anstrich. Dazu wird alles gestrichen, was vom Regen erreicht werden kann, das heißt alles außer die Unterseite des Daches.

Berechne, für wie viel Fläche die wasserfeste Farbe reichen muss.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Oberflächenformeln von Körpern

Oberfläche der Seitendächer

Die Seitendächer sind Quader, dessen Oberfläche du so berechnen kannst:

\displaystyle O_{Quader}=2\cdot l\cdot b+2\cdot l\cdot h+2\cdot b\cdot h

( $l$ : Länge des Quaders, $b$ : Breite des Quaders, $h$ : Höhe des Quaders)

Überlege dir jetzt, welche Seiten wirklich gestrichen werden müssen. Du brauchst nur eine $l\cdot b$ Seite und nur eine $l\cdot h$ Seite und zwei $b\cdot h$ Seiten.

$\displaystyle O_{Seitendach}$	$=$	$\displaystyle l\cdot b+l\cdot h+2\cdot b\cdot h$
	↓	Setze die gegebenen Werte ein: $l=90\text m :3=30\text m, h=50\text m, h=5\text m$
	$=$	$\displaystyle 30\;\mathrm{m}\cdot 50\;\mathrm{m} + 50\;\mathrm{m} \cdot 5\;\mathrm{m} + 2\cdot 30\;\mathrm{m} \cdot 5\;\mathrm{m}$
	$=$	$\displaystyle 2050\text{m}^2$

Das ganze brauchst du zwei mal, da es zwei Seitendächer gibt.

\displaystyle O_{Seitendächer}=2\cdot 2050\;\mathrm{m}^2=4100\;\mathrm{m}^2

Oberfläche Mittelteil

Zur Oberfläche vom Mittelteil gelangst du, indem du

die zwei Seiten vom Spitzdach
die Vorder und Rückseite, die sich aus Rechteck und Dreieck zusammensetzen
die zwei Seitenflächen vom Vordach

ausrechnest. $A$ bezeichnet hier immer die Fläche.

\displaystyle A_{Spitzdach\ Oberseite}=2\cdot l\cdot b

Die Seitenflächen brauchst du zweimal. Die Länge ist $60\;\mathrm{m}$ . Aber wie lang ist die Breite?

Berechnung der Breite des Seitendachs

Betrachte dazu das Dreieck, das du auf der Vorderseite siehst. Aus diesem musst du jetzt die fehlende Länge ausrechnen. Dies machst du mit dem Satz des Pythagoras.

Wie kommst du jetzt auf die fehlende Strecke?

$h^{2} + c^{2} = b^{2}$ $\Rightarrow$ $b= \sqrt{h^2+c^2}$ .

Setze die Werte ein.

$\displaystyle b$	$=$	$\displaystyle \sqrt{h^2+c^2}$
	↓	Setze $h = 10 m$ und $c= 30\text m :2 = 15 \text m$ ein.
	$=$	$\displaystyle \sqrt{\left(10\text{m}\right)^2+\left(15\text{m}\right)^2}$
	$=$	$\displaystyle \sqrt{100\text{m}^2+225\text{m}^2}$
	$=$	$\displaystyle \sqrt{325\text{m}^2}$
	↓	Zerlege $325$ in seine Primfaktoren um teilweise zu radizieren.
	$=$	$\displaystyle \sqrt{5\cdot5\cdot13}\text{m}\$
	↓	Radiziere teilweise.
	$=$	$\displaystyle 5\sqrt{13}\text{m}\$

Mit dieser Breite kannst du jetzt weiter rechnen.

Berechnung der Fläche der Oberseite des Spitzdachs

$\displaystyle A_{Spitzdach\ Oberseite}$	$=$	$\displaystyle 2\cdot l\cdot b$
	↓	Die Breite hast du gerade ausgerechnet und die Länge ist $60\;\mathrm{m}$ .
	$=$	$\displaystyle 2\cdot60\text{m}\cdot5\sqrt{13}\text{m}\$
	$\approx ≈$	$\displaystyle 2163{,}33\text{m}^2$

Berechnung der Oberfläche des Spitzdachs vorne

\displaystyle A_{Spitzdach\ Vorderseite}=A_{Dreieck}+A_{Rechteck}

Wie geht die Flächenformel für Dreiecke? Jetzt benötigst du aber wieder ein anderes Dreieck, nämlich das, was du auf der Vorderseite des Daches siehst.

$\displaystyle A_{Spitzdach\ Vorderseite}$	$=$	$\displaystyle A_{Dreieck}+A_{Rechteck}$
	↓	Die Fläche des Dreiecks bestimmst du mithilfe der Höhe $h$ und die Länge der Grundseite $g$ .
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}\cdot g\cdot h+l\cdot b$
	↓	Setze die gegebenen Werte ein: $g=30\text m, h=10\text m, l=30\text m$ und $b=5\text m$ .
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}\cdot 30\;\mathrm{m}\cdot 10\;\mathrm{m}+ 30\;\mathrm{m}\cdot 5\;\mathrm{m}$
	↓	Berechne.
	$=$	$\displaystyle 300\text m^2$

Da es sowohl eine Vorder- als auch eine Rückseite gibt, die den gleichen Flächeninhalt haben, kannst du die Fläche mal 2 nehmen.

\displaystyle A_{\text{Spitzdach Vorderseite und Rückseite}}=2\cdot 300\;\mathrm{m}^2=600\;\mathrm{m}^2

Jetzt fehlen noch zwei kleine Seiten vom Vordach, mit der Länge $10\;\mathrm{m}$ und Breite $5\;\mathrm{m}$ .

$\displaystyle A_{Seitenflächen}$	$=$	$\displaystyle 2\cdot l\cdot b$
	↓	Setze die gegebenen Werte ein: $l=10\text m$ und $b=5\text m$
	$=$	$\displaystyle 2\cdot10\text{m}\cdot5\text{m}\$
	$=$	$\displaystyle 100\text{m}^2$

Gesamtfläche Dach

\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}O_{gesamt}&=&O_{Seitendächer}\\&&+A_{SpitzdachOberseite}\\&&+A_{SpitzdachVorderseiteundRückseite}\\&&+A_{Seitenflächen}\end{array}

Setze die Werte ein. Am besten die genauen, ungerundeten Werte, ansonsten auf zwei Nachkommastellen gerundet.

\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}O_{gesamt}&=&4100\;\mathrm{m}^2\\&&+2163{,}33\;\mathrm{m}^2\\&&+600\;\mathrm{m}^2\\&&+100\;\mathrm{m}^2\\&=&6963{,}33\;\mathrm{m}^2\end{array}

Es wird also insgesamt so viel Farbe benötigt, dass sie für eine Fläche von $6963{,}33\;\mathrm{m}^2$ reicht.

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Wie viele $10\;\mathrm{l}$ Eimer Farbe werden für den ganzen Tempel benötigt, wenn ein Liter für $7\;\mathrm{m}^2$ reicht.

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$\displaystyle M_{\text{Säule}}$	$=$	$\displaystyle U\cdot h$
	↓	Setze $U=d\cdot \pi$ ein.
	$=$	$\displaystyle d\cdot\pi\cdot h$
	↓	Setze $d=3\ \text{m}\$ und $h=20\ \text{m}\$ ein.
	$=$	$\displaystyle 3\text{m}\cdot\pi\cdot20\text{m}\$
	$=$	$\displaystyle 60\ \pi\ \text{m}^2$
	$\approx ≈$	$\displaystyle 188{,}50\ \text{m}^2$

$\displaystyle M_{\text{Säulen}\ }$	$=$	$\displaystyle 25\cdot M_{\text{Säule}}$
	↓	Rechne mit dem ungerundeten Wert und setze $M_{\text{Säule}}=60 \pi \text{m}^2$ .
	$=$	$\displaystyle 25\cdot60\ \pi\text{m}^2$
	$=$	$\displaystyle 1500\pi\text{m}^2$
	$=$	$\displaystyle 4712{,}39\ \text{m}^2$

$\displaystyle O_{gesamt}$	$=$	$\displaystyle O_{Dach}+O_{Säulen}$
	↓	Setze die Werte aus Teilaufgabe a) und b) ein.
	$\approx ≈$	$\displaystyle 6963{,}33 \;\mathrm{m}^2 + 4712{,}39\;\mathrm{m}^2$
	$=$	$\displaystyle 11 675{,}72\;\mathrm{m}^2$

$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle O_{gesamt}:7\;\mathrm{\frac{{m}^2}{l}}$
	↓	Setze $O_{Gesamt}$ ein.
	$=$	$\displaystyle 11 675{,}72\;\mathrm{m}^2:7\;\mathrm{\frac{{m}^2}{l}}$
	$=$	$\displaystyle 1667{,}96\;\mathrm{l}$

$\displaystyle e$	$=$	$\displaystyle \frac{x}{10\text l}$
	↓	Setze $x$ ein.
	$=$	$\displaystyle \frac{1667{,}96\;\mathrm{l}}{10\;\mathrm{l}}$
	$=$	$\displaystyle 166{,}796$

Gemischte Aufgaben zur Oberflächenberechnung

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Mantelfläche

Kreisflächen

Gesamte Oberfläche

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Oberfläche des Würfels

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Oberfläche der Kugel

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Oberfläche der Pyramide

Grundfläche: Quadrat

Mantelfläche: Vier Dreiecke

Höhe der Seitenflächen

Seitenfläche

Mantelfläche

Oberfläche der Pyramide

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Berechnung der Mantelfläche einer Säule

Berechnung der Mantelfläche aller Säulen

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Oberfläche der Seitendächer

Oberfläche Mittelteil

Berechnung der Breite des Seitendachs

Berechnung der Fläche der Oberseite des Spitzdachs

Berechnung der Oberfläche des Spitzdachs vorne

Gesamtfläche Dach

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Oberfläche Tempel insgesamt

Wie viele Liter sind das?

Wie viele Eimer sind das?

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$\displaystyle O$	$=$	$\displaystyle 4\pi r^2$	$\displaystyle :4\pi$
$\displaystyle \frac{O}{4\pi}$	$=$	$\displaystyle r^2$	$\displaystyle \sqrt{ }$