Stochastik, Teil A, Aufgabengruppe 1

Der Ergebnisraum $\Omega$ besteht aus $6000$ Elementen (Einfamilienhäusern).

Also: $|\Omega|=6000$

Betrachtet werden zwei Ereignisse:

$\mathrm{H}:$"Haus hat Holzpelletheizung" mit $|\mathrm{H}|=2400$

$\mathrm{S}:$ "Haus hat Solarheizung".

Achtung:Lass dich nicht verwirren! Die Holz- und die Solarheizungen sind für die Häuser "Zusatzheizungen". $\mathrm{H}$ und $\mathrm{S}$ sind deshalb auch keine Gegenereignisse und$|\mathrm{S}|$ ist zunächst nicht gegeben.

Die Textangabe "Bei zwei Dritteln aller Häuser ist $\mathrm H$ mit $\mathrm S$ kombiniert" bedeutet die Angabe der bedingten Wahrscheinlichkeit $P(\mathrm{S}|\mathrm{H})$.

Es gilt: $\displaystyle P(\mathrm{S}|\mathrm{H})=\frac{|\mathrm{H}\cap \mathrm{S}|}{|\mathrm{H}|}=\frac2 3$

Also: $|\mathrm {H} \cap \mathrm {S}|=\frac 2 3 \cdot |\color{red}{\mathrm{H}}|=1600$

Die Textangabe "$50\ \%$ aller Häuser haben weder die eine noch die andere Zusatzheizung" bedeutet eine Angabe über die Mächtigkeit des Schnittereignisses von $\mathrm{\overline H}$ und $\mathrm{\overline S}$.

Es gilt: $|\mathrm{\overline H}\cap\mathrm{\overline S}|=0{,}5\cdot 6000=3000$.

Erstelle eine Vierfeldertafel!

$\def\arraystretch{1.25} \quad\quad\begin{array} {c|c|c|c}&\mathrm{H}&\overline{\mathrm{H}}&\ \\\hline\mathrm{S}&|\mathrm{H}\cap\mathrm {S}| &|\overline{\mathrm {H}}\cap \mathrm {S}|\vphantom{\frac{1}{2}} &|\mathrm{S}| \\\hline\mathrm{\overline{S}}&|\mathrm{H}\cap {\overline{S}}| &|\overline{\mathrm{H}}\cap \overline{\mathrm {S}}| &|\overline{S}| \\\hline &|\mathrm{H}|&|\overline{\mathrm{H}}|&|\Omega|\end{array}$

Setze die gegebenen und gefundenen absoluten Häufigkeiten ein.

$\def\arraystretch{1.25} \quad\quad\begin{array} {c|c|c|c}&\mathrm{H} & \overline{\mathrm{H}} & \\\hline \mathrm{S}&\color{green}{1600}&&\\\hline\overline{\mathrm{S}}&&\color{green}{3000}&\\\hline&\color{green}{2400}&&\color{green}{6000}\end{array}$

Berechne die fehlenden Werte:

$|\mathrm{H}\cap\mathrm{\overline{S}}|=2400-1600=800$

$|\mathrm{\overline{H}}|=6000-2400=3600$

$|\mathrm{\overline{H}}\cap \mathrm{S}|=3600-3000=600$

$|\mathrm{S}|=1600+600=2200$

$|\overline{\mathrm{S}}|=6000-2200=3800$

Dies ist die gesuchte Vierfeldertafel mit den absoluten Häufigeiten der Ereignisse:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array} {c|c|c|c}&\mathrm{H}& \overline{\mathrm{H}}&\\\hline\mathrm{S}&1600&600&2200\\\hline\overline{\mathrm{S}}&800&3000&3800\\\hline&2400&3600&6000\end{array}$

Mit den relativen Häufigkeiten der Ereignisse $\mathrm{H}$ und $\mathrm{S}$ erhältst du folgende Vierfeldertafel:

$P{(\Omega)}=1$, $P(\mathrm{H})=\frac{2400}{6000}= \frac 2 5$, $P\left(\mathrm{H}\cap \mathrm{S}\right)=\frac{{\frac 2 3}\cdot 2400}{6000}=\frac{4}{15}$, $P(\overline{\mathrm{H}} \cap \overline{\mathrm{S}})= \frac1 2$

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array} {c|c|c|c}&\mathrm{H}&\overline{\mathrm{H}}&\\\hline\mathrm{S}&\frac{4}{15}&\frac{1}{10}&\frac{11}{30}\\\hline\overline{\mathrm{S}}&\frac{2}{15}&\frac{1}{2}&\frac{19}{30}\\\hline&\frac{2}{5}&\frac{3}{5}&1\end{array}$

Welche der beiden Tafeln - die mit absoluten oder die mit den relativen Häufigkeiten - du als Ergebnis angeben willst, ist dir freigestellt.

Gesucht ist die bedingte Wahrscheinlichkeit $P(\mathrm{H}|\mathrm{S})$. Das kann man daraus ableiten, dass man zuerst weiß, dass alle Häuser, die man in Betracht zieht, solarthermische Anlagen haben. Man hat also eine Bedingung an die Häuser, bevor man die Wahrscheinlichkeit dafür sucht, dass sie eine Holzpelletheizung besitzen.

In anderer Schreibweise: $P_S(\mathrm{H})$.

Es gilt:

$\quad P(\mathrm{H}|\mathrm{S})=\frac{|\mathrm{H} \cap \mathrm{S}|}{|\mathrm{S}|}=\frac{1600}{2200}=\frac{8}{11}$

oder

$\quad P_S(\mathrm{H})=\frac{P(\mathrm{H}\cap\mathrm{S})}{P(S)}=\frac{\frac{4}{15}}{\frac{11}{30}}=\frac{8}{11}$

Nach der 1. und 2. Pfadregel für Baumdiagramme gilt:

$P(\mathrm{B})=0{,}6\cdot p+0{,}2\cdot (1-p)$

Nachdem $P(\mathrm B)$ mit $0{,}3$ vorgegeben ist, gilt folgende nach $p$ aufzulösende Gleichung:

Das Ereignis $\mathrm{B}$ hat die Wahrscheinlichkeit $0{,}3$, wenn $p$ gleich $0{,}25$ ist.

Aus der Teilaufgabe a) weißt du, dass gilt:

$P(\mathrm{B})=0{,}4p+0{,}2$.

Als Wahrscheinlichkeitswert für das Ereignis $\mathrm{A}$ gilt für $p$:

$0\leq p \leq 1$.

Wenn $p=1$ ($\mathrm{A}$ ist dann das sichere Ereignis) hat die Summe $0{,}4p+0{,}2$ ihren größten Wert, nämlich $0{,}6$.

Der größte Wert für $P(\mathrm{B})$ ist demnach $0{,}6$.