Aufgaben zur Symmetrie

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Entscheide, ob der Graph der ganzrationalen Funktion $f$ punktsymmetrisch bzgl. des Ursprungs oder achsensymmetrisch bzgl. der $y$ -Achse ist oder ob keine der beiden Symmetrien vorliegt.
1. $f (x) = 3$
  Achsensymmetrisch zur y-Achse
  Punktsymmetrisch zum Ursprung
  keine Symmetrie
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie
  In dieser Lösung wird die Symmetrie der Funktion durch Betrachtung der Exponenten und durch Berechnung überprüft.
  Durch Betrachtung der Exponenten
  Die Funktion ist eine Parallele zur $x$ -Achse, und somit sicher achsensymmetrisch zur $y$ -Achse.
  In der Funktion $f (x) = 3$ ist $x$ nicht enthalten. Bekannterweise ist $x^{0} = 1$ . Wir können die Funktion also folgendermaßen ergänzen:
  $f (x) = 3 \cdot 1 = 3 \cdot x^{0^{}}$
  Der Exponent von $x$ ist $0$ , also gerade.
  $\Rightarrow$ Achsensymmetrie bezüglich der $y$ -Achse
  Durch Berechnung
  $f (x) = 3$
  Setze $- x$ in $f (x)$ ein.
  $f (- x) = 3$
  $f (- x) = f (x)$
  $\Rightarrow$ Achsensymmetrie zur $y$ -Achse
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2. $f (x) = 15 x$
  Achsensymmetrisch zur y-Achse
  Punktsymmetrisch zum Ursprung
  keine Symmetrie
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie
  In dieser Lösung wird die Symmetrie der Funktion durch Betrachtung der Exponenten und durch Berechnung überprüft.
  Durch Betrachtung der Exponenten
  Der Exponent von $x$ sind ungerade.
  $\Rightarrow$ Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs.
  Durch Berechnung
  $f (x) = 15 x$
  Setze $- x$ in $f (x)$ ein.
  $f (- x) = 15 (- x) = - 15 x$
  $- f (x) = - 15 x$
  $f (- x) = - f (x)$
  $\Rightarrow$ Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs
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3. $f (x) = 4 x + 1$
  Achsensymmetrie zur y-Achse
  Punktsymmetrie zum Ursprung
  keine Symmetrie
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie
  In dieser Lösung wird die Symmetrie der Funktion durch Betrachtung der Exponenten und durch Berechnung überprüft.
  Durch Betrachtung der Exponenten
  Bekannterweise ist $x^{0} = 1$ . Man kann also die Funktion folgendermaßen ergänzen:
  $f (x) = 4 x + 1 \cdot x^{0}$
  Ein Exponent zur Basis $x$ ist ungerade, ein Exponent ist gerade.
  $\Rightarrow$ Es liegt keine Achsensymmetrie zur $y$ -Achse und keine Punktsymmetrie zum Ursprung vor.
  Durch Berechnung
  $f (x) = 4 x + 1$
  Setze $- x$ in $f (x)$ ein.
  $f (- x) = 4 \cdot (- x) + 1 = - 4 x + 1$
  $f (- x) \neq f (x)$
  $\Rightarrow$ Keine Achsensymmetrie zu $y$ -Achse
  $- f (x) = - (4 x + 1) = - 4 x - 1$
  $f (- x) \neq - f (x)$
  $\Rightarrow$ Keine Punktsymmetrie zum Ursprung
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4. $f (x) = - 6 x^{2}$
  Achsensymmetrisch zur y-Achse
  Punktsymmetrisch zum Ursprung
  keine Symmetrie
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie
  In dieser Lösung wird die Symmetrie der Funktion durch Betrachtung der Exponenten und durch Berechnung überprüft.
  Durch Betrachtung der Exponenten
  Der Exponent von $x$ ist gerade.
  $\Rightarrow$ Achsensymmetrie bezüglich der y-Achse.
  Durch Berechnung
  $f (x) = - 6 x^{2}$
  Setze $- x$ in $f (x)$ ein.
  $f (- x) = - 6 (- x)^{2} = - 6 x^{2}$
  $f (- x) = f (x)$
  $\Rightarrow$ Achsensymmetrie zur y-Achse
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5. $f (x) = 6 x^{3} - 3,5 x$
  Achsensymmetrie zur y-Achse
  Punktsymmetrie zum Ursprung
  keine Symmetrie
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie
  In dieser Lösung wird die Symmetrie der Funktion durch Betrachtung der Exponenten und durch Berechnung überprüft.
  Durch Betrachtung der Exponenten
  Alle Exponenten von $x$ sind ungerade.
  $\Rightarrow$ Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs.
  Durch Berechnung
  $f (x) = 6 x^{3} - 3,5 x$
  Setze $- x$ in $f (x)$ ein.
  $f (- x) = 6 {(- x)}^{3} - 3,5 (- x)$
  $= - 6 x^{3} + 3,5 x = (- 1) \cdot (6 x^{3} - 3,5 x) = - f (x)$
  $\Rightarrow$ Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs.
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6. $f (x) = - 4 x^{4} - 8$
  Achsensymmetrisch zur y-Achse
  Punktsymmetrisch zum Ursprung
  keine Symmetrie
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie
  In dieser Lösung wird die Symmetrie der Funktion durch Betrachtung der Exponenten und durch Berechnung überprüft.
  Durch Betrachtung der Exponenten
  Alle Exponenten zur Basis $x$ sind gerade.
  $\Rightarrow$ Achsensymmetrie zur $y$ -Achse.
  Durch Berechnung
  $f (x) = - 4 x^{4} - 8$
  Setze $- x$ in $f (x)$ ein.
  $f (- x) = - 4 \cdot (- x)^{4} - 8$
  $= - 4 x^{4} - 8 = f (x)$
  $\Rightarrow$ Achsensymmetrie bezüglich der $y$ -Achse.
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7. $f (x) = 6 x^{2} + 10 - 7 x^{4}$
  Achsensymmetrisch zur y-Achse
  Punktsymmetrisch zum Ursprung
  keine Symmetrie
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie
  In dieser Lösung wird die Symmetrie der Funktion durch Betrachtung der Exponenten und durch Berechnung überprüft.
  Durch Betrachtung der Exponenten
  Alle Exponenten zur Basis $x$ sind gerade.
  $\Rightarrow$ Achsensymmetrie bezüglich der $y$ -Achse.
  Durch Berechnung
  $f (x) = 6 x^{2} + 10 - 7 x^{4}$
  Setze $- x$ in $f (x)$ ein.
  $f (- x) = 6 \cdot (- x)^{2} + 10 - 7 \cdot (- x)^{4}$
  $= 6 x^{2} + 10 - 7 x^{4} = f (x)$
  $\Rightarrow$ Achsensymmetrie zur $y$ -Achse
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8. $f (x) = - x^{5} + 2 x^{4} - 3 x^{3} + x^{2}$
  Achsensymmetrie zur y-Achse
  Punktsymmetrie zum Ursprung
  keine Symmetrie
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie
  In dieser Lösung wird die Symmetrie der Funktion durch Betrachtung der Exponenten und durch Berechnung überprüft.
  Durch Betrachtung der Exponenten
  Da nicht alle Exponenten zur Basis $x$ ungerade sind, ist $f$ nicht punktsymmetrisch zum Ursprung.
  Da ebenso nicht alle Exponenten zur Basis $x$ gerade sind, ist $f$ nicht achsensymmetrisch bezüglich zur $y$ -Achse.
  Insgesamt besitzt $f$ also keine Symmetrie bezüglich der $y$ -Achse und ist nicht punktsymmetrisch zum Ursprung.
  Durch Berechnung
  $f (x) = - x^{5} + 2 x^{4} - 3 x^{3} + x^{2}$
  Setze $- x$ in $f (x)$ ein.
  $f (- x) = - (- x)^{5} + 2 (- x)^{4} - 3 (- x)^{3} + (- x)^{2}$
  $= x^{5} + 2 x^{4} + 3 x^{3} + x^{2}$
  Das ist weder $f$ , noch $- f$ . Also liegt keine Symmetrie bezüglich der $y$ -Achse und keine Punktsymmetrie zum Ursprung vor.
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9. $f (x) = (2 x - 3)^{2}$
  Achsensymmetrie zur y-Achse
  Punktsymmetrie zum Ursprung
  keine Symmetrie
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie
  In dieser Lösung wird die Symmetrie der Funktion durch Betrachtung der Exponenten und durch Berechnung überprüft.
  $f (x) = (2 x - 3)^{2}$
  
  Benutze die 2. binomische Formel, um die Klammer aufzulösen.
  $f (x) = 4 x^{2} - 12 x + 9$
  Durch Betrachtung der Exponenten
  Die Exponenten zur Basis $x$ sind sowohl gerade als auch ungerade.
  $\Rightarrow$ Keine Achsensymmetrie zur $y$ -Achse und keine Punktsymmetrie zum Ursprung.
  Durch Berechnung
  $f (x) = 4 x^{2} - 12 x + 9$
  Setze $- x$ in $f (x)$ ein.
  $f (- x) = 4 (- x)^{2} - 12 (- x) + 9$
  Rechne aus
  $f (- x) = 4 x^{2} + 12 x + 9$
  $f (- x) \neq f (x)$
  $\Rightarrow$ Keine Achsensymmetrie zur y-Achse
  $- f (x) = - (4 x^{2} - 12 x + 9)$
  $- f (x) = - 4 x^{2} + 12 x - 9$
  $f (- x) \neq - f (x)$
  $\Rightarrow$ Keine Punktsymmetrie zum Ursprung
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10. $f (x) = x^{5} (x + 3) (x + 2)$
  Achsensymmetrisch zur y-Achse
  Punktsymmetrisch zum Ursprung
  keine Symmetrie
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie
  In dieser Lösung wird die Symmetrie der Funktion durch Betrachtung der Exponenten und durch Berechnung überprüft.
  $f (x) = x^{5} (x + 3) (x + 2)$
  Multipliziere aus, um die Überprüfung einfacher zu machen.
  $f (x) = x^{5} (x + 3) (x + 2) = (x^{6} + 3 x^{5}) \cdot (x + 2) = x^{7} + 2 x^{6} + 3 x^{6} + 6 x^{5} = x^{7} + 5 x^{6} + 6 x^{5}$
  Durch Betrachtung der Exponenten
  Da nicht alle Exponenten zur Basis $x$ ungerade sind, ist $f$ nicht punktsymmetrisch zum Ursprung.
  Da ebenso nicht alle Exponenten zur Basis $x$ gerade sind, ist $f$ nicht achsensymmetrisch bezüglich der $y$ -Achse.
  Insgesamt besitzt $f$ also keine Symmetrie bezüglich der $y$ -Achse und ist nicht punktsymmetrisch zum Ursprung.
  Durch Berechnung
  $f (x) = x^{7} + 5 x^{6} + 6 x^{5}$
  Setze $- x$ in $f (x)$ ein.
  $f (- x) = {(- x)}^{7} + 5 {(- x)}^{6} + 6 {(- x)}^{5}$
  $= - x^{7} + 5 x^{6} - 6 x^{5}$
  Das ist weder $f$ , noch $- f$ . Also liegt keine Symmetrie bezüglich der $y$ -Achse und keine Punktsymmetrie zum Ursprung vor.
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11. $f (x) = x^{7} - 3 x^{5} + x$
  Achsensymmetrisch zur y-Achse
  Punktsymmetrisch zum Ursprung
  keine Symmetrie
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie
  In dieser Lösung wird die Symmetrie der Funktion durch einfache Betrachtung der Exponenten und durch Berechnung überprüft.
  Durch Betrachtung der Exponenten
  Alle Exponenten zur Basis $x$ sind ungerade.
  $\Rightarrow$ Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs.
  Durch Berechnung
  $f (x) = x^{7} - 3 x^{5} + x$
  Setze $- x$ in $f (x)$ ein.
  $f (- x) = {(- x)}^{7} - 3 {(- x)}^{5} + (- x)$
  $= [(- 1) \cdot x]^{7} - 3 [(- 1) \cdot x]^{5} + (- 1) \cdot x$
  $= (- 1)^{7} \cdot x^{7} - 3 \cdot (- 1)^{5} \cdot x^{5} + (- 1) \cdot x$
  $= (- 1) \cdot x^{7} - 3 \cdot (- 1) \cdot x^{5} + (- 1) \cdot x$
  $= (- 1) \cdot (x^{7} - 3 x^{5} + x) = - f (x)$
  $\Rightarrow$ Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs.
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12. $f (x) = - \frac{2}{3} x^{5} + \frac{3}{4} x$
  keine Symmetrie
  Punktsymmetrisch zum Ursprung
  Achsensymmetrisch zur y-Achse
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie
  In dieser Lösung wird die Symmetrie der Funktion durch Betrachtung der Exponenten und durch Berechnung überprüft.
  Durch Betrachtung der Exponenten
  Alle Exponenten zur Basis $x$ sind ungerade.
  $\Rightarrow$ Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs.
  Durch Berechnung
  $f (x) = - \frac{2}{3} x^{5} + \frac{3}{4} x$
  Setze $- x$ in $f (x)$ ein.
  $f (- x) = - \frac{2}{3} (- x)^{5} + \frac{3}{4} (- x)$
  $= \frac{2}{3} x^{5} - \frac{3}{4} x$
  $= - (- \frac{2}{3} x^{5} + \frac{3}{4} x) = - f (x)$
  $\Rightarrow$ Der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung.
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13. $f (x) = \frac{1}{2} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} - 3$
  Achsensymmetrisch zur y-Achse
  Punktsymmetrisch zum Ursprung
  keine Symmetrie
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie
  In dieser Lösung wird die Symmetrie der Funktion durch Betrachtung der Exponenten und durch Berechnung überprüft.
  Durch Betrachtung der Exponenten
  Da nicht alle Exponenten zur Basis $x$ ungerade sind, ist $f$ nicht punktsymmetrisch zum Ursprung.
  Da ebenso nicht alle Exponenten zur Basis $x$ gerade sind, ist $f$ nicht achsensymmetrisch bezüglich der $y$ -Achse.
  Insgesamt besitzt $f$ also keine Symmetrie bezüglich der $y$ -Achse und ist nicht punktsymmetrisch zum Ursprung.
  Durch Berechnung
  $f (x) = \frac{1}{2} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} - 3$
  Setze $- x$ in $f (x)$ ein.
  $f (- x) = \frac{1}{2} {(- x)}^{3} - \frac{1}{2} (- x)^{2} - 3$
  $= - \frac{1}{2} x^{3} - \frac{1}{2} x - 3$
  Das ist weder $f$ , noch $- f$ . Also liegt keine Symmetrie bezüglich der $y$ -Achse und keine Punktsymmetrie zum Ursprung vor.
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2
Gegeben ist die Funktion $f (x) = 2 x^{6} - 3 x^{5} + x^{2} - 10$ .
1. Begründe, warum die Funktion nicht symmetrisch zur y-Achse ist.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Achsensymmetrie von Graphen
  Die Funktion $f$ ist nicht achsensymmetrisch zur $y$ -Achse, da ein Exponent $(5)$ ungerade ist, aber alle anderen Exponenten gerade sind.
  Überprüfung:
  Wenn $f$ achsensymmetrisch ist, muss $f (x) = f (- x)$ sein.
  $\begin{array}{l} f (- x) = 2 (- x)^{6} - 3 (- x)^{5} + (- x)^{2} - 10 \\ = 2 x^{6} + 3 x^{5} + x^{2} - 10 \\ \neq f (x) \end{array}$
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2. Verändere die Funktionsgleichung an möglichst wenig Stellen um eine zur y-Achse symmetrische Funktion zu bekommen.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Achsensymmetrie von Graphen
  Man muss nur den Exponenten $5$ zu einer geraden Zahl abändern.
  Mögliche Lösung: $f (x) = 2 x^{6} - 3 x^{4} + x^{2} - 10$
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