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Analysis, Teil A, Aufgabengruppe 1

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Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

  1. 1

    Gegeben ist die Funktion f:xe2xx mit Definitionsbereich Df={0}.

    Bestimmen Sie Lage und Art des Extrempunktes des Graphen von f.

    (5 BE)

  2. 2

    Gegeben ist die in {0} definierte Funktion f:x11x2,

    welche die Nullstellen x1=1 und x2=1 hat.

    Abb. 1

    Abbildung1 zeigt den Graphen von f, der symmetrisch bezüglich der y-Achse ist.

    Weiterhin ist die Gerade g mit der Gleichung y=3 gegeben.

    a)

    Zeigen Sie, dass einer der Punkte, in denen g den Graphen von f schneidet, die x-Koordinate 12 hat.

    b)

    Bestimmen Sie rechnerisch den Inhalt der Fläche, die der Graph von f, die x-Achse und die Gerade g einschließen.

  3. 3

    a)

    (3 BE)

    Betrachtet wird eine Schar von Funktionen hk mit k+, die sich nur in ihren jeweiligen Definitionsbereichen Dk unterscheiden.

    Es gilt hk:xcosx mit Dk=[0;k].

    Abbildung 4 zeigt den Graphen der Funktion h7. Geben Sie den größtmöglichen Wert von k an, sodass die zugehörige Funktion hk umkehrbar ist. Zeichnen Sie für diesen Wert von k den Graphen der Umkehrfunktion von hk in Abbildung 4 ein und berücksichtigen Sie dabei insbesondere den Schnittpunkt der Graphen von Funktion und Umkehrfunktion.

    Abb.4

    b)

    (2 BE)

    Geben Sie den Term einer in definierten und umkehrbaren Funktion j an, die folgende Bedingung erfüllt: Der Graph von j und der Graph der Umkehrfunktion von j haben keinen gemeinsamen Punkt.

  4. 4

    Die nebenstehende Abbildung 2 zeigt den Graphen einer Funktion f.

    Bild
    1. Einer der folgenden Graphen I, II und III gehört zur ersten Ableitungsfunktion von f. Geben Sie diesen Graphen an. Begründen Sie, dass die beiden anderen Graphen dafür nicht infrage kommen.

      Bild
    2. Die Funktion F ist eine Stammfunktion von f. Geben Sie das Monotonieverhalten von F im Intervall [1;3] an. Begründen Sie Ihre Angabe.


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