Aufgaben zur Betragsfunktion - lernen mit Serlo!

$\mathrm{f}(\mathrm{x})=3\cdot(\mathrm{x}^2-4)\cdot(\left|\mathrm{x}\right|+1)$

Untersuche $\mathrm f(\mathrm x)$ auf Stetigkeit und Differenzierbarkeit.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktion betragsfrei machen

$\mathrm f\left(\mathrm x\right)=3\cdot\left(\mathrm x^2-4\right)\left(\left|\mathrm x\right|+1\right)$

Um den Betrag zu eliminieren muss eine Fallunterscheidung ( für x $\geq$ 0 und x < 0 durchgeführt werden.

Fall x $\geq$ 0

Da x $\geq$ 0 ist, kann der Betrag weggelassen werden.

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle 3\cdot\left(\mathrm{x}^2-4\right)\left(\mathrm{x}+1\right)$
	↓	Die Klammern ausmultiplizieren.
	$=$	$\displaystyle 3\mathrm{x}^3+3\mathrm{x}^2-12\mathrm{x}-12$

Fall x<0

Da x < 0 ist wird -x für $\left|x\right|$ eingesetzt.

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle 3\cdot\left(\mathrm{x}^2-4\right)\left(-\mathrm{x}+1\right)$
	↓	Die Klammern ausmultiplizieren.
	$=$	$\displaystyle -3\mathrm{x}^3+3\mathrm{x}^2+12\mathrm{x}-12$

Stetigkeit

Für x>0 und x<0 ist f(x) stetig.

Untersucht werden muss nur der Fall x=0.

f(0) berechnen mit Fall x $\geq$ 0

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle 3\mathrm{x}^3+3\mathrm{x}^2-12\mathrm{x}-12$
$\displaystyle f\left(0\right)$	$=$	$\displaystyle -12$

Annäherung an 0 von links

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow0^-}f\left(x\right)$	$=$
	↓	Es muss der Term ausgewählt werden, der für x<0 gilt.
	$=$	$\displaystyle \lim_{\mathrm{x}\rightarrow0^-}\left(-3\mathrm{x}^3+3\mathrm{x}^2+12\mathrm{x}-12\right)$
	↓	0 einsetzen.
	$=$	$\displaystyle -12$

Annäherung an 0 von rechts

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow0^+}f\left(x\right)$	$=$
	↓	Es muss der Term ausgewählt werden, der für x>0 gilt.
	$=$	$\displaystyle \lim_{x\rightarrow0^+}\left(3x^3+3x^2-12x-12\right)$
	↓	0 einsetzen.
	$=$	$\displaystyle -12$

$\lim_{x\rightarrow0^-}f\left(x\right)=\lim_{x\rightarrow0^+}f\left(x\right)=f\left(0\right)\;\;\Rightarrow\;\;$ f ist bei 0 stetig .

Differenzierbarkeit

$\mathrm f\left(\mathrm x\right)=3\cdot\left(\mathrm x^2-4\right)\left(\left|\mathrm x\right|+1\right)$

Es muss eine Fallunterscheidung für x durchgeführt werden.

Fall: x $\geq$ 0

Siehe Teilaufgabe a.

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle 3\mathrm{x}^3+3\mathrm{x}^2-12\mathrm{x}-12$
	↓	Erste Ableitung bilden.
$\displaystyle \mathrm{f}`\left(\mathrm{x}\right)$	$=$	$\displaystyle 9\mathrm{x}^2+6\mathrm{x}-12$

Fall: x<0

Siehe Teilaufgabe a.

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle -3\mathrm{x}^3+3\mathrm{x}^2+12\mathrm{x}-12$
	↓	Erste Ableitung bilden.
$\displaystyle f´\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle -9\mathrm{x}^2+6\mathrm{x}+12$

Fall x=0

Das Verhalten der Steigung an der Stelle x=0 muss wegen des Betrages gesondert untersucht werden. Hierzu muss man für diesen Punkt die Ableitung durch Annäherung von links und rechts betrachten.

Bei Annäherung von links, muss $\mathrm f`\left(\mathrm x\right)=-9\mathrm x^2+6\mathrm x+12$ betrachtet werden, da x<0.

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow0^-}\left(-9x^2+6x+12\right)$	$=$	$\displaystyle 12$
	↓	Bei Annäherung von rechts, muss $\mathrm f`\left(\mathrm x\right)=9\mathrm x^2+6\mathrm x-12$ betrachtet werden, da x>0.
$\displaystyle \lim_{x\rightarrow0^+}\left(9x^2+6x-12\right)$	$=$	$\displaystyle -12$

$\;\;\Rightarrow\;\;$ Nicht differenzierbar, da $\lim_{x\rightarrow0^-}f'\left(x\right)\neq\lim_{x\rightarrow0^+}f'\left(x\right)$

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$\displaystyle 3\cdot\left(x^2-4\right)\left(x+1\right)$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Benutze die 3. Binomische Formel um $x^{2} - 4$ aufzulösen.
$\displaystyle 3\cdot\left(x+2\right)\left(x-2\right)\left(x+1\right)$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Lies die Nullstellen aus den Linearfaktoren ab.
$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle -2$
$\displaystyle x_2$	$=$	$\displaystyle 2$
	↓	Nur $x_{2} = 2$ ist hier eine gültige Lösung, da >0.
$\displaystyle x_3$	$=$	$\displaystyle -1$

$\displaystyle 3\cdot\left(x^2-4\right)\left(-x+1\right)$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Benutze die 3. Binomische Formel um $x^{2} - 4$ aufzulösen.
$\displaystyle 3\cdot\left(x+2\right)\left(x-2\right)\left(-x+1\right)$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Lies die Nullstellen aus den Linearfaktoren ab.
$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle -2$
	↓	Nur ${\mathrm x}_1=-2$ ist hier eine gültige Lösung, da <0.
$\displaystyle x_2$	$=$	$\displaystyle 2$
$\displaystyle x_3$	$=$	$\displaystyle 1$

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle 3\cdot\left(\mathrm{x}^2-4\right)\cdot\left(\left\|\mathrm{x}\right\|+1\right)$
	↓	-x für x einsetzen.
$\displaystyle f\left(-x\right)$	$=$	$\displaystyle 3\cdot\left(\left(-\mathrm{x}\right)^2-4\right)\cdot\left(\left\|-\mathrm{x}\right\|+1\right)$
$\displaystyle f\left(-x\right)$	$=$	$\displaystyle 3\cdot\left(\mathrm{x}^2-4\right)\cdot\left(\left\|\mathrm{x}\right\|+1\right)$
$\displaystyle f\left(-x\right)$	$=$	$\displaystyle f\left(x\right)$

Fall x ≥\geq≥ 0

Fall x<0

Stetigkeit

f(0) berechnen mit Fall x ≥\geq≥ 0

Annäherung an 0 von links

Annäherung an 0 von rechts

Differenzierbarkeit

Fall: x ≥\geq≥ 0

Fall: x<0

Fall x=0

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Fall: x ≥\geq≥ 0

Fall: x<0

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Fall x $\geq$ 0

f(0) berechnen mit Fall x $\geq$ 0

Fall: x $\geq$ 0

Fall: x $\geq$ 0