Teil B, Gruppe 3

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Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

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Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Berechne die Unbekannte $x$ .
82 - (44,5 + 0,625x) : 0,25 = (-2) ⋅ (-6,5x +17)
=x

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Gleichungen
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Lösung als Text
Zunächst Auflösen der beiden Klammern: Bei der auf der linken Seite muss jedes Element in der Klammer durch 0,25 dividiert werden. Auf der auf der rechten Seite jedes Element der Klammer mit -2 multiplziert werden.
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Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Ein Joghurt darf nur dann die Bezeichnung „Fruchtjoghurt“ tragen, wenn er mindestens 6 % Früchte enthält.
1. Handelt es sich bei dem abgebildeten Joghurt um einen Fruchtjoghurt? Begründe mit Hilfe einer Rechnung.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozentrechnung
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  Gesucht ist der Prozentsatz an Früchten, der dann mindestens 6% betragen soll, damit es sich um einen Fruchtjoghurt handelt.
  Berechnung mit Dreisatz:
  $\def\arraystretch{2} \begin{array}{lll} 500\ g\ \hat{=}\ 100 \% \\ \\ 1\ g\ \hat{=}\ \dfrac{100\%}{500} \\ \\ 34\ g\ \hat{=}\ \dfrac{100\% \cdot 34}{500} \end{array}$
  Andere Berechnung mithilfe der Prozentformel:
  Der Joghurt darf sich Fruchtjoghurt nennen.
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2. Ein Joghurthersteller steigert den Fruchtanteil im Erdbeerjoghurt um 4 % und verwendet jetzt 26 g Erdbeeren für einen Becher Joghurt.
  Ermittle, wie viel Gramm Erdbeeren vorher in einem Becher Joghurt enthalten waren.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozentrechnung
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  Die angegebenen 26 g entsprechen wegen der Steigerung um 4% einem Prozentsatz von 104%. Gesucht ist der Grundwert, also 100%.
  $\def\arraystretch{2} \begin{array}{lll} 104\%\ \hat{=}\ 26\ g \\ \\ 1\%\ \hat{=}\ \dfrac{ 26\ g}{104} \\ \\ 100\%\ \hat{=}\ \dfrac{26\ g \cdot 100}{104}\ =\ 25\ g \end{array}$
  Andere Berechnung mithilfe der Prozentformel:
  $G\ = \dfrac{P_W\cdot100\%}{p}\ =\ \dfrac{26\ g\cdot100\%}{104\%}\ =\ 25\ g$
  Vorher waren in einem Becher Joghurt 25 g Früchte enthalten.
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3. Vier Freunde bereiten gemeinsam Fruchtjoghurt mit einem Fruchtanteil von 30% zu. Sie verwenden dazu 270 g Erdbeeren.
  Berechne, wie viel Gramm Fruchtjoghurt jeder der Freunde bei gleicher Verteilung bekommt.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozentrechnung
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  Die 270 g Früchte entsprechen 30% des fertigen Joghurts. Gesucht ist wieder der Grundwert, also 100%.
  $\def\arraystretch{2} \begin{array}{lll} 30\%\ \hat{=}\ 270\ g \\ \\ 1\%\ \hat{=}\ \dfrac{ 270\ g}{30} \\ \\ 100\%\ \hat{=}\ \dfrac{270\ g \cdot 100}{30}\ =\ 900\ g \end{array}$
  Andere Berechnung mithilfe der Prozentformel:
  $G\ = \dfrac{P_W\cdot100\%}{p}\ =\ \dfrac{270\ g\cdot100\%}{30\%}\ =\ 900\ g$
  Da es sich um vier Personen handelt:
  Jeder der vier Freunde bekommt also 225 g Joghurt.
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Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Eine Eisdiele lässt ein Logo für ihr Schaufenster anfertigen, das aus drei deckungsgleichen Figuren besteht. Berechne den Flächeninhalt dieses Logos.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächeninhalt zusammengesetzter Figuren
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Die Fläche des Logos besteht aus drei Halbkreisen und drei Dreiecken.
$A_\text{gesamt}\ =\ 3\ \cdot\ A_\text{Halbkreis}\ +\ 3\cdot\ A_\text{Dreieck}$
Die Fläche eines Halbkreises berechnet sich zu
$A_{\text{Halbkreis}}\ =\ \dfrac{\pi\cdot\ r^2}{2}\ =\ \dfrac{3{,}14\ \cdot\ 35^{2\ }\text{cm}^2}{2}\ =\ 1923{,}25\ \text{cm}^2$ . Dabei wurde der Radius als halber Durchmesser aus dem Bild entnommen.
Die Fläche eines Dreiecks berechnet sich mit
$A_\text{Dreieck\ }=\ \dfrac{g\cdot\ h}{2}$
Die Grundseite $g$ ist $70~\text{cm}$ lang, die Höhe $h$ wird mit dem Satz des Pythagoras berechnet:
$h^2\ =\ 91^2~\text{cm}^2\ -\ 35^{2}~\text{cm}^2$
$h\ =\sqrt{91^2~\text{cm}^2\ -\ 35^{2}~\text{cm}^2} = \sqrt{7056~\text{cm}^2}\ =\ 84~\text{cm}$
Damit beträgt die Fläche eines Dreiecks:
$A_\text{Dreieck}\ =\ \dfrac{g\ \cdot\ h}{2}\ =\ \dfrac{70~\text{cm}~\cdot~84~\text{cm}}{2}\ =\ 2940~\text{cm}^2$ .
Somit beträgt die Gesamtfläche
$A_\text{gesamt}= 3\cdot 1923{,}25~\text{cm}^2+ 3\cdot 2940~\text{cm}^2 =\\ \phantom{A_\text{gesamt}}= 3\cdot\left( 1923{,}25~\text{cm}^2+ 2940~\text{cm}^2\right) =\\ \phantom{A_\text{gesamt}}=14589{,}75~\text{cm}^2$
Die Gesamtfläche des Logos beträgt $14589{,}75~\text{cm}^2$ .
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Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Die folgende Tabelle zeigt Klimadaten aus Oberstdorf.
1. Berechne den Unterschied zwischen den Durchschnittstemperaturen des wärmsten und kältesten Monats.
  
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  Für diese Aufgabe muss du wissen, wie man den Durchschnitt von mehreren Zahlen berechnet und die Prozentrechnung beherrschen.
  Die Durchschnittstemperatur des kältesten Monats betrug -2,9° C, die des wärmsten 15,9° C.
  Der Unterschied beträgt
  $15{,}9°\ C\ -\ \left(-\ 2{,}9°\ C\right)\ =\ 18{,}8°\ C$
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2. Ermittle den Durchschnitt der monatlichen Niederschlagsmengen.
  
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  Der Durchschnitt berechnet sich, indem man alle Werte der zwölf Monate addiert und dann durch zwölf dividiert.
  $Summe\ Nierderschläge\ =\ \left(61\ +\ 56\ +\ 61\ +\ 76\ +\ 102\ +\ 115\ +\ 122\ +\ 125\ +\ 93\ +\ 69\ +\ 70\ +\ 73\right)\ mm$ $Summe\ Niederschläge\ =\ 1023\ mm$
  $Durchschnitt\ =\ \frac{1023\ mm}{12}\ =\ 85{,}25\ mm$
  Die durchschnittliche Niederschlagsmenge betrug 85,25 mm.
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3. Betrachtet man das ganze Jahr, regnet es durchschnittlich 14,5 Tage pro Monat.
  Berechne die Anzahl der Regentage im Juni.
  
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  Bei 14,5 Regentagen pro Jahr ist die Gesamtmenge an Regentagen
  $12\ \cdot\ 14{,}5\ Regentage\ =\ 174\ Regentage$
  Um die Regentage vom Juni zu ermitteln, muss man die Summe der übrigen Regentage subtrahieren.
  $174 - (17 + 15 + 13 + 14 + 15 + 16 + 15 + 12 + 13 + 14 + 14) = 174 - 158 = 16$
  Die Anzahl Regentage im Juni betrug 16.
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4. Bestimme für den Monat April den prozentualen Anteil der Tage, an denen es nicht regnet.
  
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  Im April hat es an 14 Tagen geregnet, also an 16 Tagen kein Regen.
  An 53,33 % der Tage des April hat es nicht geregnet.
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