Teil B, Gruppe 2 - lernen mit Serlo!

Ein Werkstück besteht aus einem regelmäßigen sechseckigen Prisma und einer aufgesetzten Pyramide (siehe Abbildung).

Berechne das Volumen des Werkstücks.

Maße in cm

Hinweis: Skizze nicht maßstabsgetreu

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Volumenformel

Die Lösung zu dieser Aufgabe gibt es als Video und als Text.

Lösung als Video

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[https://youtu.be/86hgISOt63Y]

Lösung als Text

Um das Volumen für das Werkstück zu berechnen, musst du zuerst die Größe der sechseckigen Grundfläche kennen und anschließend die entsprechenden Volumenformeln nutzen.

Berechnung der Grundfläche

Die Grundfläche ist für beide Körper gleich und besteht aus sechs gleichseitigen Dreiecken.

Die Formel für die Fläche eines Dreiecks lautet

\displaystyle A_{Dreieck}=\frac{g\cdot h}2

Die Grundseite g beträgt 15 cm, die Höhe h ist aber unbekannt. Diese kannst du mit dem Satz des Pythagoras berechnen:

\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}h^2=15^2-7{,}5^2\\h=\sqrt{168{,}75}\approx13\end{array}

Die Fläche eines einzelnen Dreiecks kann man nun mit der Dreiecksformel berechnen

\displaystyle A_{Dreieck}=\frac{15\;cm\cdot13\;cm}2=97{,}7\;cm^2

Da die Grundfläche beider Körper aus sechs solcher Dreiecken besteht, musst du noch mit 6 multiplizieren.

\displaystyle G=6\cdot97{,}5\;cm^2=585\;cm^2

Berechnung des Volumens

Die Formel für die Berechnung des Volumens des Prismas lautet.

\displaystyle V_{Prisma}=G\cdot h

\displaystyle V_{Prisma}=585\;cm^2\cdot5\;cm=2925\;cm^3

Die Formel für die Berechnung des Volumens der Pyramide lautet.

\displaystyle V_{Pyramide}=\frac13\cdot G\cdot h

\displaystyle V_{Pyramide}=\frac13\cdot585\;cm^2\cdot20\;cm=3900\;cm^3

Nun musst du noch das Volumen beider Körper addieren.

\displaystyle V_{gesamt}=2925\;cm^3+3900\;cm^3=6825\;cm^3

Das Volumen des Werkstücks beträgt somit $6825 \ cm^3$ .

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