Bestimme den Scheitel:

%%f(x)=x^2-3x-\frac34%% (mit quadratischer Ergänzung)

%%f(x)=x^2-3x-\frac34%%

%%\hphantom{f(x)}=x^2-2\cdot1,5x+1,5^2-1,5^2-\frac34%%

Fasse zur 2. binomischen Formel zusammen.

%%\hphantom{f(x)}=\left(x-1,5\right)^2-2,25-\frac34%%

Fasse zusammen.

%%\hphantom{f(x)}=\left(x-1,5\right)^2-3%%

Lies den Scheitel ab.

%%\Rightarrow S=\left(1,5|-3\right)%%

%%f(x)=-\frac14x^2+6x-11%%

%%f(x)=-\frac14x^2+6x-11%%

%%\hphantom{f(x)}=-\frac14\left(x^2-24x\right)-11%%

%%\hphantom{f(x)}=-\frac14\left(x^2-2\cdot12x+12^2-12^2\right)-11%%

Multipliziere die Klammer aus.

%%\hphantom{f(x)}=-\frac14\left(x^2-2\cdot12x+12^2\right)+36-11%%

Fasse zusammen.

%%\hphantom{f(x)}=-\frac14\left(x^2-2\cdot12x+12^2\right)+25%%

Fasse zur 2. binomischen Formel zusammen

%%\hphantom{f(x)}=-\frac14\left(x-12\right)^2+25%%

Lies den Scheitelpunkt ab.

%%\Rightarrow S=\left(12|25\right)%%

%%f(x)=\frac12x^2+4x-24%%  (mit Hilfe der Nullstellen)

%%f(x)=\frac12x^2+4x-24%%

$$\begin{align}x&=\frac{-4\pm\sqrt{16+4\cdot0,5\cdot24}}{2\cdot0,5}\\&=\frac{-4\pm\sqrt{64}}{1}\\&=-4\pm8\end{align}$$

Der Mittelpunkt der beiden Nullstellen ist der Scheitelpunkt : %%\frac{-12 + 4}{2} = \frac{-8}{2} = -4%%.

Berechne die y-Koordinate des Scheitelpunktes.

$$\begin{align}f(-4)&=0,5 \cdot \left(-4\right)^2+4\cdot\left(-4\right)-24\\&=-32\end{align}$$

%%\Rightarrow S=\left(-4|-32\right)%%

%%f\left(x\right)=-2x^2+8x+10%%

%%f\left(x\right)=-2x^2+8x+10%%

Klammere die %%-2%% aus den ersten beiden Summanden aus.

%%\hphantom{f(x)}=-2\left(x^2-4x\right)+10%%

Ergänze mit dem Quadrat der Hälfte von %%4%%.

%%\hphantom{f(x)}=-2\left(x^2-4x+2^2-2^2\right)+10%%

Wende die 2. binomische Formel an.

%%\hphantom{f(x)}=-2\left[\left(x-2\right)^2-4\right]+10%%

Löse die eckige Klammer auf.

%%\hphantom{f(x)}=-2\left(x-2\right)^2+8+10%%

Bringe den Term auf Scheitelform.

%%\hphantom{f(x)}=-2\left(x-2\right)^2+18%%

Lies den Scheitelpunkt ab.

%%\Rightarrow\;\mathrm S=\left(2\vert18\right)%%

%%f\left(x\right)=3x^2-4x+18%%

%%f\left(x\right)=3x^2-4x+18%%

Klammere %%3%% aus den ersten beiden Summanden aus.

%%\hphantom{f(x)}=3\left(x^2- \frac{4}{3}x\right)+18%%

Ergänze mit dem Quadrat der Hälfte von %%\frac{\mathbf4}{\mathbf3}%%.

%%\hphantom{f(x)}=3\left(x^2-\frac43 x+\left(\frac23\right)^2-\left(\frac23\right)^2\right)+18%%

Wende die 2. binomische Formel an.

%%\hphantom{f(x)}=3\left[\left(x-\frac23\right)^2-\frac49\right]+18%%

Löse die eckige Klammer auf.

%%\hphantom{f(x)}=3\left(x-\frac23\right)^2-\frac43+18%%

Bringe den Term auf Scheitelform .

%%\hphantom{f(x)}=3\left(x-\frac23\right)^2+16\frac23%%

Lies den Scheitelpunkt ab.

%%\;\Rightarrow\;S=\left(\frac23\vert16\frac23\right)%%

%%f\left(x\right)=-5x^2-x-2%%

%%f\left(x\right)=-5x^2-x-2%%

Klammere %%-5%% aus.

%%\hphantom{f(x)}=-5\left(x^2+\frac15x\right)-2%%

Ergänze mit dem Quadrat der Hälfte von %%\frac15%%.

%%\hphantom{f(x)}=(-5)\cdot\left(x^2+\frac15x+\left(\frac1{10}\right)^2-\left(\frac1{10}\right)^2\right)-2%%

Fasse zur 1. binomischen Formel zusammen.

%%\hphantom{f(x)}=-5\left(\left(x+\frac1{10}\right)^2-\left(\frac1{10}\right)^2\right)-2%%

Multpliziere die Klammer aus.

%%\hphantom{f(x)}=-5\left(x+\frac1{10}\right)^2+\frac5{100}-2%%

Berechne die rechte Summe.

%%\hphantom{f(x)}=-5\left(x+\frac1{10}\right)^2-1,95%%

Lies den Scheitelpunkt ab.

%%\Rightarrow S=\;\left(\left.-\frac1{10}\right|-1,95\right)%%

%%f\left(x\right)=2x+0{,}1x^2-10%%

%%f\left(x\right)=2x+0{,}1x^2-10%%

Sortiere den Ausdruck nach Hochzahlen.

%%\hphantom{f(x)}=0{,}1x^2+2x-10%%

Klammere %%0{,}1%% aus den ersten beiden Summanden aus.

%%\hphantom{f(x)}=0{,}1\left(x^2+20x\right)-10%%

Ergänze mit dem Quadrat der Hälfte von 20.

%%\hphantom{f(x)}=0{,}1\left(x^2+20x+10^2-{10}^2\right)-10%%

Wende die 2. binomische Formel an.

%%\hphantom{f(x)}=0{,}1{\left(\left(x+10\right)^2-100\right)}-10%%

Multipliziere die Klammer aus.

%%\hphantom{f(x)}=0{,}1\left(x+10\right)^2-10-10%%

Bringe den Term auf die Scheitelform.

%%\hphantom{f(x)}=0{,}1\left(x+10\right)^2-20%%

Lies den Scheitelpunkt ab.

%%\;\Rightarrow\;S=\left(-10\mid-20\right)%%

%%f(x)=\frac12x^2+3x-4%%

%%\frac12x^2+3x−4=0%%

Bestimme mithilfe der Mitternachtsformel die Nullstellen dieser Gleichung.

%%x_1= \dfrac{-3+\sqrt{3^2-4\cdot0,5\cdot(-4)}}{2\cdot0,5}%%
%%\hphantom{x_1}=-3+\sqrt{17}%%

%%x_2= \dfrac{-3-\sqrt{3^2-4\cdot0,5\cdot(-4)}}{2\cdot0,5}%%
%%\hphantom{x_2} = -3-\sqrt{17}%%

Der Scheitelpunkt liegt genau zwischen den beiden Nullstellen: %%x_s = \frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{-6}{2} = -3%%

Setzt man diesen %%x%%-Wert in die Funktionsgleichung ein, so bekommt man den %%y%%-Wert des Scheitelpunktes:

%%f(x_s)= \frac12 \cdot 9 -9 -4= -8,5%%

%%\Rightarrow S=(-3|-8,5)%%

%%f(x)=\frac23x^2+8x%%

%%f(x)=\frac23x^2+8x%%

Klammere %%\frac23%% aus.

%%\hphantom{f(x)}=\frac23(x^2+12x)%%

%%\hphantom{f(x)}=\frac23(x^2+12x+6^2-6^2)%%

Wende die 1. binomische Formel an.

%%\hphantom{f(x)}=\frac23((x+6)^2-36)%%

Multipliziere die Klammer aus.

 

 

%%\hphantom{f(x)}=\frac23 (x+6)^2 - 24%%

%%f%% ist nun in Scheitelform. Damit kannst du den Scheitelpunkt ablesen.

%%\Rightarrow S=(-6|-24)%%

%%f(x)=\frac56x^2+x-1%%

%%f(x)=\frac56x^2+x-1%%

 

Klammere %%\frac56%% aus.

%%\hphantom{f(x)}=\frac56\left(x^2+\frac65x-\frac65\right)%%

%%\hphantom{f(x)}=\frac56\cdot\left(x^2+\frac65x+(\frac35)^2-(\frac{3}{5})^2-\frac65\right)%%

 

Wende die 1. binomische Formel an.

%%\hphantom{f(x)}=\frac56\cdot\left( \left(x+\frac35\right)^2-\frac{9}{25} -\frac{30}{25} \right)%%

Fasse die negativen Ausdrücke zusammen und multipliziere die Klammer aus.

%%\hphantom{f(x)}=\frac56 (x+\frac35)^2 - \frac56 \cdot \frac{39}{25}%%

%%\hphantom{f(x)}=\frac56 (x+\frac35)^2 - \frac{39}{30}%%

Nun hast du %%f%% in Scheitelform vorliegen und kannst daraus den Scheitelpunkt ablesen.

%%\Rightarrow S=(-\frac35|-1\frac{3}{10})%%

%%f(x)=-0{,}5x^2+20x-30%%

Scheitelpunkt bestimmen

%%f%% ist ein Polynom zweiten Grades, hat also zwei Nullstellen %%x_{1}, x_{2}%%. Sind diese reell, so liegt der Scheitelpunkt %%x_{s}%% aufgrund der Symmetrie von %%f%% genau mittig zwischen ihnen: %%x_{s}=\frac{x_{1}+x_{2}}{2}%%.

Bestimme zunächst die Nullstellen von %%f%%:

%%f(x)=−0,5x^2+20x−30=0%%

Wende die Mitternachtsformel an.

%%x_1=\dfrac{-20+\sqrt{20^2-4\cdot(-0,5)(-30)}}{2\cdot(-0,5)}=+20-\sqrt{340}%%

%%x_2=\dfrac{-20-\sqrt{20^2-4\cdot(-0,5)(-30)}}{2\cdot(-0,5)}=20 +\sqrt{340}%%

%%x_{1}%% und %%x_{2}%% sind damit reelle Zahlen und es gilt:

%%x_{s}=\frac{x_{1}+x_{2}}{2}=\frac{40}{2}=20%%

Setzt man den %%x%%-Wert %%x_{s}%% des Scheitelpunktes in die Funktionsvorschrift ein, so erhält man dessen %%y%%-Wert:

%%f(x_{s})=f(20)=−0,5 \cdot 20^2+20 \cdot 20−30 = -200 + 400-30=170%%

%%\Rightarrow S=(20 | 170)%%

%%f(x)=-\frac34x^2+x%%

Scheitelpunkt bestimmen

%%f%% ist ein Polynom zweiten Grades, hat also zwei Nullstellen %%x_{1}, x_{2}%%. Sind diese reell, so liegt der Scheitelpunkt %%x_{s}%% aufgrund der Symmetrie von %%f%% genau mittig zwischen ihnen: %%x_{s}=\frac{x_{1}+x_{2}}{2}%%.

Bestimme zunächst die Nullstellen von %%f%%:

%%f(x)=\dfrac{-3}{4}x^2+x=0%%

Klammere %%x%% aus.

%%\Leftrightarrow x(\frac{-3}{4}x+1)=0%%

Eine Nullstelle ist also %%x=0%%. Die zweite Nullstelle erhältst du, indem du %%\frac{-3}{4}x+1=0%% weiter nach %%x%% auflöst:

%%\frac{-3}{4}x=-1%%

|%%\cdot\frac{-4}{3}%%

%%x=\frac43%%

Der Scheitelpunkt der Parabel liegt genau zwischen den beiden Nullstellen.

Der Scheitelpunkt hat also den %%x%%-Wert %%x_{s}=\frac{x_1 + x_2}{2}=\frac12 \cdot \frac43= \frac23%%.

Setze den %%x%%-Wert in die Funktionsvorschrift ein.
So bekommst du den %%y%%-Wert des Scheitelpunktes.

%%f(x_{s})=f(\frac23)=\frac{-3}{4}\cdot(\frac23)^2+\frac23=\frac{-3}{4} \cdot \frac{4}{9}+\frac23=-\frac13+\frac23=\frac13%%.

%%\Rightarrow S=(\frac 23 | \frac13)%%