Mächtigkeit

Die Mächtigkeit einer Menge $\sf M$ mit endlich vielen Elementen ist die Anzahl ihrer Elemente. Man schreibt für die Mächtigkeit einer Menge $\sf M$ entweder $\sf |M|$ oder $\sf \#M$. Beispiel: Die Menge $\sf \{2{,}3{,}5{,}7\}$ aller einstelligen Primzahlen besitzt $\sf 4$ Elemente. Es ist damit:

Falls zwei Mengen $\sf M$ und $\sf N$ gleich viele Elemente besitzen, wenn also $\sf \left|M\right|=\left|N\right|$ gilt, dann nennt man die Mengen gleichmächtig.

Falls $\sf M$ unendlich viele Elemente hat, ist die Mächtigkeit unendlich $\sf \infty$. So ist die Mächtigkeit der Menge der natürlichen Zahlen $\sf \mathbb N$ unendlich und wir schreiben $\sf |\mathbb N| = \infty$.

Der Begriff der Mächtigkeit einer Menge wird unter anderem in der Stochastik verwendet. Dort fasst man alle möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperiment in die Menge „Ergebnisraum“ $\sf \Omega$ zusammen. Die Mächtigkeit des Ergebnisraums $\sf |\Omega|$ ist damit die Anzahl aller möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperiments.

Beispiele

Abbildung: Die Menge $\sf E$ aller Mitgliedsstaaten der europäischen Union besteht aus 28 Staaten. Damit ist $\sf |E|=28$.

• $\sf |C|=\left|\left\{1{,}1{,}1{,}1{,}2\right\}\right|=2$ , da eine Menge ein Element nicht mehrmals enthalten kann!

Rechenregeln

• $\sf \left|M\cup N\right|=\left|M\right|+\left|N\right|-|M\cap N|$. Vergleiche dazu: Mengenlehre.

• $\sf \left|M \times N\right|=\left|M\right|\cdot\left|N\right|$. Vergleiche dazu: Kartesisches Produkt.

Potenzmenge

Die Mächtigkeit der Potenzmenge einer Menge $\sf A$, ist: $\sf \mathcal P(A)=2^{\left|A\right|}$. Ein Beispiel für eine Potenzmenge ist der Ereignisraum.