Mächtigkeit

Die Mächtigkeit einer Menge MM mit endlich vielen Elementen ist die Anzahl ihrer Elemente.

Man schreibt für die Mächtigkeit einer Menge MM entweder M|M| oder #M\#M. Beispiel: Die Menge {2,3,5,7}\{2{,}3,5{,}7\} aller einstelligen Primzahlen besitzt 44 Elemente. Es ist damit:

Falls zwei Mengen MM und NN gleich viele Elemente besitzen, wenn also M=N\left|M\right|=\left|N\right| gilt, dann nennt man die Mengen gleichmächtig.

Falls MM unendlich viele Elemente hat, ist die Mächtigkeit unendlich \infty. So ist die Mächtigkeit der Menge der natürlichen Zahlen N\mathbb N unendlich und wir schreiben N=|\mathbb N| = \infty.

Der Begriff der Mächtigkeit einer Menge wird unter anderem in der Stochastik verwendet. Dort fasst man alle möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperiment in die Menge „Ergebnisraum“ Ω\Omega zusammen. Die Mächtigkeit des Ergebnisraums Ω|\Omega| ist damit die Anzahl aller möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperiments.

Beispiele

Menge E der Mitgliedsstaaten der EU besteht aus 28 Staaten. Damit |E|=28.

  • A={Baum,  Busch,  Blatt}=3|A|=\left|\left\{\mathrm{Baum},\;\mathrm{Busch},\;\mathrm{Blatt}\right\}\right|=3

  • B={1,2,100,30}=4|B|=\left|\left\{1{,}2,100{,}30\right\}\right|=4

  • C={1,1,1,1,2}=2|C|=\left|\left\{1{,}1,1{,}1,2\right\}\right|=2 , da eine Menge ein Element nicht mehrmals enthalten kann!

  • D=AB={Baum,Busch,Blatt,1,2,100,30}=3+40=7|D|=|A\cup B|=|\{\mathrm{Baum}, \mathrm{Busch}, \mathrm{Blatt}, 1{,}2,100{,}30\}|= 3+4-0=7

Rechenregeln

  • MN=M+NMN\left|M\cup N\right|=\left|M\right|+\left|N\right|-|M\cap N|. Vergleiche dazu: Mengenlehre.

  • M×N=MN\left|M \times N\right|=\left|M\right|\cdot\left|N\right|. Vergleiche dazu: Kartesisches Produkt.

Potenzmenge

Die Mächtigkeit der Potenzmenge einer Menge AA, ist: P(A)=2A\mathcal P(A)=2^{\left|A\right|}. Ein Beispiel für eine Potenzmenge ist der Ereignisraum.

Übungsaufgaben

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