Mächtigkeit

Die Mächtigkeit einer Menge $M$ mit endlich vielen Elementen ist die Anzahl ihrer Elemente. Man schreibt für die Mächtigkeit einer Menge $M$ entweder $|M|$ oder $\#M$. Beispiel: Die Menge $\{2{,}3{,}5{,}7\}$ aller einstelligen Primzahlen besitzt $4$ Elemente. Es ist damit:

Falls zwei Mengen $M$ und $N$ gleich viele Elemente besitzen, wenn also $\left|M\right|=\left|N\right|$ gilt, dann nennt man die Mengen gleichmächtig.

Falls $M$ unendlich viele Elemente hat, ist die Mächtigkeit unendlich $\infty$. So ist die Mächtigkeit der Menge der natürlichen Zahlen $\mathbb N$ unendlich und wir schreiben $|\mathbb N| = \infty$.

Der Begriff der Mächtigkeit einer Menge wird unter anderem in der Stochastik verwendet. Dort fasst man alle möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperiment in die Menge „Ergebnisraum“ $\Omega$ zusammen. Die Mächtigkeit des Ergebnisraums $|\Omega|$ ist damit die Anzahl aller möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperiments.

Beispiele

Abbildung: Die Menge $E$ aller Mitgliedsstaaten der europäischen Union besteht aus 28 Staaten. Damit ist $|E|=28$.

• $|C|=\left|\left\{1{,}1{,}1{,}1{,}2\right\}\right|=2$ , da eine Menge ein Element nicht mehrmals enthalten kann!

Rechenregeln

• $\left|M\cup N\right|=\left|M\right|+\left|N\right|-|M\cap N|$. Vergleiche dazu: Mengenlehre.

• $\left|M \times N\right|=\left|M\right|\cdot\left|N\right|$. Vergleiche dazu: Kartesisches Produkt.

Potenzmenge

Die Mächtigkeit der Potenzmenge einer Menge $A$, ist: $\mathcal P(A)=2^{\left|A\right|}$. Ein Beispiel für eine Potenzmenge ist der Ereignisraum.