Aufgaben zur skalaren Multiplikation und zu Vektorketten
- 1
Multipliziere den Vektor mit dem Skalar.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Skalare Multiplikation
Multipliziere komponentenweise.
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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Skalare Multiplikation
Multipliziere komponentenweise.
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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Skalare Multiplikation
Multipliziere komponentenweise.
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- 2
Berechne den Lösungsvektor.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektoren addieren, Skalare Multiplikation
Multipliziere zuerst den Vektor komponentenweise mit dem Skalar.
Addiere die Vektoren komponentenweise.
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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektoren addieren und subtrahieren, Skalare Multiplikation
Multipliziere zuerst den ersten Vektor mit dem Skalar.
Addiere und subtrahiere die Vektoren komponentenweise.
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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektoren addieren und subtrahieren, Skalare Multiplikation
Multipliziere die Vektoren komponentenweise mit den Skalaren.
Addiere bzw. subtrahiere komponentenweise.
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- 3
Gegeben seien die Punkte , und . Vervollständige zu einem Parallelogramm ABCD und berechne neben den Koordinaten von D auch die Lage des Schnittpunktes M seiner Diagonalen.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektorkette
Zeichnerische Bestimmung von D
Trage A, B und C ein. Übertrage den Vektor an A.
D liegt also bei
Da es sich nicht immer um so schöne Zahlwerte handelt, ist es gut, auch die rechnerische Bestimmung zu können.
Rechnerische Bestimmung
Bestimme zuerst oder .
Da ein Parallelogramm ist, gilt außerdem und .
Die Koordinaten von D berechnest du, indem du eine Vektorkette bildest. Beginne diese mit dem Ortsvektor von A.
Somit ist .
Lage des Diagonalenschnittpuntkts
In einem Parallelogramm halbieren sich die Diagonalen. Du suchst also den Mittelpunkt M der Strecke oder .
Bilde wieder eine Vektorkette:
Die Diagonalen schneiden sich also in
Löse durch Zeichnen oder mithilfe einer Vektorkette.
Nutze dabei, dass die Seiten und parallel und gleich lang sind.
Außerdem halbieren sich die Diagonalen im Parallelogramm.
- 4
Bestimme jeweils das Skalarprodukt der folgenden Vektoren:
und
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Skalarprodukt
Das Skalarprodukt wird allgemein gebildet durch
Hier also:
Das heißt: Das Skalarprodukt von und ist .
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und
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Skalarprodukt
Das Skalarprodukt wird allgemein gebildet durch
Hier also:
Hier stehen die Vektoren senkrecht aufeinander, da das Skalarprodukt ist.
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und
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Skalarprodukt
Das Skalarprodukt wird allgemein gebildet durch
Hier also:
Das Skalarprodukt von und ist .
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und
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Skalarprodukt
Das Skalarprodukt wird allgemein gebildet durch
Hier also:
Das Skalarprodukt von und ist . Die Vektoren stehen somit senkrecht aufeinander.
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und
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Skalarprodukt
Benutze die Formel zur Berechnung des Skalarprodukts:
Das Skalarprodukt von und ist . (Die Vektoren stehen also senkrecht aufeinander.)
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und
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Skalarprodukt
Benutze die Formel zur Berechnung des Skalarprodukts.
Das Skalarprodukt von und ist .
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und
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Skalarprodukt
Tipp: Wenn du ganz genau hinschaust, musst du eigentlich nicht rechnen. An welcher Stelle kommt eine Null bei vor? Und an welcher Stelle bei ?
Skalarprodukt berechnen
Das Skalarprodukt zweier Vektoren kannst du anhand der Formel berechnen, wie du hier siehst. Oder du verwendest den Tipp und siehst die Antwort sofort.
Das Skalarprodukt von und ist . (Die beiden Vektoren stehen also senkrecht aufeinander.)
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und
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Skalarprodukt
Tipp: Hier hast du es mit Polarkoordinaten zu tun.
Skalarprodukt berechnen
In dieser Aufgabe kannst du nicht sofort das Skalarprodukt berechnen, da du es mit Polarkoordinaten zu tuen hast, wie der Tipp bereits erwähnt. Deshalb musst du zuerst die Polarkoordinaten in kartesiche Koordinaten umrechnen und anschließend das Skalarprodukt berechnen.
Umrechnung in kartesische Koordinaten
Allgemein gilt für die Umrechnung eines Vektors in Polarkoordinaten :
und
Setze in diese Formel ein.
:
und
: und
Damit erhältst du die folgenden Vektoren in kartesischer Form.
und
Skalarprodukt berechnen:
Das Skalarprodukt wird allgemein gebildet durch
.
Hier also:
Das Skalarprodukt von und ist somit .
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