2019

Die Winkelsumme im Dreieck beträgt immer $180°$.

Für das abgebildete Dreieck gilt also:

$\beta+3\beta+60°=180°$ | -60 und fasse zusammen

$4\beta=$120° | :4

$\beta=30°$

Löse zunächst die folgende Gleichung:

$-2x+3>1$ | -3

$-2x>-2$ | : (-2)

Beachte, dass bei der Division durch eine negative Zahl aus dem > ein < wird.

$x<1$

$\mathbb{L}$ = {${x|x<1}$}

Als Grundmenge für die Lösung ist $\mathbb{G}=\mathbb{Z}$ vorgegeben.

Da $0{,}5\notin \mathbb{Z}$ ist, gilt $\mathbb{L}=\varnothing$.

Die Stichprobe ist in Bezug auf die Gesamtheit nicht ausreichend. Das Gewicht der Schultaschen unterscheidet sich in den verschiedenen Jahrgangsstufen mit großer Wahrscheinlichkeit.

Für die Lösung kannst du sowohl die Koordinatenform, als auch die Matrixform wählen.

Koordinatenform:

$x'=x+v_x$

$y'=y+v_y$

$x'=-1+3{,}5=2{,}5$

$y'=3+(-1)=2$

Damit hat der Bildpunkt A' die Koordinaten A'(2,5|2).

Matrixform:

$\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} v_x \\ v_y \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -1\\ 3 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 3{,}5 \\ -1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1 \\ 3 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 3{,}5 \\ -1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2{,}5 \\ 2 \end{pmatrix}$

Damit hat der Bildpunkt A' die Koordinaten A′(2,5|2).

Der Flächeninhalt A des grau markierten Kreisteils stellt ein Viertel des Flächeninhalts eines Kreises dar, der den Radius 2cm hat.

$A_{Kreissektor}=(r²\cdot\pi):4$

$A_{Kreissektor}=(4cm²\cdot3{,}14):4=3{,}14cm²$

Der Flächeninhalt der grau markierten Fläche beträgt $3{,}14cm²$.

Da jeweils nur ein Teil der Ausgangs- und Zielpunkte vorgegeben sind, findet man erst durch Verschieben von $B$, Ergänzen von $D_1$ und dann durch Zurückschieben nach und nach die vollständige Lösung.

Die Parallelverschiebung des Punktes $B$ mit dem Vektor $\vec{v}=\begin{pmatrix} 6 \\ 0 \end{pmatrix}$ bedeutet, dass du den Punkt $B_1$​ erzeugst, indem du den Ausgangspunkt $B$ um $6$ Einheiten in Richtung der x-Achse nach rechts und gar nicht $(0)$ Einheiten in Richtung der y-Achse verschiebst. Die folgende Abbildung zeigt das für Punkt $B_1$ :

Ergänze nun die Punkte $\text{A}_1,\text{B}_1,\text{C}_1$ zu einem Rechteck. Dadurch erhälst du den Punkt $\text{D}_1$. Damit ist der erste Teil der Aufgabe erledigt:

Zum zweiten Teil: Die übrigen 3 Punkte $\text{A}, \text{C}, \text{D}$ des Ausgangsrechtecks erhälst du durch parallele Rückwärtsverschiebung mit dem Vektor $\vec{v}_r=\begin{pmatrix} -6 \\ 0 \end{pmatrix}$. Verschiebe also die 3 Punkte entlang der x-Achse um $6$ Einheiten nach links und und entlang der y-Achse gar nicht. Die nächste Abbildung zeigt das für den Punkt $\text{A}$:

Die Punkte $\text{C}$ und $\text{D}$ erhältst du analog.

Verbinde dann die Punkte $\text{A}, \text{B},\text{C}, \text{D}$ zu einem Rechteck.

Überlege dir, welche Vektoren du addieren kannst. Für die Addition von 2 Vektoren muss die Spitze eines Vektors der Startpunkt für den zweiten Vektor sein. Dies gilt nur für die beiden Vektoren $\overrightarrow{{OP}}$ und $\overrightarrow{{PQ}}$.

Also gilt: $\overrightarrow{{OQ}}=\overrightarrow{{OP}}+\overrightarrow{{PQ}}$ ist richtig.

Gegeben für das 1. Rechteck:

Länge $a=20m$

Breite $b=18m$

Fläche $A=a\cdot b$

$A=20m\cdot18m=360m²$

Gegeben für das 2. Rechteck:

Breite $b=15m$

Löse die Flächenformel nach $a$ auf.

$a=A:b$

$a=360m:15m=24m$

Die Länge des 2: Rechtecks beträgt $24m$.

Ermittle anhand der folgenden Abbildung, wie viele Pumpen theoretisch nötig wären um das Schwimmbad in einer halben Stunde leer zu pumpen.

Erstelle zu der Abbildung zunächst eine Wertetabelle.

Du siehst, dass man die Anzahl der Pumpen verdoppeln muss, um die Zeit für das Auspumpen des Schwimmbeckens zu halbieren.

Es werden also 8 Pumpen benötigt, um das Schwimmbecken in einer halben Stunde leer zu pumpen.

Helene müsste noch wesentlich öfter würfeln um die Aussage von Florian zu widerlegen.

Die relative Häufigkeit für den Wurf einer 6 nähert sich bei ausreichend vielen Würfen der Wahrscheinlichkeit eine 6 zu würfeln an. Sechs Würfe sind noch zu wenig, um die Aussage widerlegen zu können.

Beispiele:

$-0{,}5\cdot2$

$0{,}1\cdot-10$

Gib alle Ziffern an, die in das Kästchen eingesetzt werden können, so dass eine wahre Aussage entsteht.

Setze zunächst die $0$ ein, dann die $1,\ 2,...$

Auf dem Zahlenstrahl unten siehst du, dass du für die Zahlen 0,1 und 2 eine wahre Aussage erhälst.

Ermittle die Zahl, die genau in der Mitte zwischen $-1$ und $-1{,}1$ liegt.

$-1=-1{,}00$

$-1{,}1=-1{,}10$

Die Zahl, die genau in der Mitte zwischen den beiden Zahlen liegt ist die $-1{,}05$,

siehe auch die Abbildung vom Zahlenstrahl.

Die Ware wurde um $30$% reduziert und kostet nur noch $70$% des Ausgangspreises.

$70$%$\mathop{\widehat{=}}140€$

$1$%$\mathop{\widehat{=}}140€:70=2€$

$100$%$\mathop{\widehat{=}}2€\cdot 100=200€$

Der Schläger kostete ursprünglich $200€$.

Ergänze die Lücken so, dass äquivalente Terme entstehen (a, b∈$\mathbb{Q}$).

$4a+2\cdot (a+....)=....+6b$

Ergänze in der Klammer diejenige Zahl, die mit $2$ multipliziert $6b$ ergibt.

Die Zahl lautet $3b$.

Löse nun die Gleichung

$4a+2\cdot (a+3b)=$

=> $4a+2\cdot (a+3b)= 4a+2a+6b=6a+6b$