Sachaufgaben zu linearen Funktionen und ihren Funktionsgleichungen

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Max und Jana machen einen Ausflug in den Wildpark "Tierisches Glück" in Tierhausen. Der Eintritt in den Wildpark kostet dabei $5€$ . Im Wildpark hat man an jedem Gehege zusätzlich die Möglichkeit für $1€$ ein spezielles Tierfutter zu kaufen, um damit die Tiere zu füttern.
(a) Bestimme wie viel Max und Jana für ihren Ausflug insgesamt ausgeben müssen, wenn sie im Wildpark $5$ , $10$ bzw. $20$ Tierfutter kaufen wollen. Erstelle aus diesen Werte eine Wertetabelle.
(b) Erstelle einen Term für die Kosten des Ausflugs in Abhängigkeit der Anzahl der Tierfutter, die Max und Jana kaufen.
(c) Stelle den Zusammenhang aus Teilaufgabe (b) graphisch dar.
(d) Max und Jana haben zu Beginn ihres Ausflugs $14€$ dabei. Lese aus dem Graphen ab, wie viel Tierfutter die beiden damit kaufen können.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktionen
(a) Wenn Max und Jana $5$ Tierfutter kaufen, dann müssen sie neben den $5€$ Eintritt noch fünfmal $1€$ für das Tierfutter bezahlen. Insgesamt bezahlen die beiden also:
Bei $10$ bzw. $20$ Tierfutter, müssen die beiden dagegen
bzw.
bezahlen. Als Wertetabelle ergibt sich:
Anzahl der Tierfutter
5
10
20
Gesamtkosten
10€
15€
25€
(b) Ist $x$ die Anzahl der Tierfutter, die Max und Jana kaufen, dann müssen die beiden zusammen gerechnet $x\cdot1€$ für das Futter bezahlen. Mit dem Eintritt von $5€$ ergibt sich für die Gesamtkosten des Ausflugs:
(c)
(d) Um den gesuchten Wert abzulesen, gehst du waagrecht von $y$ -Achse beim Wert $14€$ los bis du an dem Funktionsgraphen angekommen bist.
Von diesem Punkt auf dem Graphen gehst du anschließend senkrecht nach unten, bis du auf der $x$ -Achse angelangt bist. Du landest in diesem Fall bei dem $x$ -Wert $9$ .
Dieser $x$ -Wert $9$ entspricht dann der gesuchten Anzahl. Max und Jana können also $9$ Tierfutter von den $14€$ kaufen
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123mathe.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann
Herr Breuer hat einen Handyvertrag mit folgenden Konditionen abgeschlossen:
Monatliche Grundgebühr 20€, Telefonkosten pro Minute 0,35€.
1. Wie hoch ist seine Monatsrechnung, wenn er 40, 80 oder 120 Minuten telefoniert?
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktionen
  Grundgebühr: 20€
  Kosten pro Minute: 0,35€
  Monatsrechnung ist Grundgebühr plus Kosten für telefonierte Minuten.
  Monatsrechnung bei 40 Minuten
  Herr Breuer hat 40 Minuten telefoniert.
  Berechne die Kosten für diese 40 Minuten.
  $40\cdot 0{,}35€=14€$
  Fasse zur Monatsrechnung zusammen.
  Gesamtkosten = $20€+14€=34€$
  Herr Breuer zahlt 34€ wenn er 40 Minuten telefoniert.
  Monatsrechnung bei 80 Minuten
  Herr Breuer hat 80 Minuten telefoniert.
  Berechne die Kosten für diese 80 Minuten.
  $80\cdot 0{,}35€=28€$
  Fasse zur Monatsrechnung zusammen.
  Gesamtkosten = $20€+28€=48€$
  Herr Breuer zahlt 48€ wenn er 80 Minuten telefoniert.
  Monatsrechnung bei 120 Minuten
  Herr Breuer hat 120 Minuten telefoniert.
  Berechne die Kosten für diese 120 Minuten.
  $120\cdot 0{,}35€=42€$
  Fasse zur Monatsrechnung zusammen.
  Gesamtkosten = $20€+42€=62€$
  Herr Breuer zahlt 62€ wenn er 120 Minuten telefoniert.
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2. Erstelle einen Term für die monatlichen Kosten in Abhängigkeit von der Gesprächsdauer in Minuten.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktionen
  Monatliche Kosten = Grundgebühr + Kosten für telefonierte Minuten.
  Sei $x$ Anzahl der telefonierten Minuten.
  Berechne damit die Kosten.
  Kosten = $20€+0{,}35€\cdot x$
  Drücke das als lineare Funktion aus.
  $f(x)=0{,}35\cdot x+20$
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3. Stelle den Zusammenhang graphisch dar.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktionen
  $f(x)=0{,}35x+20$
  Diese Funktion hat den y-Achsenabschnitt $20$ , schneidet die $y$ -Achse also in $(0|20)$ . Ihre Steigung ist $0{,}35$ . Zeichne also einen Punkt bei z.B. $(10\;|\;20+10\cdot0{,}35)=(10\,|\,23{,}5)$ . Verbinde diese Punkte zur gesuchten Geraden.
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Anzahl der Tierfutter	5	10	20
Gesamtkosten	10€	15€	25€

Folgende Tabelle gibt für einige Temperaturen den Wert in Grad Celsius (°C) und Grad Fahrenheit (°F) an.

Temperatur in Celsius	Temperatur in Fahrenheit
-10°	14°
0°	32°
20°	68°
60°	140°

Es handelt sich um einen linearen Zusammenhang. Zeichne mit der Tabelle einen Graphen (x-Achse=Grad Celsius, y-Achse=Grad Fahrenheit) und gib eine Formel an, mit der man Grad Celsius in Grad Fahrenheit umrechnet.

Ein Lieferwagen, der mit 1,2 t beladen ist, transportiert x Stücke zu je $25\;kg$ und y Kisten zu je $150\;kg$ .

Stelle den Zusammenhang zwischen x und y in einem Diagramm dar.
Welche Punkte $\left(x;\;y\right)$ sind möglich, wenn der Lieferwagen maximal 1,2 t beladen ist?

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123mathe.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann
Eine Zeitschrift, die zum Preis von $2{,}20$  € zu kaufen ist, hat eine Auflage von $120\, 000$ Exemplaren. Mit Hilfe der Marktforschung stellt der Verlag fest, dass sich die Auflage bei einer Preissenkung um $0{,}20$  € pro Zeitschrift um $5000$ Exemplare erhöhen lässt, bei einer Preiserhöhung von $0{,}20$  € verliert man $5000$ Käufer.
1. Berechnen Sie den Preis bei einer Auflage von 140 000 Exemplaren.
  €
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineares Wachstum
  Anstieg auf 140 000 Exemplare
  Bestimme, um wieviel sich die Auflage verändert hat.
  $\Delta N=140\,000-120\;000=20\,000$
  Bestimme die Änderungsrate a aus der Aufgabenstellung. Beachte, dass dabei die bekannte Änderung (N) im Nenner steht.
  $a=\frac{\Delta p}{\Delta N}=\frac{-0{,}2}{5000}=-0{,}00004$
  Bestimme daraus die Preisänderung.
  $\Delta p = a\cdot \Delta N=-0{,}00004\cdot 20\, 000=-0{,}8$
  Berechne damit den neuen Preis.
  $p_{neu}=p_{alt}+\Delta p=2{,}2-0{,}8=1{,}4$
  Bei einer Auflage von 140 000 beträgt der Preis also 1,40€.
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2. Welche Verkaufszahlen kann der Verlag erwarten, wenn er den Preis der Zeitschrift auf 1,50€ senkt?
  Stück
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineares Wachstum
  Der Preis ist auf 1,50€ gefallen.
  Bestimme die Preisänderung.
  $\Delta p=p_{neu}-p_{alt}=1{,}5-2{,}2=-0{,}7$
  Bestimme Änderungsrate a aus der Aufgabenstellung. Beachte dabei, dass die bekannte Änderung (p) im Nenner steht.
  $a=\frac{\Delta N}{\Delta p}=\frac{-5000}{0{,}2}=-25\,000$
  Bestimme damit die Änderung der Auflage.
  $\Delta N=a\cdot \Delta p=(-25\,000) \cdot (-0{,}7)=17\,500$
  Bestimme die neue Auflage.
  $N_{neu}=N_{alt}+\Delta N=120\,000+17\,500=137\,500$
  Bei einem Preis von 1,50€ ist die Auflage also 137 500 Stück.
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Jonathan und Hannes steigen auf die Zugspitze. Jonathan beginnt seine Wanderung auf Meereshöhe ( $0\;\text{m}$ ), Hannes startet auf dem Zugspitzplatt ( $2500\;\text{m}$ ). Beide steigen mit $500\;\text{m}$ pro $h$ auf. Der Funktionsterm, mit dem Jonathans Aufstieg beschrieben wird, ist $j(x) = 500x$ Entscheide, welcher Funktionsterm zum Aufstieg von Hannes passt!
$h(x) = 500x + 2500$
$h(x)=2500x$
$h(x)=500x-2500$
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktion
Aufstieg von Hannes
Um den richtigen Funktionsterm auszuwählen, musst du die Steigung und den $y$ -Achsenabschnitt mit den Werten aus der Angabe vergleichen.
Da Jonathan und Hannes mit derselben Geschwindigkeit aufsteigen, muss der Funktionsterm von Hannes Aufstieg die gleiche Steigung wie der Funktionsterm von Jonathans Aufstieg haben. Jonathans Aufstieg wird mit dem Funktionsterm $j(x)=500x$ beschrieben.
Daraus folgt, dass die Steigung $500$ ist. Der mögliche Term $h(x)=2500x$ für Hannes Aufstieg scheidet dadurch schon mal aus. Die Steigung stimmt nicht!
Jetzt bleiben noch zwei Funktionsterme mit der richtigen Steigung, aber unterschiedlichen $y$ -Achsenabschnitten. Welcher der Terme ist richtig? Vergleiche nun die beiden $y$ -Achsenabschnitte.
Diese sind $+2500$ und $-2500$ . Du kannst schnell erkennen, dass $+2500$ richtig sein muss, da Hannes über Jonathan startet und somit am Anfang ( $x=0$ ) bei $h(0)=2500$ sein muss und nicht bei $h(0)=-2500$ .
Du erhältst also für die Steigung einen Wert von $500$ und für den $y$ -Achsenabschnitt einen Wert von $+2500$ .
Der richtige Funktionsterm für Hannes Aufstieg ist $h(x)=500x+2500$ .

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$\displaystyle m_t$	$=$	$\displaystyle \frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$
	↓	Setz die Werte ein.
$\displaystyle m_t$	$=$	$\displaystyle \frac{68-32}{20-0}=1{,}8$

$\displaystyle x\cdot25+y\cdot150$	$=$	$\displaystyle 1200$	$\displaystyle -x\cdot25$
	↓	Stelle die Gleichung so um, dass du eine Geradengleichung erhältst.
$\displaystyle 150\cdot y$	$=$	$\displaystyle -25\cdot x+1200$	$\displaystyle :150$
$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle -\frac{25}{150}\cdot x+\frac{1200}{150}$
	↓	Kürze die Brüche.
$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle -\frac16\cdot x+8$

Sachaufgaben zu linearen Funktionen und ihren Funktionsgleichungen

Monatsrechnung bei 40 Minuten

Monatsrechnung bei 80 Minuten

Monatsrechnung bei 120 Minuten

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Teilaufgabe 1

Darstellung im Diagramm

Teilaufgabe 2

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Aufstieg von Hannes