Aufgaben zur Konstruktion besonderer Vierecke und zur Lösung geometrischer Problemstellungen



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Winkelberechnungen am Trapez
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Zu text-exercise-group 72284:
Nish 2019-08-16 16:21:05+0200
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LG,
Nish
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Im Trapez ABCDABCD gelte AB∥CDAB\Vert CD, α=32°\alpha=32°, γ=75°\gamma=75°. Berechne β\beta und δ\delta !

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Trapez

Gegeben: AB ∥CDAB\,\Vert CD
  α=32°\quad \quad \quad\;\alpha =32°
  γ=75°\quad \quad \quad\;\gamma=75°
Gesucht:  β,  δ\,\beta,\; \delta
Die Innenwinkel an den beiden Grundseiten ergeben zusammen 180°.
32°+δ=180°∣−32°δ=148°\begin {array}{rcl}32°+\delta &=180°\quad|-32°\\\delta&=148°\end {array}
75°+β=180°∣−75°β=105°\begin {array}{rcl}75°+ \beta&= 180°\quad |-75°\\\beta &=105° \end {array}
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Im Trapez ABCDABCD gelte AB ∥CDAB\,\Vert CD, AD⊥BCAD\perp BC, α=20°\alpha=20°. Berechne β, γ, δ\beta,\,\gamma,\,\delta!

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Trapez

Trapez mit den eingezeichneten Winkeln
Gegeben: AB ∥ CDAB\,\Vert\,CD
 AD ⊥ BC\quad \quad\quad \, AD\,\perp\,BC
 α=20°\quad \quad\quad \,\alpha=20°
Gesucht:  β, γ, δ\;\beta,\,\gamma,\,\delta
In einem Trapez ergeben zwei auf derselben Seite eines Schenkels (hier: [AD]) liegende Winkel (hier: α,δ)\alpha, \delta) zusammen 180∘180^\circ.
20∘+δ=180∘∣−20∘δ=160∘\begin {array}{rcl}20^\circ+\delta&=180^\circ\quad|-20^\circ\\\delta&=160^\circ \end {array}
Da AD ⊥ BCAD\,\perp\,BC, ist ΔABE\Delta ABE rechtwinklig. Benutze die Winkelsumme im Dreieck und dem Fakt, dass es sich bei α\alpha und β\beta um Stufenwinkel handelt.
20∘+90∘+β=180∘  ∣ −110∘β=70∘\begin {array}{rcl}20^\circ+90^\circ+\beta &=180^\circ\;|\,-110^\circ\\\beta &=70^\circ \end {array}
Die Winkelsumme in einem Trapez beträgt 360∘360^\circ
20∘+70+γ+160=360∘  ∣ −250∘γ=110∘\begin {array}{rcl}20^\circ + 70 + \gamma +160 &=360^\circ\;|\,-250^\circ\\\gamma &=110^\circ \end {array}
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Im Trapez ABCDABCD gelte: AD ∥ BC,  α=δ=100°AD\,\Vert\,BC,\;\alpha=\delta=100°. Berechne β\beta und γ\gamma!

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Trapez

Gegeben: AD ∥ BCAD\,\Vert\,BC
 α=δ=100°\quad \quad\quad \,\alpha=\delta=100°
Gesucht: β,  γ\beta,\;\gamma
Die Innenwinkel an den parallelen Seiten ergeben zusammen 180°.
100°+β=180°∣−100°β=80°\begin{array}{rcl}100°+\beta&=180°\quad |-100°\\\beta&=80°\end{array}
100°+γ=180°∣−100°γ=80°\begin{array}{rcl}100°+\gamma &=180°\quad|-100°\\\gamma &=80° \end{array}
Anmerkung:
Das Trapez ABCDABCD ist gleichschenklig mit den Schenkeln [AB]=[CD][AB]=[CD].
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Konstruiere ein Trapez ABCDABCD aus der gegebenen Länge der Differenz der beiden Grundseitenlängen a−c=3 LEa-c=3\,\text{LE}, den Schenkellängen b=BC‾=2,5 LEb=\overline{BC}=2,5\,\text{LE} und d=AD‾=4 LEd=\overline{AD}=4\,\text{LE} sowie der Diagonalenlänge f=BD‾=5 LEf=\overline{BD}=5\,\text{LE}.
Anleitung
Die Lösung verlangt folgende raffinierte Überlegung:
Wenn man auf der Grundseite aa des Trapezes ABCDABCD die Seitenlänge cc abträgt zerlegt sich das Trapez in ein Parallelogramm und ein Dreieck, das konstruierbar ist.

Trapez

Plan:
  1. Teildreieck EBCEBC ist konstruierbar aus den Seitenlängen a−c, b, da-c,\,b,\,d.
  2. D liegt
    a) auf der Parallelen zu EBEB durch CC,
    b) auf dem Kreis k(B;f).
  3. A liegt
    a) auf der Geraden EBEB,
    b) auf der Parallelen zu ECEC durch DD.
Durchführung der Konstruktion mit den gegeben Werten
anhand des Applets.
-
GeoGebra
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Konstruiere ein Trapez ABCDABCD aus den Grundseitenlängen AB‾=a=5 cm\overline{AB}=a=5\,\text{cm} und CD‾=c=3 cm\overline{CD}=c=3\,\text{cm} sowie den Diagonalenlängen AC‾=6 cm\overline{AC}=6\,\text{cm} und BD‾=5 cm\overline{BD}=5\,\text{cm}.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Trapez

Trapez

Plan
  1. Die Eckpunkte AA und BB sind durch aa gegeben.
  2. Die Verlängerung der Grundseite [AB][AB] um cc über AA hinaus ergibt das konstruierbare Dreieck BA′DBA'D mit dem Eckpunkt DD des Trapezes.
  3. C liegt
    a) auf der Parallelen zu ABAB durch DD,
    b) auf der Parallelen zu A′DA'D durch AA.
Durchführung der Konstruktion mit den gegebenen Werten
a=5 cm;  c=3 cm;  e=6 cm;  f=5 cm\quad \quad a=5\,\text{cm};\; c=3\,\text{cm};\;e=6\,\text{cm};\;f=5\,\text{cm}
anhand des Applets.
-
GeoGebra
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Konstruiere ein Trapez ABCDABCD aus den Seitenlängen
a=10,5 cm; b=5,4 cm; c=6 cm; d=4,8 cma=10,5\,\text{cm};\,b=5,4\,\text{cm};\,c=6\,\text{cm};\,d=4,8\,\text{cm}.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Trapez

Plan
  1. AA und BB sind durch aa gegeben.
  2. Das Dreieck B′BCB'BC ist durch
    a−c, b, d\displaystyle a-c,\,b,\,d
    konstruierbar und ergibt den Eckpunkt CC.
  3. D liegt
    a) auf dem Kreis k(C;c)k(C;c),
    b) auf dem Kreis k(A;d)k(A;d).
    Alternative Lösung für DD:
    a) auf der Parallelen zu ABAB durch CC,
    b) auf der Parallelen zu B′CB'C durch AA.
Durchführung der Konstrukktion mit den gegebenen Werten
a=10,5 cm; b=5,4 cm; c=6 cm; d=4,8 cm\quad \quad a=10,5\,\text{cm};\,b=5,4\,\text{cm};\,c=6\,\text{cm};\,d=4,8\,\text{cm}
anhand des Applets.
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GeoGebra
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Zeichne zuerst die Punkte A(5∣8)A (5\vert8), C(5∣1)C (5\vert1) und die Gerade b:x=7b: x = 7 in ein Koordinatensystem.
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Die Punkte B1=(7∣2)B_1=(7|2) und B2=(7∣5)B_2 = (7|5) liegen auf der Geraden bb. Ergänze die Dreiecke AB1CAB_1C und AB2CAB_2C jeweils zu einem Drachenviereck AB1CD1AB_1CD_1 bzw. AB2CD2AB_2CD_2.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Drachenviereck


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Für jeden Punkt BnB_n auf der Geraden bb kann man das Dreieck ABnCAB_nC zu einem Drachenviereck ABnCDnAB_nCD_n ergänzen. Alle Punkte DnD_n liegen auf einer Geraden. Zeichne diese ein.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Drachenviereck

[AC][AC] ist die Symmetrieachse im Drachenviereck. Das bedeutet, dass die Gerade dd gleich weit von [AC][AC] entfernt sein muss, wie die Gerade bb, damit ein Drachenviereck zustande kommt. AA und CC liegen beide bei x=5x=5 und bb bei x=7x=7. Du spiegelst die Gerade bb an der Gerade AC‾\overline{AC}und erhältst so die Gerade dd.
d:x=3\displaystyle d:x=3
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Nenne zwei Beispiele für die Punkte BB und DD, die auf den jeweiligen Geraden bb und dd liegen, dass das Drachenviereck ABCDABCD entsteht.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Drachenviereck

Die Punkte BB und DD müssen beide gegenüber voneinander liegen und sie dürfen nicht höher oder auf gleicher höhe wie AA und niedriger oder auf gleicher höhe wie CC sein.
Dann kannst du die Punkte egal wo auf der jeweiligen Gerade bb oder dd platzieren. Hier ein paar Beispiele.
D(3∣7)D (3\vert7); B(7∣7)B (7\vert7)
D(3∣6)D (3\vert6); B(7∣6)B (7\vert6)
D(3∣5)D (3\vert5); B(7∣5)B (7\vert5)
D(3∣4)D (3\vert4); B(7∣4)B (7\vert4)
D(3∣3)D (3\vert3); B(7∣3)B (7\vert3)
D(3∣2)D (3\vert2); B(7∣2)B (7\vert2)
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Wann ist das Drachenviereck ABCDABCD eine Raute? Versuche BB und DD jetzt so zu verschieben, dass sie mit AA oder mit DD ein Dreieck bilden?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Drachenviereck

Raute

Das Viereck ABCDABCD ist eine Raute, wenn [BD][BD] auch eine Symmetrieachse von ABCDABCD ist. Das ist der Fall, wenn die Punkte BB, DD an der Halbierenden der Strecke [AC][AC] liegen. Jetzt sind alle Seiten der Raute gleich lang.
D(3∣4,5),B(7∣4,5)\displaystyle D(3\vert4,5), B(7\vert4,5)

Dreieck

Ein Dreieck wird es dann, wenn AA oder CC auf der Strecke [BD][BD] liegt. Das passiert, wenn BB und DD auf gleicher Höhe sind wie AA oder CC.
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Was fällt dir im Bezug auf die verschiedenen Drachendreiecke/Raute/Dreiecke am Flächeninhalt auf?
Alle Figuren haben den gleichen Flächeninhalt.
ADreieck=12⋅g⋅h\displaystyle A_{Dreieck}=\frac12\cdot g\cdot h
ARaute=12⋅e⋅f\displaystyle A_{Raute}=\frac12\cdot e\cdot f
ADrachenviereck=12⋅e⋅f\displaystyle A_{Drachenviereck}=\frac12\cdot e\cdot f
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Welche der folgenden Dreiecke sind zueinander kongruent? Begründe deine Antwort mit einem passenden Kongruenzsatz.
kongruente Dreiecke

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kongruenz

Wirf einen Blick auf die Kongruenzsätze und überlege dir für die einzelnen Dreiecke, welchen du verwenden könntest.
Kongruente Dreiecke
Um zu erkennen, dass das rote\color{cc0000}{\text{rote}} und das lila\color{660099}{\text{lila}} Dreieck kongruent sind, kannst du den SWS-Satz verwenden. Beide Dreiecke haben Seiten der Länge 3 cm3\ \text{cm} und 4 cm4\ \text{cm} und der von diesen Seiten eingeschlossene Winkel beträgt bei beiden 90°90°.
Kongruente Dreiecke
Das gru¨ne\color{006400}{\text{grüne}} und orange\color{ff6600}{\text{orange}} Dreieck sind auch kongruent. Bei beiden Dreiecken hast du jeweils zwei Winkel und die dazwischenliegende Seitenlänge gegeben. Die Winkel und die Seitenlänge stimmen auch überein. Hier gilt also der WSW-Satz.
Kongruente Dreiecke
Beim tu¨rkisen\color{009999}{\text{türkisen}} und schwarzen\color{000000}{\text{schwarzen}} Dreieck hast du jeweils alle drei Seitenlängen gegeben. Weil diese alle miteinander übereinstimmen, kannst du mit dem SSS-Satz feststellen, dass sie kongruent sind.
Bei beiden Dreiecken hast du auch jeweils alle Winkel gegeben, du könntest statt dem SSS-Satz also auch einen beliebigen anderen Kongruenzsatz verwenden, um festzustellen, dass die Dreiecke kongruent sind.
nicht kongruente Dreiecke
Das gru¨ne\color{006400}{\text{grüne}} und lila\color{660099}{\text{lila}} Dreieck sind nicht kongruent. Da der größeren Seite auch der größere Winkel gegenüber liegt, ist beim gru¨nen\color{006400}{\text{grünen}} Dreieck die Seite gegenüber dem Winkel 51,34°51,34° länger als 4 cm4\ \text{cm}. Aber beim lilanen\color{660099}{\text{lilanen}} Dreieck hast du als Seitenlänge einmal 4 cm4\ \text{cm} und einmal 3 cm3\ \text{cm} gegeben. Somit stimmen die Seiten der beiden Dreiecke nicht überein und die Dreiecke sind nicht kongruent zueinander.
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