Kursübersicht ▾ 4 Allgemeine VorgehensweiseFalls du noch sehen möchtest, wie die quadratische Ergänzung mit allgemeinen Parametern a a a b b b c c c
Falls dir schon klar ist, wie du vorgehen musst, kannst du diese Seite auch überspringen.
In der Tabelle siehst du nochmals die Vorgehensweise erläutert anhand eines Beispiels − 4 x + 1 2 x 2 + 5 -4x+\frac12x^2+5 − 4 x + 2 1 x 2 + 5 b x + a x 2 + c bx+ax^2+c b x + a x 2 + c a a a b b b c c c a = 1 2 a=\frac12 a = 2 1 b = − 4 b=-4 b = − 4 c = 5 c=5 c = 5
− 4 x + 1 2 x 2 + 5 -4x+\frac12x^2+5 − 4 x + 2 1 x 2 + 5
b x + a x 2 + c bx+ax^2+c b x + a x 2 + c
Sortieren:
Vorne der x 2 x^2 x 2 x x x
Hier: 4 x 4x 4 x
= 1 2 x 2 − 4 x + 5 =\frac12x^2-4x+5 = 2 1 x 2 − 4 x + 5
= a x 2 + b x + c =ax^2+bx+c = a x 2 + b x + c
Ausklammern:
Den Koeffizienten des quadratischen Terms bei den "x-Termen" ausklammern (Faktorisieren ).
Hier: a = 1 2 a=\frac12 a = 2 1 x x x
= 1 2 ( x 2 − 8 x ) + 5 =\frac12(x^2-8x)+5 = 2 1 ( x 2 − 8 x ) + 5
= a ( x 2 + b a x ) + c =a(x^2+\frac bax)+c = a ( x 2 + a b x ) + c
Ergänzen:
Halbiere den Vorfaktor des Terms mit x x x
Hier: Ergänzen mit ( b 2 a ) 2 = ( 8 2 ) 2 = 4 2 = 16 \left(\frac b{2a}\right)^2=\left(\frac82\right)^2=4^2=16 ( 2 a b ) 2 = ( 2 8 ) 2 = 4 2 = 16
= 1 2 ( x 2 − 8 x + 16 − 16 ⏟ = 0 ) + 5 =\frac12(x^2-8x\underbrace{+16-16}_{=0})+5 = 2 1 ( x 2 − 8 x = 0 + 16 − 16 ) + 5
= a ( x 2 + 2 b 2 a x + ( b 2 a ) 2 − ( b 2 a ) 2 ⏟ = 0 ) + c =a(x^2+2\frac b{2a}x\underbrace{+\left(\frac b{2a}\right)^2-\left(\frac b{2a}\right)^2}_{=0})+c = a ( x 2 + 2 2 a b x = 0 + ( 2 a b ) 2 − ( 2 a b ) 2 ) + c
Zusammenfassen:
mit Hilfe der Binomischen Formeln .
Hier: Man kann den Term in eine binomische Formel umwandeln:
x 2 − 8 x + 16 = ( x − 4 ) 2 x 2 + b a x + ( b 2 a ) 2 = ( x + b 2 a ) 2 \displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}x^2-8x+16=(x-4)^2\\x^2+\frac bax+\left(\frac b{2a}\right)^2=\left(x+\frac b{2a}\right)^2\end{array} x 2 − 8 x + 16 = ( x − 4 ) 2 x 2 + a b x + ( 2 a b ) 2 = ( x + 2 a b ) 2 = 1 2 ( ( x − 4 ) 2 − 16 ) + 5 =\frac12((x-4)^2-16)+5 = 2 1 (( x − 4 ) 2 − 16 ) + 5
= a ( ( x + b 2 a ) 2 − ( b 2 a ) 2 ) + c =a\left(\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\left(\frac{b}{2a}\right)^2\right)+c = a ( ( x + 2 a b ) 2 − ( 2 a b ) 2 ) + c
Klammer ausmultiplizieren
Hier: In der Klammer stehen die beiden Summanden ( x + b 2 a ) 2 = ( x − 4 ) 2 \left(x+\frac b{2a}\right)^2=(x-4)^2 ( x + 2 a b ) 2 = ( x − 4 ) 2 − ( b 2 a ) 2 = ( − 16 ) -\left(\frac b{2a}\right)^2=(-16)\; − ( 2 a b ) 2 = ( − 16 )
= 1 2 ( x − 4 ) 2 − 8 + 5 =\frac12(x-4)^2-8+5 = 2 1 ( x − 4 ) 2 − 8 + 5
= a ( ( x + b 2 a ) 2 ) − a ( b 2 a ) 2 + c =a\left(\left(x+\frac b{2a}\right)^2\right)-a\left(\frac b{2a}\right)^2+c = a ( ( x + 2 a b ) 2 ) − a ( 2 a b ) 2 + c
= 1 2 ( x − 4 ) 2 − 3 =\frac12(x-4)^2-3 = 2 1 ( x − 4 ) 2 − 3
= a ( ( x + b 2 a ) 2 ) − b 2 4 a + c =a\left(\left(x+\frac b{2a}\right)^2\right)-\frac{b^2}{4a}+c = a ( ( x + 2 a b ) 2 ) − 4 a b 2 + c
= 1 2 ( x − 4 ) 2 − 3 =\frac12(x-4)^2-3 = 2 1 ( x − 4 ) 2 − 3
= a ( ( x + b 2 a ) 2 ) − b 2 4 a + c =a\left(\left(x+\frac b{2a}\right)^2\right)-\frac{b^2}{4a}+c = a ( ( x + 2 a b ) 2 ) − 4 a b 2 + c
5 Übungsaufgaben
