9Anwendung: Lösen quadratischer Gleichungen

Eine normale quadratische Gleichung der Form $ax^2+bx+c=0$ kann man nicht ohne Weiteres lösen, da die gesuchte Variable $x$ sowohl im Quadrat $(ax^2)$ , als auch linear vorkommt. In der Scheitelform ist dieses Problem behoben. Die Variable steht nur einmal in der binomischen Formel und die Gleichung ist durch Ziehen der Wurzel und einfaches Umformen der Gleichung lösbar.

Hier siehst du vier Beispiele für den Lösungsweg durch Wurzelziehen, bei denen links bereits eine Scheitelform steht.

Der Definitionsbereich ist jeweils $\mathbb{R}$ .

Beispiel:

$3(x-4)^2-12=0$

$L=\left\{2;6\right\}$

Beispiel:

$-2(x+\frac12)^2+\frac 12=0$

$L=\left\{-1;0\right\}$

Beispiel:

$-5(x-1)^2+11=26$

Wurzel aus $-3$ ist nicht definiert.

$\Rightarrow$ keine Lösung

$L=\left\{\;\;\right\}$

Beispiel:

$2(x+3)^2+1=2x^2+12x+19$

Allgemeingültige Aussage

$\Rightarrow$ Lösungsmenge entspricht der Definitionsmenge

$L=\mathbb{R}$

Das Lösen einer quadratischen Gleichung ist auch anders, z.B. mit der Mitternachtsformel, möglich. Später wirst du noch sehen, dass die Mitternachtsformel nur eine allgemeine Anwendung der quadratischen Ergänzung ist.

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