4Allgemeine Vorgehensweise

$-4x+\frac12x^2+5$

$bx+ax^2+c$

Sortieren:

Vorne der $x^2$-Term, dann der $x$-Term und dann die Konstante.

Hier: $4x$ in die Mitte schieben

$=\frac12x^2-4x+5$

$=ax^2+bx+c$

Ausklammern:

Den Koeffizienten des quadratischen Terms bei den "x-Termen" ausklammern (Faktorisieren).

Hier: $a=\frac12$ bei den $x$-Termen ausklammern.

$=\frac12(x^2-8x)+5$

$=a(x^2+\frac bax)+c$

Ergänzen:

Halbiere den Vorfaktor des Terms mit $x$, quadriere dann und addiere das Ergebnis direkt dahinter und subtrahiere es wieder.

Hier: Ergänzen mit $\left(\frac b{2a}\right)^2=\left(\frac82\right)^2=4^2=16$

$=\frac12(x^2-8x\underbrace{+16-16}_{=0})+5$

$=a(x^2+2\frac b{2a}x\underbrace{+\left(\frac b{2a}\right)^2-\left(\frac b{2a}\right)^2}_{=0})+c$

Zusammenfassen:

mit Hilfe der Binomischen Formeln.

Hier: Man kann den Term in eine binomische Formel umwandeln:

$=\frac12((x-4)^2-16)+5$

$=a\left(\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\left(\frac{b}{2a}\right)^2\right)+c$

Klammer ausmultiplizieren

Hier: In der Klammer stehen die beiden Summanden $\left(x+\frac b{2a}\right)^2=(x-4)^2$ und $-\left(\frac b{2a}\right)^2=(-16)\;$.

$=\frac12(x-4)^2-8+5$

$=a\left(\left(x+\frac b{2a}\right)^2\right)-a\left(\frac b{2a}\right)^2+c$

Rechte Summe ausrechnen

$=\frac12(x-4)^2-3$

$=a\left(\left(x+\frac b{2a}\right)^2\right)-\frac{b^2}{4a}+c$