Gemischte Aufgaben zu quadratischen Funktionen

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123mathe.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann

Gegeben ist die Funktionsgleichung einer Parabel mit: $\mathrm f\left(\mathrm x\right)=-\frac12x^2+2x+1$ .

Berechne den Scheitelpunkt mithilfe der Scheitelform.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Parabeln

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle -\frac{1}{2}x^2+2x+1$
	↓	Distributivgesetz anwenden. $-\frac12$ ausklammern.
	$=$	$\displaystyle -\frac{1}{2}\cdot\left(x^2-4x-2\right)$
	↓	Quadratische Ergänzung.
	$=$	$\displaystyle -\frac{1}{2}\left(x^2-4x+\left(\frac{4}{2}\right)^2-\left(\frac{4}{2}\right)^2-2\right)$
	↓	Schreibe in eine Binomische Formel um.
	$=$	$\displaystyle -\frac{1}{2}\left(\left(x-\frac{4}{2}\right)^2-\left(\frac{4}{2}\right)^2-2\right)$
	$=$	$\displaystyle -\frac12\left(\left(x-\textstyle2\right)^2-{\textstyle2}^2-2\right)$
	$=$	$\displaystyle -\frac12\left(\left(x-\textstyle2\right)^2-{\textstyle4}-2\right)$
	$=$	$\displaystyle -\frac12\left(\left(x-\textstyle2\right)^2-6\right)$
	↓	Wende das Distributivgesetz an.
	$=$	$\displaystyle -\frac12\left(x-\textstyle2\right)^2-6\cdot\left(-\frac12\right)$
	$=$	$\displaystyle -\frac12\left(x-\textstyle2\right)^2\textstyle+\textstyle3$

Lies nun noch den Scheitelpunkt ab.

Scheitelpunkt: $\mathrm S\left(2\;\left|\;3\right.\right)$

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Berechne die Achsenschnittpunkte.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen berechnen

Schnittpunkte mit der x-Achse bestimmen: Nullstelle berechnen

$f\left(\mathrm{x}\right)=-\frac{1}{2}x^2+2x+1$

Wende die Mitternachtsformel an. Dazu erst die Diskriminante D berechnen.

$\displaystyle D$	$=$	$\displaystyle 2^2-4\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)\cdot1$
	$=$	$\displaystyle 4-4\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)$
	$=$	$\displaystyle 4+2$
	$=$	$\displaystyle 6$
	↓	2 Lösungen. Wende die Mitternachtsformel an.
$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle \frac{-2+\sqrt{D}}{2\cdot(-0{,}5)}=2-\sqrt{6}$
	↓	$P_{x_1}\left(2-\sqrt6\vert\;0\right)$
$\displaystyle x_2$	$=$	$\displaystyle =\frac{-2-\sqrt D}{2\cdot(-0{,}5)}=\textstyle2\textstyle+\textstyle\sqrt6$
	↓	$P_{x_1}\left(2+\sqrt6\vert\;0\right)$

Schnittpunkt mit der y-Achse

$f\left(\mathrm{x}\right)=-\frac{1}{2}x^2+2x+1$

Setze x gleich 0.

$f\left(0\right)=-\frac{1}{2}0^2+2\cdot 0+1=1$

$P_y\left(0\vert\;1\right)$

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Die Parabel soll so verschoben werden, dass der Punkt der Parabel, der auf der y-Achse liegt, durch den Punkt $P (-3| -1)$ verläuft. Wie lautet die Funktionsgleichung $g(x)$ der verschobenen Parabel?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Parabeln

$P`\left(-3\vert\;-1\right)$ $P_y\left(0\vert\;1\right)$

0 $\rightarrow\;$ 3

Verschiebung um 3 Einheiten nach links.

-1 $\rightarrow\;$ 1

Verschiebung um 2 Einheiten nach unten.

Um eine Parabel zu verschieben, muss die Scheitelform nach vorherig gemachten Angaben verändert werden.

$f\left(\mathrm x\right)=-\frac12\left(x-\textstyle2\right)^2\textstyle+\textstyle3$ $\longrightarrow$ $g\left(\mathrm x\right)=-\frac12\left(x\textstyle+\textstyle1\right)^2\textstyle+\textstyle1$

$\displaystyle g\left(\mathrm{x}\right)$	$=$	$\displaystyle -\frac12\left(x\textstyle+\textstyle1\right)^2\textstyle+\textstyle1$
	↓	Multipliziere die Funktion aus. Binomische Formel.
	$=$	$\displaystyle -\frac12{\textstyle\left(x^2+2x+1\right)}+1\textstyle$
	$=$	$\displaystyle -\frac{1}{2}x^2-x-\frac{1}{2}+1$
	$=$	$\displaystyle -\frac{1}{2}x^2-x+\frac{1}{2}$

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Wo schneiden sich beide Parabeln?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Parabeln

Ansatz: $f(x)=g(x)$

$f\left(x\right)=-\frac{1}{2}x^2+2x+1\ ;\ g\left(x\right)=-\frac{1}{2}x^2-x+\frac{1}{2}$

$\displaystyle -\frac{1}{2}x^2+2x+1$	$=$	$\displaystyle -\frac{1}{2}x^2-x+\frac{1}{2}$
	↓	Nach x auflösen.
$\displaystyle 2x+1$	$=$	$\displaystyle -x+\frac{1}{2}$
$\displaystyle 3x$	$=$	$\displaystyle -\frac{1}{2}$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle -\frac{1}{6}$
	↓	Setze den gefundenen x-Wert in eine der Anfangsgleichungen, um den zugehörigen y-Wert zu berechnen.
$\displaystyle f\left(-\frac{1}{6}\right)$	$=$	$\displaystyle -\frac{1}{2}\cdot\left(-\frac{1}{6}\right)^2+\frac{1}{6}+\frac{1}{2}$
	$=$	$\displaystyle -\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{36}+\frac{1}{6}+\frac{1}{2}$
	$=$	$\displaystyle -\frac{1}{72}+\frac{1}{6}+\frac{1}{2}$
	↓	Hauptnenner bilden und auf diesen erweitern . $\rightarrow\;$ 6
	$=$	$\displaystyle -\frac{1}{72}+\frac{1}{6}+\frac{3}{6}$
	$=$	$\displaystyle -\frac{1}{72}+\frac{4}{6}$
	↓	Hauptnenner bilden und auf diesen erweitern . $\rightarrow\;$ 72
	$=$	$\displaystyle -\frac{1}{72}+\frac{48}{72}$
	$=$	$\displaystyle \frac{47}{72}$

$\mathrm S\left(-\frac16\vert\;\frac{47}{72}\right)$

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Zeichne beide Parabeln in ein geeignetes Koordinatensystem.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Parabeln
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Schnittpunkte mit der x-Achse bestimmen: Nullstelle berechnen

f(x)=−12x2+2x+1f\left(\mathrm{x}\right)=-\frac{1}{2}x^2+2x+1f(x)=−21​x2+2x+1

Schnittpunkt mit der y-Achse

f(x)=−12x2+2x+1f\left(\mathrm{x}\right)=-\frac{1}{2}x^2+2x+1f(x)=−21​x2+2x+1

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$f\left(\mathrm{x}\right)=-\frac{1}{2}x^2+2x+1$

$f\left(\mathrm{x}\right)=-\frac{1}{2}x^2+2x+1$