Stochastik, Teil A, Aufgabengruppe 1

Bei einem Zufallsexperiment wird eine ideale Münze so lange geworfen, bis zum zweiten Mal Zahl $(Z)$ oder zum zweiten Mal Wappen $(W)$ oben liegt. Als Ergebnismenge wird festgelegt: $\{ZZ; \; WW; \; ZWZ; \; ZWW; \; WZZ; \; WZW\}$

Begründen Sie, dass dieses Zufallsexperiment kein Laplace-Experiment ist. (2 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Laplace-Expriment

Zur Bearbeitung beider Teilaufgaben benötigst du außerdem folgendes Grundwissen: Zufallsexperiment, Ereignis, Wahrscheinlichkeit, Ergebnismenge, Zufallsgröße und Erwartungswert.

Ein Laplace-Experiment ist ein Zufallsexperiment, bei dem alle Elementarereignisse dieselbe Wahrscheinlichkeit haben.

Die Wahrscheinlichkeit ist für einen Münzwurf immer gleich, d. h. $P(Z) = P(W) = \frac{1}{2}$ .

Jedoch setzt sich die Ereignismenge aus verschieden langen Kombinationen von Münzwürfen zusammen. Aus diesem Grund können die möglichen Elementarereignisse nicht dieselbe Wahrscheinlichkeit haben.

Diese Wahrscheinlichkeitsverteilung der Ergebnismenge kannst du berechnen, indem du die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Ereignisse multiplizierst:

$\displaystyle P\left(ZZ\right)$	$=$	$\displaystyle P\left(Z\right)\cdot P\left(Z\right)$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{1}{4}$

$\displaystyle P\left(WW\right)$	$=$	$\displaystyle P\left(W\right)\cdot P\left(W\right)$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{1}{4}$

$\displaystyle P\left(ZWZ\right)$	$=$	$\displaystyle P\left(Z\right)\cdot P\left(W\right)\cdot P\left(Z\right)$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{1}{8}$

$\displaystyle P\left(ZWW\right)$	$=$	$\displaystyle P\left(Z\right)\cdot P\left(W\right)\cdot P\left(W\right)$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{1}{8}$

$\displaystyle P\left(WZZ\right)$	$=$	$\displaystyle P\left(W\right)\cdot P\left(Z\right)\cdot P\left(Z\right)$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{1}{8}$

$\displaystyle P\left(WZW\right)$	$=$	$\displaystyle P\left(W\right)\cdot P\left(Z\right)\cdot P\left(W\right)$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{1}{8}$

Somit ist das angegebene Zufallsexperiment kein Laplace-Experiment.

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Die Zufallsgröße $X$ ordnet jedem Ergebnis die Anzahl der entsprechenden Münzwürfe zu. Berechnen Sie den Erwartungswert von $X$ . (3 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zufallsgröße

Die Zufallsgröße $X$ drückt die Anzahl der Münzwürfe für die entsprechenden Ereignisse aus. Das bedeutet, dass man für jedes Element aus der Ergebnismenge jeweils einen Wert für $X$ erhält, der besagt, wie oft die Münze geworfen wurde. Trage alle Ergebnisse zur Übersichtlichkeit in eine Tabelle ein:

	$ZZ$	$WW$	$ZWZ$	$ZWW$	$WZZ$	$WZW$
Zufallsgröße $X$	2	2	3	3	3	3

Die Wahrscheinlichkeiten $P$ der einzelnen Elementarereignisse hast du bereits in Teilaufgabe a) ausgerechnet. Daraus kannst du die Wahrscheinlichkeit, das Experiment nach zwei und drei Münzwürfen abzubrechen, ausrechnen.

Die Wahrscheinlichkeit für $X=2$ ist:

$\def\arraystretch{2} \begin{array}{rrl}P(X=2) &= &P(\{ZZ\}) + P(\{WW\}) \\P(X=2) &= &\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4} \\P(X=2) &= &\dfrac{1}{2}\end{array}$

Die Wahrscheinlichkeit für $X=3$ ist:

$\def\arraystretch{2} \begin{array}{rrl}P(X=3) &= &P(\{ZWZ\}) + P(\{ZWW\}) + P(\{WZZ\}) + P(\{WZW\}) \\P(X=3) &= &\dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{8}\\P(X=3) &= &\dfrac{1}{2}\end{array}$

Der Mittelwert, also der Erwartungswert, dieser Zufallsgröße $X$ ergibt sich wie folgt:

Übertrage die Werte aus der Tabelle in die allgemeine Formel und berechne den Wert.

$\displaystyle E(X)$	$=$	$\displaystyle 2\cdot P(X=2)+3\cdot P(X=3)$
$\displaystyle E(X)$	$=$	$\displaystyle 2\cdot\dfrac{1}{2}+3\cdot\dfrac{1}{2}$
$\displaystyle E(X)$	$=$	$\displaystyle 1+\dfrac{3}{2}$
$\displaystyle E(X)$	$=$	$\displaystyle \dfrac{5}{2}$

Der Erwartungswert $E$ der Zufallsgröße $X$ ist also $\dfrac{5}{2}$ . In der Sachsituation bedeutet dieser Mittelwert, dass die Münze im Schnitt 2,5 mal geworfen wird.

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