Stochastik, Teil A, Aufgabengruppe 1

Berechnung von $P(B)$

Aus dem linken Baumdiagramm kannst du folgende Werte entnehmen:

• $P(A) = 0{,}4 = \frac{4}{10}$

• $P(\overline{A}) = 0{,}6 = \frac{6}{10}$

• $P_A(B) = \frac{3}{4}$

• $P_A(\overline{B}) = \frac{1}{4}$

• $P_{\overline{A}}(B) = \frac{1}{3}$

• $P_{\overline{A}}(\overline{B}) = \frac{2}{3}$

Um $P(B)$ zu berechnen, musst du die erste und zweite Pfadregel anwenden. Kurz gesagt, benutzt du den Multiplikationssatz:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrl}P(B) &= &P_A(B) \cdot P(A) + P_{\overline{A}}(B) \cdot P(\overline{A}) \\P(B) &= &\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{10} + \frac{1}{3} \cdot \frac{6}{10} \\P(B) &= &\frac{3}{10} + \frac{2}{10} \\P(B) &= &\frac{1}{2}\end{array}$

Die Wahrscheinlichkeit für $P(B)$ beträgt also $\frac{1}{2}$.

Ergänzung des Baumdiagramms

Du hast bereits mithilfe der ersten Pfadregel folgende Wahrscheinlichkeiten berechnet:

• $P(A \cap B) = P_A(B) \cdot P(A) = \frac{3}{10}$

• $P(\overline{A} \cap B) = P_{\overline{A}}(B) \cdot P(\overline{A}) = \frac{2}{10}$

Vervollständige den linken Baum:

• $P(A \cap \overline{B}) = P_A(\overline{B}) \cdot P(A) = \frac{1}{4} \cdot \frac{4}{10} = \frac{1}{10}$

• $P(\overline{A} \cap \overline{B}) = P_{\overline{A}}(\overline{B}) \cdot P(\overline{A}) = \frac{2}{3} \cdot \frac{6}{10} = \frac{2}{5}$

Aus dem ersten Teil der Frage weißt du, dass $P(B) = \frac{1}{2}$ gilt. Daraus folgt $P(\overline{B}) = 1 - P(B) = \frac{1}{2}$ für den rechten Baum.

Diesmal sind dir die bedingten Wahrscheinlichkeiten unbekannt. Um diese auszurechnen, stellst du die erste Pfadregel um.

• $P_B(A) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{\frac{3}{10}}{\frac{1}{2}} = \frac{3}{5}$

• $P_B(\overline{A}) = \frac{P(\overline{A} \cap B)}{P(B)} = \frac{\frac{2}{10}}{\frac{1}{2}} = \frac{1}{5}$

• $P_{\overline{B}}(A) = \frac{P(A \cap \overline{B})}{P(\overline{B})} = \frac{\frac{1}{10}}{\frac{1}{2}} = \frac{1}{5}$

• $P_{\overline{B}}(\overline{A}) = \frac{P(\overline{A} \cap \overline{B})}{P(\overline{B})} = \frac{\frac{2}{5}}{\frac{1}{2}} = \frac{4}{5}$

Trage anschließend die Ergebnisse in beide Baumdiagramme ein.