Zum Einzeichnen des Dreiecks mit $\phi =50\mathrm{°}\backslash varphi=50°$ gehst du am besten so vor, dass du als Erstes $\frac{\phi }{2}=25\mathrm{°}\backslash frac\{\backslash varphi\}\{2\}=25°$ an beiden Seiten von $[\mathrm{C}\mathrm{M}][\backslash mathrm\{CM\}]$ anträgst (rote Winkel in der Zeichnung). Dadurch erhältst du einen Winkel von $\phi =50\mathrm{°}\backslash varphi=50°$ und erfüllst die Aufgabenstellung.

Damit du die Höhe gleich bleibt sind die Eckpunkte des neuen Dreiecks die Schnittpunkte deiner "Winkelschenkel" (orangene Halbgeraden) mit der Strecke $[AB][AB]$.

Das neue Dreieck $A_2{B}_{2}CA\_2\; B\_2\; C$ ist in der Zeichnung orange hinterlegt.

Lösungsideen und Hinweise:

• In der Aufgabe steht, dass $\mathrm{A}(\phi )=25\cdot \tan \frac{\phi }{2}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2\backslash mathrm\{A\}(\backslash varphi)=25\backslash cdot\; \backslash tan\backslash frac\{\backslash varphi\}\{2\}\backslash \; \backslash mathrm\{cm^2\}$ ist. Das heißt allerdings nicht, dass man das verwenden darf, sondern nur, dass man es als Ergebnis herausbekommen soll, wenn man den Flächeninhalt der Dreiecke ${\mathrm{A}}_{\mathrm{n}}{\mathrm{B}}_{\mathrm{n}}\mathrm{C}\backslash mathrm\{A\_n\; B\_n\; C\}$ bestimmt. $\to \backslash rightarrow$ Rechne daher so, als sei der Flächeninhalt von Dreieck ${\mathrm{A}}_{\mathrm{n}}{\mathrm{B}}_{\mathrm{n}}\mathrm{C}\backslash mathrm\{A\_n\; B\_n\; C\}$ gesucht und versuche, dabei auf die Formel zu kommen.

• "in Abhängigkeit von $\phi \backslash varphi$" heißt, dass $\phi \backslash varphi$ im Ergebnis stehen bleiben darf und kein Wert für $\phi \backslash varphi$ eingesetzt werden soll (insbesondere also weder die 80° aus der Angabe zur Aufgabenstellung noch die $50\mathrm{°}50°$ aus A.1.1).

Formel für Flächeninhalt $\mathrm{\Delta }{A}_n{B}_{n}C\backslash Delta\; A\_n\; B\_n\; C$ in Abhängigkeit von $\phi \backslash varphi$ aufstellen

Es gibt verschiedenen Arten, um den Flächeninhalt eines Dreiecks zu berechnen. Hier in diesem Fall

• versuchst du es am besten mit der Formel $A_{\mathrm{\Delta }}=\frac{1}{2}\cdot g\cdot hA\_\{\backslash Delta\}=\backslash frac\{1\}\{2\}\backslash cdot\; g\backslash cdot\; h$

• und nimmst dabei

• als Grundlinie $gg$ die Strecke $[{\mathrm{A}}_{\mathrm{n}}{\mathrm{B}}_{\mathrm{n}}][\backslash mathrm\; \{A\_n\; B\_n\}]$

• und als Höhe $hh$ die Strecke $[\mathrm{C}\mathrm{M}][\backslash mathrm\{CM\}]$.

$A_{\mathrm{\Delta }}=\frac{1}{2}\cdot \overline{{\mathrm{A}}_{\mathrm{n}}{\mathrm{B}}_{\mathrm{n}}}\cdot \overline{\mathrm{C}\mathrm{M}}A\_\{\backslash Delta\; \}=\backslash frac\{1\}\{2\}\backslash cdot\; \backslash overline\{\backslash mathrm\{A\_nB\_n\}\}\backslash cdot\; \backslash overline\{\backslash mathrm\{CM\}\}$

In der Aufgabe ist $\overline{\mathrm{C}\mathrm{M}}=5\mathrm{c}\mathrm{m}\backslash overline\{\backslash mathrm\{CM\}\}=5\backslash ,\; \backslash mathrm\{cm\}$ angegeben. Das ist unabhängig davon, wie groß $\phi \backslash varphi$ ist.

$A_{\mathrm{\Delta }}=\frac{1}{2}\cdot \overline{{\mathrm{A}}_{\mathrm{n}}{\mathrm{B}}_{\mathrm{n}}}\cdot 5\mathrm{c}\mathrm{m}A\_\{\backslash Delta\}=\backslash frac\{1\}\{2\}\backslash cdot\; \backslash overline\; \{\backslash mathrm\; \{A\_n\; B\_n\}\}\backslash cdot\; 5\; \backslash ,\; \backslash mathrm\{cm\}$

$\frac{1}{2}\cdot \overline{{\mathrm{A}}_{\mathrm{n}}{\mathrm{B}}_{\mathrm{n}}}\backslash frac\{1\}\{2\}\backslash cdot\; \backslash overline\{\backslash mathrm\{A\_nB\_n\}\}$ kannst du zu $\overline{{\mathrm{A}}_{\mathrm{n}}\mathrm{M}}\backslash overline\; \{\backslash mathrm\; \{A\_n\; M\}\}$ zusammenfassen oder du setzt $\overline{{\mathrm{A}}_{\mathrm{n}}{\mathrm{B}}_{\mathrm{n}}}=2\cdot \overline{{\mathrm{A}}_{\mathrm{n}}\mathrm{M}}\backslash overline\{\backslash mathrm\{A\_nB\_n\}\}=2\backslash cdot\backslash overline\{\backslash mathrm\{A\_nM\}\}$ in die Formel ein und vereinfachst:

Term für $\overline{{\mathrm{A}}_{\mathrm{n}}\mathrm{M}}\backslash overline\; \{\backslash mathrm\; \{A\_n\; M\}\}$ aufstellen

Zur Bestimmung von $\overline{{\mathrm{A}}_{\mathrm{n}}\mathrm{M}}\backslash overline\; \{\backslash mathrm\; \{A\_n\; M\}\}$ betrachte das Dreieck $\mathrm{\Delta }{\mathrm{A}}_{\mathrm{n}}\mathrm{M}\mathrm{C}\backslash Delta\; \backslash mathrm\{A\_n\; M\; C\}$ (oranges Dreieck).

$\mathrm{\Delta }{\mathrm{A}}_{\mathrm{n}}\mathrm{M}\mathrm{C}\backslash Delta\; \backslash mathrm\{A\_n\; M\; C\}$ ist rechtwinklig. Daher kannst du die Formeln für Sinus, Kosinus und Tangens im rechtwinkligen Dreieck verwenden.

Stelle den Tangens auf, weil dieser in der angegebenen Formel verwendet wird.

$\tan (\frac{\phi }{2})={\displaystyle \frac{\overline{{\mathrm{A}}_{\mathrm{n}}\mathrm{M}}}{\overline{\mathrm{C}\mathrm{M}}}}\backslash tan\; (\backslash frac\{\backslash varphi\; \}\{2\})=\backslash dfrac\{\backslash overline\{\backslash mathrm\{A\_nM\}\}\}\{\backslash overline\{\backslash mathrm\{CM\}\}\}$

Die Formel für $\tan (\frac{\phi }{2})\backslash tan(\backslash frac\{\backslash varphi\}\{2\})$ stellst du nach $\overline{{\mathrm{A}}_{\mathrm{n}}\mathrm{M}}\backslash overline\; \{\backslash mathrm\; \{A\_n\; M\}\}$ um, indem du mit $\overline{\mathrm{C}\mathrm{M}}\{\backslash overline\; \{\backslash mathrm\; \{C\; M\}\}\}$ multiplizierst.

$\tan (\frac{\phi }{2})={\displaystyle \frac{\overline{{\mathrm{A}}_{\mathrm{n}}\mathrm{M}}}{\overline{\mathrm{C}\mathrm{M}}}}\mathrm{\mid }\cdot \overline{\mathrm{C}\mathrm{M}}\backslash tan\; (\backslash frac\{\backslash varphi\; \}\{2\})=\backslash dfrac\{\backslash overline\{\backslash mathrm\{A\_nM\}\}\}\{\backslash overline\{\backslash mathrm\{CM\}\}\}\backslash quad\; |\backslash cdot\; \backslash overline\{\backslash mathrm\{CM\}\}$

$\tan (\frac{\phi }{2})\cdot \overline{\mathrm{C}\mathrm{M}}=\overline{{\mathrm{A}}_{\mathrm{n}}\mathrm{M}}\backslash tan\; (\backslash frac\{\backslash varphi\; \}\{2\})\backslash cdot\; \backslash overline\{\backslash mathrm\{CM\}\}=\backslash overline\{\backslash mathrm\{A\_nM\}\}$

Für $\overline{\mathrm{C}\mathrm{M}}\backslash overline\; \{\backslash mathrm\; \{C\; M\}\}$ kannst du natürlich wieder $5\mathrm{c}\mathrm{m}5\; \backslash ,\; \backslash mathrm\{cm\}$ einsetzen.

$\overline{{\mathrm{A}}_{\mathrm{n}}\mathrm{M}}=\tan (\frac{\phi }{2})\cdot 5\mathrm{c}\mathrm{m}\{\backslash overline\; \{\backslash mathrm\; \{A\_n\; M\}\}\}\; =\backslash tan(\backslash frac\{\backslash varphi\}\{2\})\backslash cdot5\; \backslash ,\; \backslash mathrm\{cm\}$

Dadurch erhältst du für $\overline{{\mathrm{A}}_{\mathrm{n}}\mathrm{M}}\{\backslash overline\; \{\backslash mathrm\; \{A\_n\; M\}\}\}$ einen Term, den du in den Term von oben

$A_{\mathrm{\Delta }}=\overline{{\mathrm{A}}_{\mathrm{n}}\mathrm{M}}\cdot 5\mathrm{c}\mathrm{m}A\_\{\backslash Delta\}=\backslash overline\; \{\backslash mathrm\; \{A\_n\; M\}\}\backslash cdot\; 5\; \backslash ,\; \backslash mathrm\{cm\}$ einsetzen kannst.

Formel zusammensetzen

Damit hast du - wenn du die Faktoren vertauscht - das gewünschte Ergebnis erhalten und gezeigt, dass gilt:

$A(\phi )=25\cdot \tan \frac{\phi }{2}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{2}A(\backslash varphi)=25\backslash cdot\; \backslash tan\backslash frac\{\backslash varphi\}\{2\}\backslash \; \backslash mathrm\{cm^2\}$

Lösungsideen

Gegeben:

Der Flächeninhalt von ${\mathrm{A}}_3{\mathrm{B}}_3\mathrm{C}\backslash mathrm\{A\_3\; B\_3\; C\}$ ist um $25\mathrm{\%}25\backslash \; \backslash \%$ größer als der Flächeninhalt von ${\mathrm{A}}_2{\mathrm{B}}_2\mathrm{C}\backslash mathrm\{A\_2\; B\_2\; C\}$

Lösungsplan:

1. Berechne zuerst den Flächeninhalt von ${\mathrm{A}}_2{\mathrm{B}}_2\mathrm{C}\backslash mathrm\{A\_2\; B\_2\; C\}$, indem du $\phi =50\mathrm{°}\backslash varphi\; =\; 50°$ in die Formel für $A(\phi )A(\backslash varphi)$ einsetzt.

• Berechne $125\mathrm{\%}125\backslash \; \backslash \%$ von der Zahl, die du als Flächeninhalt erhalten hast. Das ist dann der Wert des Flächeninhalts von ${\mathrm{A}}_3{\mathrm{B}}_3\mathrm{C}\backslash mathrm\{A\_3\; B\_3\; C\}$.

• Setze diesen Wert mit dem Term aus der Formel von $A(\phi )A(\backslash varphi)$ gleich und löse dann nach $\phi \backslash varphi$ auf.

Lösung

Fläche des Dreiecks ${\mathrm{A}}_2{\mathrm{B}}_2\mathrm{C}\backslash mathrm\{A\_2\; B\_2\; C\}$ berechnen

Für das Dreieck ${\mathrm{A}}_2{\mathrm{B}}_2\mathrm{C}\backslash mathrm\{A\_2\; B\_2\; C\}$ ist nach Aufgabe (a) der Wert von $\phi =50\mathrm{°}\backslash varphi=50°$.

Setze $\phi =50\mathrm{°}\backslash varphi\; =50°$ in die Formel $A(\phi )=25\cdot \tan \frac{\phi }{2}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{2}A(\backslash varphi)=25\backslash cdot\; \backslash tan\backslash frac\{\backslash varphi\}\{2\}\backslash \; \backslash mathrm\{cm^2\}$aus A.1.2 ein.

$A(50\mathrm{°})=25\cdot \tan \frac{50\mathrm{°}}{2}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{2}A(50°)=25\backslash cdot\; \backslash tan\; \backslash frac\{50°\}\{2\}\backslash \; \backslash mathrm\{cm^2\}$

Rechne das mit dem Taschenrechner aus.

Du darfst das Ergebnis auf 2 Stellen nach dem Komma runden.

$A_{{\mathrm{A}}_2{\mathrm{B}}_2\mathrm{C}}=A(50\mathrm{°})\approx \mathrm{11,66}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{2}A\_\{\backslash mathrm\{A\_2\; B\_2\; C\}\}=A(50°)\backslash approx\; 11\{,\}66\backslash ,\; \backslash mathrm\{cm^2\}$

(Für die weitere Rechnung ist es aber besser, wenn du das Ergebnis ungerundet speicherst und damit weiterrechnest; auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet wird dann erst das Endergebnis.)

$25\mathrm{\%}25\backslash \; \backslash \%$ dazu rechnen

Um $25\mathrm{\%}25\backslash \; \backslash \%$ zu $A_{{\mathrm{A}}_2{\mathrm{B}}_2\mathrm{C}}A\_\{\backslash mathrm\{A\_2\; B\_2\; C\}\}$ dazuzurechnen, kannst du entweder

• $25\mathrm{\%}25\backslash \; \backslash \%$ von $A_{{\mathrm{A}}_2{\mathrm{B}}_2\mathrm{C}}A\_\{\backslash mathrm\{A\_2\; B\_2\; C\}\}$ ausrechnen und dann zu $A_{{\mathrm{A}}_2{\mathrm{B}}_2\mathrm{C}}A\_\{\backslash mathrm\{A\_2\; B\_2\; C\}\}$ addieren,

oder

• gleich $100\mathrm{\%}+25\mathrm{\%}=125\mathrm{\%}100\backslash \; \backslash \%+25\backslash \; \backslash \%=125\backslash \; \backslash \%$ von $A_{{\mathrm{A}}_2{\mathrm{B}}_2\mathrm{C}}A\_\{\backslash mathrm\{A\_2\; B\_2\; C\}\}$ berechnen.

$125\mathrm{\%}125\backslash \; \backslash \%$ von $A_{{\mathrm{A}}_2{\mathrm{B}}_2\mathrm{C}}A\_\{\backslash mathrm\{A\_2\; B\_2\; C\}\}$ kannst du mit den Formeln zur Prozentrechnung oder mit dem Dreisatz berechnen. In jedem Fall erhältst du:

${\displaystyle \frac{125\cdot A_{{\mathrm{A}}_2{\mathrm{B}}_2\mathrm{C}}}{100}}=\mathrm{1,25}\cdot A(50\mathrm{°})\approx \mathrm{14,57}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2\backslash dfrac\{125\backslash cdot\; A\_\{\backslash mathrm\{A\_2\; B\_2\; C\}\}\}\{100\}=\; 1\{,\}25\; \backslash cdot\; A(50°)\backslash approx\; 14\{,\}57\; \backslash ,\; \backslash mathrm\{cm^2\}$

Anmerkung: Wenn du mit dem gerundeten Ergebnis $\mathrm{11,66}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{2}11\{,\}66\backslash ,\; \backslash mathrm\{cm^2\}$ für $A(50\mathrm{°})A(50°)$ gerechnet hast, erhältst du jetzt nach Rundung $\mathrm{14,58}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{2}14\{,\}58\backslash ,\; \backslash mathrm\{cm^2\}$.

Winkel $\phi \backslash varphi$ ausrechnen

Der gesuchte Winkel $\phi \backslash varphi$ muss gerade so groß sein, dass sich der gewünschte Flächeninhalt ergibt:

Setze daher die "allgemeine" Formel $A(\phi )=25\cdot \tan \frac{\phi }{2}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{2}A(\backslash varphi)=25\backslash cdot\; \backslash tan\backslash frac\{\backslash varphi\}\{2\}\backslash \; \backslash mathrm\{cm^2\}$ gleich mit dem Wert, den die Fläche haben soll und löse nach $\phi \backslash varphi$ auf.

$25\cdot \tan \frac{\phi }{2}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2=\mathrm{14,57}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{2}25\backslash cdot\; \backslash tan\backslash frac\{\backslash varphi\}\{2\}\backslash \; \backslash mathrm\{cm^2\}=14\{,\}57\; \backslash ,\; \backslash mathrm\{cm^2\}$

So sieht die Gleichung aus, wenn du das gerundete Ergebnis verwendest. Teile durch $2525$

$\tan \frac{\phi }{2}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2={\displaystyle \frac{\mathrm{14,57}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2}{25}}\backslash tan\backslash frac\{\backslash varphi\}\{2\}\backslash \; \backslash mathrm\{cm^2\}=\backslash displaystyle\backslash frac\{14\{,\}57\; \backslash ,\; \backslash mathrm\{cm^2\}\}\; \{25\}$

Wende ${\tan }^{-1}\backslash tan^\{-1\}$ an. $\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2\backslash mathrm\{cm^2\}$ kannst du weglassen, weil es auf beiden Seiten steht.

${\displaystyle \frac{\phi }{2}={\displaystyle {\tan }^{-1}\left(\frac{\mathrm{14,57}}{25}\right)}}\backslash displaystyle\backslash frac\{\backslash varphi\}\{2\}\backslash \; =\backslash displaystyle\; \backslash tan^\{-1\}\backslash left(\backslash frac\{14\{,\}57\}\{25\}\backslash right)$

Multipliziere mit $22$

${\displaystyle \phi ={\displaystyle {\tan }^{-1}\left(\frac{\mathrm{14,57}}{25}\right)\cdot 2=\mathrm{60,47}\mathrm{°}}}\backslash displaystyle\backslash varphi\backslash \; =\backslash displaystyle\backslash tan^\{-1\}\backslash left(\backslash frac\{14\{,\}57\}\{25\}\backslash right)\backslash cdot\; 2\; =\; 60\{,\}47\; °$

Wenn du statt des gerundeten Wertes $\mathrm{14,57}14\{,\}57$ $\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2\backslash mathrm\{\; cm^2\}$ den originalen Wert einsetzt, erhältst du das Ergebnis in diesem Fall das gleiche Ergebnis $\mathrm{60,47}\mathrm{°}60\{,\}47°$.