Gegeben ist die Funktion f mit f(x)=x2−2520x und maximalem Definitionsbereich Df. Die Abbildung zeigt einen Teil des Graphen Gf von f.
Zeigen Sie, dass Df=R\{−5;5} gilt und dass Gf symmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs ist. Geben Sie die Nullstelle von f sowie die Gleichungen der drei Asymptoten von Gf an.(5BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Definitionsbereich
Du hast hier eine gebrochenrationale Funktion vorliegen. Bei dieser darf der Nenner nicht 0 werden.Um deinen Definitionsbereich zu bestimmen, musst du herausfinden für welche x der Nenner 0 wird.
Setze den Nenner von f gleich 0.
x2−25=0∣+25
x2=25()
x1=−5x2=5
Schließe diese Punkte aus deinem Definitionsbereich aus.
Df=R\{−5;5}
Der Definitionsbereich von f ist ganz R ohne −5 und 5.
Weisen Sie nach, dass die Steigung von Gf in jedem Punkt des Graphen negativ ist. Berechnen Sie die Größe des Winkels, unter dem Gf die x-Achse schneidet.(4BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableitung
Negative Steigung von Gf
Durch die Ableitung kannst du zeigen, dass die Steigung von Gf in jedem Punkt negativ ist.
Leite die Funktion f ab. Benutze die Quotientenregel.
Der Graph muss rechts vom Ursprung unterhalb und links vom Ursprung oberhalb der x-Achse liegen.
Der Winkel unter dem Gf die x-Achse schneidet beträgt −38,66∘.
Skizzieren Sie in der Abbildung den darin fehlenden Teil von Gf unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse.(3BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Asymptoten
Zeichne die Funktion f.
1.Zeichne dir zur Hilfe die drei Asymptoten von Teilaufgabe a) ein.
2.Spiegle den gegebenen Teil am Koordinatenursprung.
3.Zeichne die Nullstelle ein.
4.Um den mittleren Teil der Funktion zu zeichnen, orientierst du dich an dem Winkel α (Teilaufgabe b)) und an den Asymptoten.
Die Funktion f∗:x↦f(x) mit Definitionsbereich ]5;+∞[ unterscheidet sich von der Funktion f nur hinsichtlich des Definitionsbereichs. Begründen Sie, dass die Funktion f nicht umkehrbar ist, die Funktion f∗ dagegen schon. Zeichnen Sie den Graphen der Umkehrfunktion von f∗ in die Abbildung ein.(4BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Umkehrfunktionen
Für die Funktion f existieren Geraden parallel zur x-Achse (hier i), die den Graphen Gf 2-mal schneiden. Es gibt y-Werte zu denen es mehrere x-Werte gibt. Daraus folgt, dass f nicht umkehrbar ist.
Wenn du jetzt den Definitionsbereich einschränkst, wie bei der Funktion f∗, dann gibt es zu jedem y-Wert nur ein x. Du kannst dies an der Abbildung nochmal überprüfen. Somit ist die Funktion f∗ umkehrbar.
Der Graph von f, die x-Achse sowie die Geraden mit den Gleichungen x=10 und x=s mit s>10 schließen ein Flächenstück mit dem Inhalt A(s) ein. Bestimmen Sie A(s).
(Ergebnis: A(s)=10⋅ln75s2−25)(5BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenbilanz
Berechne die Größe des Flächenstücks zwischen f, der x-Achse und den Gleichungen x=10 und x=s mit s>10.
Eine Skizze zur Veranschaulichung:
Die Skizze zeigt das Flächenstück, welches A(s) beschreiben soll. Die Gerade x=s mit s>10. s ist in der Abbildung beispielhaft bei 13 eingezeichnet, kann aber alles größer 10 sein.
Erinnere dich daran, dass das Integral eine Flächenbilanz darstellt. Wenn eine Funktion nur oberhalb der x-Achse verläuft, lässt sich die Fläche zwischen dem Graphen der Funktion und der x-Achse mithilfe des Integrals berechnen.
In Teilaufgabe a) hast du gesehen, dass f die waagerechte Asymptote y=0 hat und die einzige Nullstelle von f der Punkt (0∣0) ist. Für x≥10 muss also der Graph von f immer oberhalb der x-Achse verlaufen.
Das Integral, welches den Flächeninhalt zwischen dem Graphen von f und der x-Achse beschreibt, ist also ∫f(x)dx. Das gesuchte Flächenstück A(s) wird begrenzt durch die beiden Geraden x=10 und x=s. Daran kannst du sehen, dass die untere Grenze für das bestimmte Integral 10 ist und die obere s. Insgesamt ergibt sich das folgende bestimmte Integral zur Berechnung von A(s):
Wenn du das Integral genauer betrachtest, fällt dir auf, dass im Zähler des Bruches x2−252x die Ableitung vom Nenner steht. Es gilt nämlich (x2−25)′=2x.
Eine Stammfunktion für Brüche der Art f(x)f′(x) ist gegeben durch ln(∣f(x)∣) (siehe auch Unterpunkt "Logarithmische Integration" des Artikels "Stammfunktion finden").
Das Integral lässt sich also wie folgt lösen:
10⋅∫10sx2−252xdx=10⋅[ln(∣x2−25∣)]10s
Wenn du das Integral weiter vereinfachen willst, musst du dir über die Betragsstriche Gedanken machen. Da unser Flächenstück nach unten durch x=10 begrenzt wird, betrachten wir nur diejenigen x, die x≥10 erfüllen. Für x≥10 gilt x2−25≥102−25=100−25=75>0. Du kannst also die Betragsstriche weglassen, da x2−25 im betrachteten Bereich nur positive Werte annimmt. Die weitere Rechnung schaut so aus:
Ermitteln Sie s so, dass das Flächenstück aus Aufgabe 1e den Inhalt 100 besitzt.(3BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Logarithmus
In Teilaufgabe e) hast du bereits eine Formel zur Berechnung des Flächeninhaltes A(s) hergeleitet. Dein Ziel ist es, s so zu bestimmen, dass A(s)=100. Dazu musst du folgende Gleichung nach s auflösen:
A(s)=100
10⋅ln(75s2−25)=100∣:10
ln(75s2−25)=10∣ "e hoch"
75s2−25=e10∣⋅75
s2−25=75⋅e10∣+25
s2=75⋅e10+25∣
s=±75⋅e10+25
Da in Teilaufgabe e) gegeben ist, dass s größer als 10 ist, kommt für s nur die positive Lösung infrage.
Damit der Flächeninhalt A(s)=100 ist, muss also s=75⋅e10+25 sein.
Bestimmen Sie das Verhalten von A(s) für s→+∞.(2BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Grenzwert
In dieser Teilaufgabe sollst du das Verhalten des Flächeninhaltes A(s) bestimmen, wenn s gegen unendlich läuft. Hierfür musst du den Grenzwerts→∞limA(s) berechnen.
Betrachte hierfür nun erst den Term 75s2−25=751s2−31. Dies ist eine quadratische Funktion g(s)=751s2−31. Lässt man in g das s gegen unendlich streben, so geht der Funktionswert g(s) gegen unendlich, da