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Gegeben ist die Funktion ff mit f(x)=20xx225f(x)=\frac{20x}{x^2-25} und maximalem Definitionsbereich DfD_f. Die Abbildung zeigt einen Teil des Graphen GfG_f von ff.

Graf der Funktion f
  1. Zeigen Sie, dass Df=R\{5;5}D_f=\mathbb{R}\backslash\{-5;5\} gilt und dass GfG_f symmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs ist. Geben Sie die Nullstelle von ff sowie die Gleichungen der drei Asymptoten von GfG_f an.(5BE)

  2. Weisen Sie nach, dass die Steigung von GfG_f in jedem Punkt des Graphen negativ ist. Berechnen Sie die Größe des Winkels, unter dem GfG_f die xx-Achse schneidet.(4BE)

  3. Skizzieren Sie in der Abbildung den darin fehlenden Teil von GfG_f unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse.(3BE)

  4. Die Funktion f:xf(x)f^\ast:x\mapsto f(x) mit Definitionsbereich ]5;+[]5;+\infty[ unterscheidet sich von der Funktion ff nur hinsichtlich des Definitionsbereichs. Begründen Sie, dass die Funktion ff nicht umkehrbar ist, die Funktion ff^\ast dagegen schon. Zeichnen Sie den Graphen der Umkehrfunktion von ff^\ast in die Abbildung ein.(4BE)

  5. Der Graph von ff, die xx-Achse sowie die Geraden mit den Gleichungen x=10x=10 und x=sx=s mit s>10s>10 schließen ein Flächenstück mit dem Inhalt A(s)A(s) ein. Bestimmen Sie A(s)A(s). (Ergebnis: A(s)=10lns22575A\left(s\right)=10\cdot\ln\frac{s^2-25}{75})(5BE)

  6. Ermitteln Sie ss so, dass das Flächenstück aus Aufgabe 1e den Inhalt 100 besitzt.(3BE)

  7. Bestimmen Sie das Verhalten von A(s)A(s) für s+s\rightarrow+\infty.(2BE)