Analysis, Teil B, Aufgabengruppe 2

Definitionsbereich von $f$:

Bestimme Definitionsbereich $D_f$.

Du hast hier eine gebrochenrationale Funktion vorliegen. Bei dieser darf der Nenner nicht $0$ werden.Um deinen Definitionsbereich zu bestimmen, musst du herausfinden für welche $x$ der Nenner $0$ wird.

Setze den Nenner von $f$ gleich $0$.

$x^2-25=0\;\;\;\left|+25\right.$

$x^2=25\;\;\;\left|\sqrt{(\;)}\right.$

$x_1=-5\;\;\;\;\;\;\;\;\;x_2=5$

Schließe diese Punkte aus deinem Definitionsbereich aus.

$D_f=\mathbb{R}\;\backslash\;\{-5;5\}$

Der Definitionsbereich von $f$ ist ganz $\mathbb{R}$ ohne $-5$ und $5$.

Symmetrie bezüglich des Koordinatenursprungs:

Zeige, dass die Funktion $f$ symmetrisch zum Koordinatenursprung ist. Setze für $x$ $(-x)$ ein.

$f(-x)=\frac{20\;(-x)}{(-x)^2-25}=\frac{-20x}{x^2-25}=-\frac{20x}{x^2-25}=-f(x)$

Somit hast du gezeigt, dass $f$ punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung ist.

Nullstelle von $f$:

Berechne die Nullstelle von $f$. Setze $f(x)$ gleich $0$.

$f(x)=0$

$\frac{20x}{x^2-25}=0\;\;\;\left|\cdot(x^2\right.-25)$

$20x=0\;\;\;\left|:20\right.$

$x=0$

Der Graf $G_f$ schneidet die $x$-Achse im Punkt $0$. Die Nullstelle ist $(0\vert0)$.

Asymptoten von $f$:

Bestimme die drei Asymptoten der gebrochenrationalen Funktion $f$. Setze den Nenner gleich $0$, um die senkrechten Asymptoten zu ermitteln.

$x^2-25=0\;\;\;\left|+25\right.$

$x^2=25\;\;\;\left|\sqrt{(\;)}\right.$

$x_1=-5\;\;\;x_2=5$

Die senkrechten Asymptoten sind bei $-5$ und $5$.

Bestimme den Grenzwert von $f$ für $x\rightarrow\infty$.

$\lim_{x\rightarrow\infty}f(x)$

Klammere dazu die höchste Potenz aus.

$\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\frac{20x}{x^2-25}=\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\frac{x^2\cdot({\displaystyle\frac{20}x})}{x^2\cdot(1-{\displaystyle\frac{25}x})}=\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\frac{\displaystyle\frac{20}x}{1-{\displaystyle\frac{25}x}}=\frac0{1-0}=0$

Du erhältst die Teile $\frac{20}x$ und $\frac{25}x$, welche beide den Grenzwert $0$ haben für $x\rightarrow\infty$. Nun teile $0$ geteilt durch $1-0=1$. Das ergibt wiederum $0$.

Die waagrechte Asymptote liegt somit bei $y=0$.

Die drei Asymptoten sind $x=-5, x=5$ und $y=0$.

Negative Steigung von $G_f$

Durch die Ableitung kannst du zeigen, dass die Steigung von $G_f$ in jedem Punkt negativ ist. Leite die Funktion $f$ ab. Benutze die Quotientenregel.

$f'(x)=\displaystyle\frac{(x^2-25)\cdot20-20x\cdot2x}{(x^2-25)^2}=\displaystyle\frac{20x^2-500-40x^2}{(x^2-25)^2}=\displaystyle\frac{-20x^2-500}{(x^2-25)^2}$

Zeige, dass die Ableitung immer negativ ist. Der Zähler ist immer negativ.

$-20x^2-500<0$

Der Nenner ist immer positiv.

$(x^2-25)^2>0$

Negativ geteilt durch positiv ist negativ. Daraus folgt, dass die Abbildung immer negativ ist. Die Steigung von $G_f$ ist in allen Punkten negativ.

Größe des Schnittwinkels

Der Graph $G_f$ schneidet die x-Achse im Punkt $(0\vert0)$. (in Teilaufgabe a) berechnet) Setze die $x$-Koordinate in die Ableitung ein.

$f'(0)=\displaystyle\frac{-20\cdot0-500}{(0-25)^2}=\displaystyle\frac{-500}{(-25)^2}=\displaystyle-\frac{500}{625}=-\frac45$

Setze den Tangens von $\alpha$ gleich $\displaystyle-\frac45$.

$\tan(\alpha)=-\frac45$

$\Leftrightarrow\alpha=-38{,}66^\circ$

Der Graph muss rechts vom Ursprung unterhalb und links vom Ursprung oberhalb der $x$-Achse liegen. Der Winkel unter dem $G_f$ die $x$-Achse schneidet beträgt $-38{,}66^\circ$.

Zeichne die Funktion $f$.

1.Zeichne dir zur Hilfe die drei Asymptoten von Teilaufgabe a) ein. 2.Spiegle den gegebenen Teil am Koordinatenursprung. 3.Zeichne die Nullstelle ein. 4.Um den mittleren Teil der Funktion zu zeichnen, orientierst du dich an dem Winkel $\alpha$ (Teilaufgabe b)) und an den Asymptoten.

Umkehrbarkeit von $f^\ast$

Prüfe die Umkehrbarkeit.

Für die Funktion $f$ existieren Geraden parallel zur $x$-Achse (hier $i$), die den Graphen $G_f$ 2-mal schneiden. Es gibt $y$-Werte zu denen es mehrere $x$-Werte gibt. Daraus folgt, dass $f$ nicht umkehrbar ist.

Wenn du jetzt den Definitionsbereich einschränkst, wie bei der Funktion $f^\ast$, dann gibt es zu jedem $y$-Wert nur ein $x$. Du kannst dies an der Abbildung nochmal überprüfen. Somit ist die Funktion $f^\ast$ umkehrbar.

Umkehrfunktion von $f^\ast$

Trage die Umkehrfunktion von $f^\ast$ in das Koordinatensystem ein. Spiegle $f^\ast$ an der Winkelhalbierenden $w(x)=x$.

Die türkise Funktion ist die Umkehrfunktion von $f^\ast$.

Berechne die Größe des Flächenstücks zwischen $f$, der $x$-Achse und den Gleichungen $x=10$ und $x=s$ mit $s>10$.

Eine Skizze zur Veranschaulichung:

Die Skizze zeigt das Flächenstück, welches $A(s)$ beschreiben soll. Die Gerade $x=s$ mit $s>10$. $s$ ist in der Abbildung beispielhaft bei $13$ eingezeichnet, kann aber alles größer $10$ sein.

Erinnere dich daran, dass das Integral eine Flächenbilanz darstellt. Wenn eine Funktion nur oberhalb der x-Achse verläuft, lässt sich die Fläche zwischen dem Graphen der Funktion und der x-Achse mithilfe des Integrals berechnen.

In Teilaufgabe a) hast du gesehen, dass $f$ die waagerechte Asymptote $y=0$ hat und die einzige Nullstelle von $f$ der Punkt $(0|0)$ ist. Für $x\geq 10$ muss also der Graph von $f$ immer oberhalb der x-Achse verlaufen.

Das Integral, welches den Flächeninhalt zwischen dem Graphen von f und der x-Achse beschreibt, ist also $\int f(x) dx$. Das gesuchte Flächenstück $A(s)$ wird begrenzt durch die beiden Geraden $x=10$ und $x=s$. Daran kannst du sehen, dass die untere Grenze für das bestimmte Integral 10 ist und die obere $s$. Insgesamt ergibt sich das folgende bestimmte Integral zur Berechnung von $A(s)$:

$\displaystyle A(s)=\int_{10}^sf(x) dx=\int_{10}^s \frac{20x}{x^2-25}dx \\ \displaystyle=\int_{10}^s \frac{10\cdot 2x}{x^2-25}dx=10 \cdot \int_{10}^s \frac{2x}{x^2-25}dx$

Wenn du das Integral genauer betrachtest, fällt dir auf, dass im Zähler des Bruches $\frac{2x}{x^2-25}$ die Ableitung vom Nenner steht. Es gilt nämlich $(x^2-25)'=2x$.

Eine Stammfunktion für Brüche der Art $\frac{f'(x)}{f(x)}$ ist gegeben durch $ln(|f(x)|)$ (siehe auch Unterpunkt "Logarithmische Integration" des Artikels "Stammfunktion finden").

Das Integral lässt sich also wie folgt lösen:

$\displaystyle10 \cdot \int_{10}^s \frac{2x}{x^2-25}dx= 10 \cdot \left[ln(|x^2-25|)\right]_{10}^s$

Wenn du das Integral weiter vereinfachen willst, musst du dir über die Betragsstriche Gedanken machen. Da unser Flächenstück nach unten durch $x=10$ begrenzt wird, betrachten wir nur diejenigen $x$, die $x \geq 10$ erfüllen. Für $x \geq 10$ gilt $x^2-25 \geq 10^2-25 = 100-25 =75 > 0$. Du kannst also die Betragsstriche weglassen, da $x^2-25$ im betrachteten Bereich nur positive Werte annimmt. Die weitere Rechnung schaut so aus:

$\displaystyle10 \cdot \left[ln(|x^2-25|)\right]_{10}^s =10 \cdot \left[ln(x^2-25)\right]_{10}^s=10 \cdot \left[ln(s^2-25)-ln(10^2-25)\right] \\ \displaystyle=10 \cdot \left[ln(s^2-25)-ln(75)\right]=10 \cdot ln\frac{s^2-25}{75}$

Die letzte Zeile ergibt sich aus den Rechenregeln des Logarithmus.

Insgesamt hast du herausgefunden, dass für den Flächeninhalt $A(s)$ des betrachteten Flächenstückes die Formel $A(s)=10 \cdot ln\frac{s^2-25}{75}$ gilt.

In Teilaufgabe e) hast du bereits eine Formel zur Berechnung des Flächeninhaltes $A(s)$ hergeleitet. Dein Ziel ist es, s so zu bestimmen, dass $A(s)=100$. Dazu musst du folgende Gleichung nach $s$ auflösen:

$A(s)=100$

$\displaystyle 10\cdot ln\left(\frac{s^2-25}{75}\right)=100 \qquad |:10$

$\displaystyle ln\left(\frac{s^2-25}{75}\right)=10 \qquad | \text{ "e hoch"}$

$\displaystyle \frac{s^2-25}{75}=e^{10} \qquad | \cdot75$

$\displaystyle s^2-25=75\cdot e^{10} \qquad | +25$

$\displaystyle s^2 =75\cdot e^{10} +25 \qquad | \sqrt{}$

$\displaystyle s =\pm \sqrt{75\cdot e^{10} +25}$

Da in Teilaufgabe e) gegeben ist, dass $s$ größer als 10 ist, kommt für $s$ nur die positive Lösung infrage.

Damit der Flächeninhalt $A(s)=100$ ist, muss also $s = \sqrt{75\cdot e^{10} +25}$ sein.

In dieser Teilaufgabe sollst du das Verhalten des Flächeninhaltes $A(s)$ bestimmen, wenn s gegen unendlich läuft. Hierfür musst du den Grenzwert $\lim\limits_{s\to\infty}A(s)$ berechnen.

Betrachte hierfür nun erst den Term $\frac{s^2-25}{75}=\frac{1}{75}s^2-\frac{1}{3}$. Dies ist eine quadratische Funktion $g(s)=\frac{1}{75}s^2-\frac{1}{3}$. Lässt man in g das $s$ gegen unendlich streben, so geht der Funktionswert $g(s)$ gegen unendlich, da

Für den Grenzwert des natürlichen Logarithmusgilt $\lim\limits_{x\to\infty}ln(x)=\infty$.

Insgesamt ergibt sich also für den Grenzwert des Flächeninhaltes $A(s)$:

Wenn $s$ gegen unendlich geht, strebt also auch der Flächeninhalt $A(s)$ gegen unendlich.

Hier muss man nur $x=10$ und danach $x=20$ in den Funktionsterm $t(x)=\frac{10}{x+5}+\frac{10}{x-5}$einsetzen:

Beim ersten Summanden steht $x+5$; beim zweiten $x-5$ im Nenner. Dadurch wird der gesamte erste Summand bei der selben Geschwindigkeit immer kleiner als der zweite. Das entspricht der Hinfahrt (flussabwärts, also schneller) und der Rückfahrt (flussaufwärts, also langsamer).

?

Wenn man zeigen soll , dass zwei Terme äquivalent sind, kannst du sie gleichsetzen, umformen und prüfen ob die Gleichung für alle $x$ aus der Definitionsmenge stimmt.

Achtung: Du bist fertig, wenn links und rechts vom Gleichheitszeichen das Gleiche steht. Du musst hier nicht nach $x$ auflösen!

Rechts und links der Gleichung steht nun derselbe Term. Die Funktionsterme sind also äquivalent. Egal, welches $x$ man für $t(x)$ oder $f(x)$ einsetzt, die Funktionswerte sind gleich.

Alternative Lösung

Anstatt die Terme gleichzusetzen, kannst du auch zeigen, dass sie äquivalent sind, indem du einen der Terme stückweise umformst. Am Ende muss der zweite Term herauskommen.

Hier bietet es sich an $t(x)$ umzuformen. $f(x)$ ist ein vereinfachter Bruch. Also probierst du am besten folgendes aus. Bringe den Bruch auf einen Hauptnenner bringst und vereinfachst.

?