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Analysis, Teil B, Aufgabengruppe 2

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Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

  1. 1

    Gegeben ist die Funktion ff mit f(x)=20xx225f(x)=\frac{20x}{x^2-25} und maximalem Definitionsbereich DfD_f. Die Abbildung zeigt einen Teil des Graphen GfG_f von ff.

    Graf der Funktion f
    1. Zeigen Sie, dass Df=R\{5;5}D_f=\mathbb{R}\backslash\{-5;5\} gilt und dass GfG_f symmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs ist. Geben Sie die Nullstelle von ff sowie die Gleichungen der drei Asymptoten von GfG_f an.(5BE)

    2. Weisen Sie nach, dass die Steigung von GfG_f in jedem Punkt des Graphen negativ ist. Berechnen Sie die Größe des Winkels, unter dem GfG_f die xx-Achse schneidet.(4BE)

    3. Skizzieren Sie in der Abbildung den darin fehlenden Teil von GfG_f unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse.(3BE)

    4. Die Funktion f:xf(x)f^\ast:x\mapsto f(x) mit Definitionsbereich ]5;+[]5;+\infty[ unterscheidet sich von der Funktion ff nur hinsichtlich des Definitionsbereichs. Begründen Sie, dass die Funktion ff nicht umkehrbar ist, die Funktion ff^\ast dagegen schon. Zeichnen Sie den Graphen der Umkehrfunktion von ff^\ast in die Abbildung ein.(4BE)

    5. Der Graph von ff, die xx-Achse sowie die Geraden mit den Gleichungen x=10x=10 und x=sx=s mit s>10s>10 schließen ein Flächenstück mit dem Inhalt A(s)A(s) ein. Bestimmen Sie A(s)A(s). (Ergebnis: A(s)=10lns22575A\left(s\right)=10\cdot\ln\frac{s^2-25}{75})(5BE)

    6. Ermitteln Sie ss so, dass das Flächenstück aus Aufgabe 1e den Inhalt 100 besitzt.(3BE)

    7. Bestimmen Sie das Verhalten von A(s)A(s) für s+s\rightarrow+\infty.(2BE)

  2. 2

    Ein Motorboot fährt mit konstanter Motorleistung auf einem Fluss eine Strecke der Länge 10km10\mathrm{km} zuerst flussabwärts und unmittelbar anschließend flussaufwärts zum Ausgangspunkt zurück. Mit der Eigengeschwindigkeit des Motorboots wird der Betrag der Geschwindigkeit bezeichnet, mit der sich das Boot bei dieser Motorleistung auf einem stehenden Gewässer bewegen würde. Im Folgenden soll modellhaft davon ausgegangen werden, dass die Eigengeschwindigkeit des Boots während der Fahrt konstant ist und das Wasser im Fluss mit der konstanten Geschwindigkeit 5kmh5\frac{km}h fließt. Die für das Wendemanöver erforderliche Zeit wird vernachlässigt. Die Gesamtfahrtzeit in Stunden, die das Boot für Hinfahrt und Rückfahrt insgesamt benötigt, wird im Modell für x>5x>5 durch den Term t(x)=10x+5+10x5t(x)=\dfrac{10}{x+5}+\dfrac{10}{x-5} angegeben. Dabei ist xx die Eigengeschwindigkeit des Boots in kmh\frac{km}h.

    1. Bestimmen Sie auf der Grundlage des Modells für eine Fahrt mit einer Eigengeschwindigkeit von 10kmh10\frac{km}h und für eine Fahrt mit einer Eigengeschwindigkeit von 20kmh20\frac{km}h jeweils die Gesamtfahrtzeit in Minuten. (2BE)

    2. Begründen Sie, dass der erste Summand des Terms t(x)t(x) die für die Hinfahrt, der zweite Summand die für die Rückfahrt erforderliche Zeit in Stunden angibt.(3BE)

    3. Begründen Sie im Sachzusammenhang, das t(x)t(x) für 0<x<50<x<5 nicht als Gesamtfahrtzeit interpretiert werden kann. (2BE)

    4. Zeigen Sie, dass die Terme f(x)=20xx225f(x)=\dfrac{20x}{x^2-25} und t(x)t(x) äquivalent sind. (2BE)

    5. Beschreiben Sie, wie man mithilfe der Abbildung für eine Fahrt mit einer Gesamtfahrtzeit zwischen zwei und vierzehn Stunden die zugehörige Eigengeschwindigkeit des Boots näherungsweise ermitteln kann. Berechnen Sie auf der Grundlage des Modells die Eigengeschwindigkeit des Boots für eine Fahrt mit einer Gesamtfahrtzeit von vier Stunden.(5BE)

      Bild

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