Linearfaktorzerlegung durchführen

Ziel der Linearfaktorzerlegung ist es, ein Polynom von seiner Normalform

p(x)=anxn+an1xn1++a0{p(x)=a_n\cdot x^n+a_{n-1}\cdot x^{n-1}+\dots+a_0}  

in die Linearfaktordarstellung

umzuformen. Dabei sind  x1x_1x2x_2 , … ,  xkx_k   die Nullstellen des Polynoms  pp. Das Restglied ist ein Polynom, das selbst keine reellen Nullstellen mehr hat.

   

Die Idee der Linearfaktorzerlegung ist, von dem Ausgangspolynom  f(x)f(x) nacheinander alle Nullstellen "abzuspalten".  Häufig verwendet man dazu die Polynomdivision .

Allgemeine Vorgehensweise

Für ein Polynom in der Form  p(x)=anxn+an1xn1++a0p(x)=a_n\cdot x^n+a_{n-1}\cdot x^{n-1}+\dots+a_0 geht man wie folgt vor:

  1. Gemeinsame Faktoren ausklammern

  2. Nullstellen "abspalten"

  3. Sobald man keine weitere Nullstellen mehr abspalten kann, stellt man das Polynom in der Form   p(x)=an(xx1)(xx2)(xxk)Restgliedp(x)=a_n\left(x-x_1\right)\cdot\left(x-x_2\right)\cdot\dots\cdot\left(x-x_k\right)\cdot Restglied auf

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Polynom 2. Grades

Bei quadratischen Polynomen der Form  ax2+bx+cax^2+bx+c  kann man die Linearfaktordarstellung mit Hilfe der Nullstellen direkt hinschreiben.

  • Keine Nullstelle:

das Polynom kann nicht weiter zerlegt werden

  • Eine doppelte Nullstelle:

  • Zwei Nullstellen:

Zu Berechnung der Nullstellen siehe Artikel " quadratische Gleichung ".

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Polynom höheren Grades

Hier erfolgt das Nullstellen-Abspalten meist über Polynomdivision . Dazu ist es oft einfacher, wenn man zuerst alle gemeinsamen Faktoren ausklammert. Dann kann man das Nullstellen-Abspalten in 5 Schritten durchführen:

Beispiel:

  f(x)=x33x2x+3f(x)=x^3-3x^2-x+3

1.  \;Erraten einer Nullstelle  N1{N}_1.

Durch Raten und Einsetzen sieht man, dass  1{1} eine Nullstelle ist.

2.  \;Aufstellen des dazugehörigen Linearfaktors (xN1)(x - N_1).

Der dazugehörige Linearfaktor ist  (x1)(x-{1}).

3.  \;Das Ausgangspolynom mittels Polynomdivision durch den Linearfaktor teilen (Da N1{N}_1 eine Nullstelle ist, entsteht kein Rest bei der Polynomdivsion).

4.  \;Das neu entstandene Polynom nennen wir  f~(x)\widetilde f(x) .

5.  \;Das Ausgangspolynom f(x)f(x) können wir schreiben als  f(x)=f~(x)(xN1)f(x)=\widetilde f(x)\cdot (x-N_1) .

Falls  f~(x)\widetilde f(x) noch Nullstellen besitzt und selbst noch kein Linearfaktor ist, startet man wieder mit Schritt 1, allerdings mit f~(x)\widetilde f(x) als Ausgangspolynom.

Jetzt kann man mit  f(x)=x22x3f(x)=x^2-2x-3 als Ausgangspolynom und -1 als erratene Nullstelle wieder mit Schritt 1 beginnen.

Allgemein kann man auch die Linearfaktoren direkt aufstellen, indem man die Nullstellen ausrechnet. Mehr Methoden dazu siehe Artikel " Nullstellen berechnen ". Beachte dabei, dass man dann das Restglied durch Polynomdivision ausrechnen muss, falls man weniger als n Nullstellen hat.

    

Beispiel

Man kann zuerst 2 ausklammern, also  f(x)=2(x4+6x3+8x26x9)f(x)=2\cdot(x^4+6x^3+8x^2-6x-9) und betrachtet von nun an das Polynom  x4+6x3+8x26x9x^4+6x^3+8x^2-6x-9\\ .

  1. N1=1N_1=1 ist eine Nullstelle

  2. (x1)(x-1)  ist der Linearfaktor dazu

  3. Polynomdivision:  (x4+6x3+8x26x9):(x1)=x3+7x2+15x+9(x^4+6x^3+8x^2-6x-9) : (x-1)=x^3+7x^2+15x+9

  4. Also f~(x)=x3+7x2+15x+9\widetilde f(x)=x^3+7x^2+15x+9

Das neue Ausgangspolynom ist  f~(x)=x3+7x2+15x+9\widetilde f(x)=x^3+7x^2+15x+9\\

  1. N2=1N_2=-1  ist Nullstelle

  2. (x+1)(x+1)  ist der Linearfaktor dazu

  3. Polynomdivision:  (x3+7x2+15x+9):(x+1)=x2+6x+9(x^3+7x^2+15x+9) : (x+1)=x^2+6x+9

     

Das neue Ausgangspolynom ist  f~~(x)=x2+6x+9\widetilde{\widetilde f}(x)=x^2+6x+9 .

Hier kann man sich die Polynomdivision sparen. Denn durch genaues Hinsehen sieht man, dass  x2+6x+9=(x+3)2x^2+6x+9=(x+3)^2  ein  Binom ist, es hat also die doppelte Nullstelle -3. (x+3)2\left(x+3\right)^2 ist der entsprechende Linearfaktor dazu. 

      

Insgesamt ergibt sich also:

  f(x)=2(x+3)(x+3)(x+1)(x1)\boldsymbol f\boldsymbol(\boldsymbol x\boldsymbol)\boldsymbol=\mathbf2\boldsymbol\cdot\boldsymbol(\boldsymbol x\boldsymbol+\mathbf3\boldsymbol)\boldsymbol\cdot\boldsymbol(\boldsymbol x\boldsymbol+\mathbf3\boldsymbol)\boldsymbol\cdot\boldsymbol(\boldsymbol x\boldsymbol+\mathbf1\boldsymbol)\boldsymbol\cdot\boldsymbol(\boldsymbol x\boldsymbol-\mathbf1\boldsymbol)


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