Funktionsterm aufstellen für quadratische Funktionen

In diesem Artikel werden mehrere Vorgehensweisen beschrieben, mit deren Hilfe sich quadratische Funktionen  mit gegebenen Eigenschaften (wie z. B. Punkte, die der Graph durchlaufen soll) aufstellen lassen.

   

Es werden 4 Aufgabentypen erklärt:

  • 3 Punkte gegeben

  • Scheitel und ein weiterer Punkt gegeben

  • Punkte und Zusatzinformationen gegeben

  • Parabel als Graph der Funktion gegeben

3 Punkte gegeben

Da eine quadratische Funktion in ihrer Normalform durch f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+c eindeutig bestimmt ist, bekommt man nach Einsetzen von drei Punkten ein lineares Gleichungssystem mit drei Gleichungen und den drei gesuchten Werten aa, bb und cc, das man lösen muss.  

Allgemeine Vorgehensweise für 3 gegebene Punkte

1. Schritt:

Gegebene Punktepaare in die Funktionsgleichung

einsetzen, sodass man drei Gleichungen erhält.

3. Schritt:

Funktionsterm angeben.

Beispielaufgabe

Gesucht ist die quadratische Funktion, die die Punkte A(112)A(-1|12), B(215)B(2|15) und C(518)C(5|{-}18) durchläuft.

      

1. Schritt: Gegebene Punktepaare in die Funktionsgleichung f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+c einsetzen.Aus A(112):I12=a(1)2+b(1)+cAus B(215):II15=a22+b2+cAus C(518):III18=a52+b5+c\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{llrcl}\text{Aus }A(-1|12): &I &12 &= &a\cdot (-1)^2+b\cdot (-1)+c\\\text{Aus }B(2|15): &II &15 &= &a\cdot 2^2+b\cdot 2+c\\\text{Aus }C(5|{-}18): &III &-18 &= &a\cdot 5^2+b\cdot 5+c\end{array}

2. Schritt: Gleichungssystem lösen

Wie man ein Gleichungssystem löst, erfährst du im Artikel Additionsverfahren.

Ausführliche Rechnung, hier mit Additionsverfahren

Zuerst solltest du die Zahlen auf der rechten Seite ausmultiplizieren.

Du stellst fest, dass alle drei Gleichungen den Term +c+ c am Ende haben. Du kannst diesen also loswerden, indem du eine Gleichung von einer anderen subtrahierst. Indem du zum Beispiel IIII' von II' subtrahierst, erhältst du:

Diese Gleichung lässt sich ganz leicht nach bb auflösen. Es gilt:

33a=3b3 - 3a = 3b, oder einfach

Auch wenn du die Gleichung IIIIII' von der Gleichung IIII' subtrahierst, verschwindet cc. Dann erhältst du:

Setzt du hier die Auflösung 1a=b1 - a = b von oben ein, erhälst du:

33=21a3(1a)33 = -21a -3\cdot (1-a),

und die Gleichung lässt sich zusammenfassen zu

Addierst du 33 auf beiden Seiten, so erhältst du

Durch 18-18 auf beiden Seiten teilen liefert:

Da 1a=b1-a = b schon bekannt war, kannst du hier a=2a = -2 einsetzen und so ist

Nun kannst du beide Werte von aa und bb in IIIIII' einsetzen und erhältst:

Zuerst ausmultipliziert und dann zusammengefasst lautet diese Gleichung:

also mit +35| +35 auf beiden Seiten

Als Ergebnis bekommt man also a=2,b=3,c=17a=-2, b=3, c=17.

3. Schritt: Funktionsterm angeben: f(x)=2x2+3x+17f\left(x\right)=-2x^2+3x+17 .

Scheitel und ein weiterer Punkt gegeben

Hat man einen Scheitelpunkt und einen weiteren Punkt gegeben, so empfiehlt es sich, die Scheitelform aufzustellen und anschließend den fehlenden Parameter aa mit Hilfe des gegebenen Punktes auszurechnen. Um die Funktion in der Form f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+c zu erhalten, muss man nun noch ausmultiplizieren.

Allgemeine Vorgehensweise für gegebenen Scheitel und gegebenem Punkt

1. Schritt:

Scheitelpunkt verwenden, um die Scheitelform aufzustellen

2. Schritt:

Den noch fehlenden Parameter aa berechnen, indem man den gegebenen Punkt in die Scheitelform einsetzt und nach dem Parameter auflöst.

3. Schritt:

Funktionsterm angeben.

Tipp

Der Scheitelpunkt kann auch indirekt gegeben sein, indem man ihn mit Verschiebungen beschreibt. "Die Parabel ist um 3 nach rechts und 2 nach oben verschoben" bedeutet zum Beispiel, dass der Scheitelpunkt bei (3|2) liegt.

   

Beispielaufgabe

Gesucht ist die quadratische Funktion f mit dem Scheitel S(23)S(-2|-3), die durch den Punkt P(25)P(2|5) verläuft.

    

1. Schritt: Scheitelpunkt S verwenden, um die Scheitelform aufzustellen:  f(x)=a(x+2)²  3f(x)=a\cdot(x+2)²\;-3.

 

2. Schritt: Den noch fehlenden Parameter aa berechnen, indem man den gegebenen Punkt P in die Scheitelform einsetzt und nach aa auflöst:5=a(2+2)238=16aa=12\def\arraystretch{1.25} \begin{aligned}5 &= a(2+2)^2-3\\\Rightarrow 8 &= 16a\\\Rightarrow a &= \frac 12\end{aligned}

 

3. Schritt:

Die quadratische Funktion lautet somit f(x)=12(x+2)23f(x)=\frac12(x+2)^2-3 oder ausmultipliziert f(x)=12x2+2x1f(x)=\frac12x^2+2x-1.

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Punkte und Zusatzinformationen gegeben

Oftmals sind in der Aufgabenstellung noch zusätzliche Informationen gegeben, mit deren Hilfe man dann die Funktionsvorschrift angeben kann. Oft reicht aber eine Zusatzinformation nicht aus, da sie wenig verwertbare Informationen liefert.

Beispiele für Zusatzinformationen

  • "Normalparabel": Der Vorfaktor aa ist gleich 1 (wenn die Parabel nach oben geöffnet ist) oder gleich -1 (Parabel nach unten geöffnet).

  • "nach oben geöffnete Parabel" bzw. "nach unten geöffnete Parabel": Positives bzw. negatives Vorzeichen des Vorfaktors aa (siehe Parabel )

  • "nimmt nur positive / negative Werte an": Parabel verläuft immer über / unter der xx-Achse. yy-Koordinate des Scheitels größer/kleiner 0.

  • "selbe yy-Koordinate bei den Punkten": Der Scheitel liegt bezüglich der x-Koordinate genau zwischen den beiden Punkten (Symmetrie von Parabeln).

  • "doppelte Nullstelle": Hat eine Parabel eine doppelte Nullstelle, dann ist diese der Scheitelpunkt. Er liegt also auf der xx-Achse und besitzt somit die yy-Koordinate 0.

Beispielaufgabe 

Gesucht ist eine Parabel, die eine doppelte Nullstelle hat und durch die Punkte A(12)A(1|2) und B(52)B(5|2) geht.

In diesem Fall lautet die Zusatzinformation "doppelte Nullstelle". Das heißt, der Scheitel liegt auf der x-Achse. Zusätzlich haben die beiden Punkte dieselbe y-Koordinate, d. h., der Scheitel liegt genau dazwischen. Zusammen ergibt sich für den Scheitel  S(3  0)S\left(3\vert\;0\right) .

Jetzt kann man mit den drei Punkten ein lineares Gleichungssystem lösen oder mit dem Scheitel die Scheitelform aufstellen und einen anderen Punkt einsetzen. Man erhält also zuerst  f(x)=a(x3)2+0f(x)=a\cdot\left(x-3\right)^2+0  und setzt z. B. den Punkt BB ein, um  a=12a=\frac12  zu erhalten. Insgesamt ergibt sich f(x)=12(x3)2=12x23x+92f\left(x\right)=\frac12\left(x-3\right)^2=\frac12x^2-3x+\frac92

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Parabel als Funktionsgraph gegeben

Falls die Parabel als Funktionsgraph im Koordinatensystem gegeben ist, kann man die Funktionsgleichung auf zwei Arten ablesen:

   

Drei Punkte ablesen

Man kann günstig gelegene Punkte aus dem Koordinatensystem ablesen, um die bekannte Lösungsansätze anzuwenden. Praktische Punkte sind dabei der  Scheitelpunkt und die  Nullstellen

    

Direkt ablesen

Man kann die Gleichung auch direkt ablesen. Dazu benutzt man den Scheitelform  y=a(xd)2+ey= a\left( x- d\right)^2+ e .

  • Die Koeffizienten dd und ee sind die Koordinaten des Scheitelpunkts   S(de)\mathrm S\left( d\left| e\right.\right)

  • Der Koeffizient aa lässt sich ablesen, indem man vom Scheitelpunkt aus eine Einheit nach rechts oder links geht und abliest, wie weit man nach oben (falls aa positiv ist) oder nach unten (falls aa negativ ist) gehen muss.

Beispiel

Der Scheitelpunkt liegt bei (2|1), also bekommt man 

Geht man vom Scheitelpunkt aus um eine Einheit nach rechts, so muss man drei Schritte nach oben gehen, bis man wieder auf dem Graphen ist. Also ist der Funktionsterm  


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