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Kurs

Lösung von quadratischen Gleichungen

16Gemischtquadratische Gleichungen

Gemischtquadratische Gleichungen enthalten alle drei Typen von Summanden der allgemeinen Form: ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0

 Gemischtquadratische Gleichungen löst du mit der Mitternachtsformel (abc-Formel) oder alternativ mit der pq-Formel.

Musterbeispiel Mitternachtsformel

Löse die quadratische Gleichung: 2x2−4x−6=02x^2-4x-6=0

Lies aus der Gleichung die Werte für a,  ba,\; b und cc ab:   a=2;  b=−4;  c=−6\;a=2;\; b=-4;\; c=-6

Setze die Werte in die Mitternachtsformel ein.

x1,2\displaystyle x_{1{,}2}==−b±b2−4ac2a\displaystyle \dfrac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}
↓

Setze a=2;  b=−4;  c=−6a=2;\; b=-4;\; c=-6 ein.

==−(−4)±(−4)2−4⋅2⋅(−6)2⋅2\displaystyle \dfrac{-(-4)\pm \sqrt{(-4)^2-4\cdot 2\cdot(-6)}}{2\cdot 2}
==4±16+484\displaystyle \dfrac{4\pm \sqrt{16+48}}{4}
==4±644\displaystyle \dfrac{4\pm\sqrt{64}}{4}
==4±84\displaystyle \dfrac{4\pm8}{4}
x1\displaystyle x_1==3\displaystyle 3
x2\displaystyle x_2==−1\displaystyle -1

Antwort: Die quadratische Gleichung hat die Lösungsmenge: L={−1;3}\mathbb{L}=\{-1;3\}.

Musterbeispiel p-q-Formel

Löse die quadratische Gleichung: x2+3x−10=0x^2+3x-10=0

Lies aus der Gleichung die Werte für pp und qq ab:   p=3  \;p=3\;und   q=−10\; q=-10

Setze die Werte in die p-q-Formel ein.

x1,2\displaystyle x_{1{,}2}==−p2±(p2)2−q\displaystyle -\dfrac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q}
↓

Setze p=3p=3 und q=−10q=-10 ein.

==−32±(32)2−(−10)\displaystyle -\dfrac{3}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{3}{2}\right)^2-(-10)}
==−1,5±2,25+10\displaystyle -1{,}5\pm\sqrt{2{,}25+10}
==−1,5±12,25\displaystyle -1{,}5\pm\sqrt{12{,}25}
==−1,5±3,5\displaystyle -1{,}5\pm3{,}5
x1\displaystyle x_1==−5\displaystyle -5
x2\displaystyle x_2==2\displaystyle 2

Antwort: Die quadratische Gleichung hat die Lösungsmenge: L={−5;2}\mathbb{L}=\{-5;2\}.

Mit dem Applet auf der nächsten Seite kannst du dir die Lösungsschritte für eine gemischtquadratische Gleichung mithilfe der Mitternachtsformel grafisch anzeigen lassen. 


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