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Lagebeziehungen zwischen 3 Ebenen

Es gibt insgesamt 5 Möglichkeiten, wie drei verschiedene Ebenen zueinander liegen können. Diese 5 Möglichkeiten werden in diesem Artikel vorgestellt.

Lagebeziehungen von 3 Ebenen

1. Beispiel für drei parallele Ebenen

3 parallele Ebenen

1.1 Ebenengleichungen

E1:1x1+1x2+1x3=4E2:1x1+1x2+1x3=6E3:1x1+1x2+1x3=8

1.2 Analyse der Normalenvektoren

Bei drei parallelen Ebenen sind die Normalenvektoren Vielfache voneinander. Die Normalenvektoren sind damit parallel zueinander. Hier gilt: nE1=nE2=nE3. Dies hat zur Folge, dass die Ebenen identisch oder parallel zueinander sind.

Hier gilt: E1aE2, E1bE3 und E2cE3. (Die Ebenengleichungen sind keine Vielfache voneinander). Die 3 Ebenen sind (echt) parallel zueinander.

1.3 Schnittgeraden

Parallele Ebenen schneiden sich nicht, d.h. es gibt keine Schnittgeraden.

2. Beispiel für zwei parallele Ebenen und eine dazu nicht parallele Ebene.

2 parallele Ebenen und eine dazu nicht parallele Ebene

2.1 Ebenengleichungen

E1:1x1+1x2+1x3=4E2:2x1+2x2+2x3=6E3:2x1+3x2+1x3=5

2.2 Analyse der Normalenvektoren

Es gilt hier: nE2=2nE1. Die beiden Normalenvektoren sind kollinear (parallel).

Außerdem ist E22E1, d.h. die Ebene E1 ist (echt) parallel zu E2.

E3 ist nicht parallel zu E1 bzw. E2, denn nE3k1nE1 und nE3k2nE2.

2.3 Schnittgeraden

Die beiden parallelen Ebenen E1 und E2 werden von E3 geschnitten, d.h. es gibt 2 verschiedene Schnittgeraden.

E1E3=g1:x=(103)+r(211) (schwarze Gerade in der Abbildung)

E2E3=g2:x=(410)+r(211) (rote Gerade in der Abbildung)

Beide Schnittgeraden haben den gleichen Richtungsvektor. Sie sind also parallel zueinander.

3. Beispiel für drei nicht zueinander parallele Ebenen mit drei Schnittgeraden

3 Ebenen mit 3 Schnittgeraden

3.1 Ebenengleichungen

E1:1x12x2+3x3=6E2:1x1+2x21x3=2E3:1x1+0x2+1x3=1

3.2 Analyse der Normalenvektoren

Die Normalenvektoren der 3 Ebenen sind keine Vielfache voneinander:

nE1k1nE2, nE1k2nE3 und nE2k3nE3

In diesem Fall stellt man fest, dass die drei Normalenvektoren komplanar sind.

nE1=(123), nE2=(121), nE3=(101)

Der Normalenvektor nE3 der Ebene E3 ist als Linearkombination der beiden anderen Normalenvektoren nE1 und nE2 darstellbar: nE3=12nE1+12nE2.

Damit sind die drei Normalenvektoren linear abhängig. Sie sind komplanar, d.h. sie liegen in einer Ebene.

3.3 Schnittgeraden

Jede Ebene schneidet sich mit den beiden anderen Ebenen, d.h. es gibt 3 verschiedene Schnittgeraden.

E1E2=g1:x=(410)+r(111) (schwarze Gerade in der Abbildung)

E2E3=g2:x=(11,50)+r(111)(rote Gerade in der Abbildung)

E1E3=g3:x=(13,50)+r(111)(blaue Gerade in der Abbildung)

Alle drei Schnittgeraden haben den gleichen Richtungsvektor. Sie sind also parallel zueinander.

3.4 Lösung des linearen Gleichungssystems (LGS)

Wird das LGS mit dem Gaußverfahren gelöst, erhältst du in der letzten Zeile der erweiterten Koeffizientenmatrix folgenden Ausdruck: (000|10).

Ausführlich geschrieben lautet diese Zeile: 0x1+0x2+0x3=10.

Diese Gleichung hat keine Lösung, d.h. das LGS hat keine Lösung. Es gibt keinen gemeinsamen Punkt und keine gemeinsame Gerade für die 3 Ebenen. Allerdings existieren, wie oben gezeigt, drei verschiedene Schnittgeraden.

4. Beispiel für drei verschiedene Ebenen mit einer Schnittgeraden

3 Ebenen mit einer Schnittgeraden

4.1 Ebenengleichungen

E1:1x1+1x2+0x3=0E2:2x1+1x22x3=7E3:0x1+1x2+2x3=7

4.2 Analyse der Normalenvektoren

Die Normalenvektoren der 3 Ebenen sind keine Vielfache voneinander:

nE1k1nE2, nE1k2nE3 und nE2k3nE3

In diesem Fall stellt man fest, dass die drei Normalenvektoren komplanar sind.

nE1=(110), nE2=(212), nE3=(012)

Der Normalenvektor nE3 der Ebene E3 ist als Linearkombination der beiden anderen Normalenvektoren nE1 und nE2 darstellbar: nE3=2nE11nE2.

Damit sind die drei Normalenvektoren linear abhängig. Sie sind komplanar, d.h. sie liegen in einer Ebene.

4.3 Schnittgeraden

In diesem Fall schneiden sich alle drei Ebenen in einer Geraden. Die Schnittgerade (rot eingezeichnet) hat die Gleichung:

g:x=(003,5)+r(221)

4.4 Lösung des linearen Gleichungssystems (LGS)

Wird das LGS mit dem Gaußverfahren gelöst, erhältst du in der letzten Zeile der erweiterten Koeffizientenmatrix folgenden Ausdruck: (000|0).

Ausführlich geschrieben lautet diese Zeile: 0x1+0x2+0x3=0.

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen, d.h. das LGS hat unendlich viele Lösungen.

Da in diesem LGS keine identischen Ebenen auftreten, bedeutet das, alle Lösungen des LGS liegen auf einer Geraden. Die 3 Ebenen haben eine gemeinsame Schnittgerade.

5. Beispiel für drei verschiedene Ebenen mit einem Schnittpunkt

3 Ebenen mit Schnittpunkt

5.1 Ebenengleichungen

E1:1x1+0x2+0x3=3E2:0x1+2x2+1x3=2E3:1x1+0x2+1x3=4

5.2 Analyse der Normalenvektoren

Die Normalenvektoren der 3 Ebenen sind keine Vielfache voneinander:

nE1k1nE2, nE1k2nE3 und nE2k3nE3

Die Normalenvektoren sind linear unabhängig, denn die Gleichung rnE1+snE2+tnE3=0 ist nur für r=s=t=0 erfüllt.

5.3 Schnittgeraden

Jede Ebene schneidet sich mit den beiden anderen Ebenen, d.h. es gibt 3 verschiedene Schnittgeraden. Diese 3 Schnittgeraden wiederum schneiden sich in einem Punkt S. Dieser Punkt ist der Schnittpunkt der 3 Ebenen. (Die Gleichungen der 3 Schnittgeraden sind hier nicht von Interesse.)

5.4 Lösung des linearen Gleichungssystems (LGS)

Wird das LGS mit dem Gaußverfahren gelöst, erhältst du in der letzten Zeile der erweiterten Koeffizientenmatrix folgenden Ausdruck: (001|1).

Ausführlich geschrieben lautet diese Zeile: 0x1+0x2+1x3=1.

Somit ist x3=1. Die anderen Werte x1=3 und x2=12 ergeben sich aus dem Gleichungssystem. Das LGS hat eine eindeutige Lösung: 𝕃={(3|12|1)}

Die 3 Ebenen schneiden sich in einem Punkt S(3|12|1).

Übungsaufgaben Lagebeziehungen zwischen 3 Ebenen

Weitere Aufgaben zum Thema findest du im folgenden Aufgabenordner:
Aufgaben zur Lagebeziehung dreier Ebenen


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