Bei drei parallelen Ebenen sind die Normalenvektoren Vielfache voneinander. Die Normalenvektoren sind damit parallel zueinander. Hier gilt: nE1=nE2=nE3. Dies hat zur Folge, dass die Ebenen identisch oder parallel zueinander sind.
Hier gilt: E1=a⋅E2, E1=b⋅E3 und E2=c⋅E3. (Die Ebenengleichungen sind keine Vielfache voneinander). Die 3 Ebenen sind (echt) parallel zueinander.
1.3 Schnittgeraden
Parallele Ebenen schneiden sich nicht, d.h. es gibt keine Schnittgeraden.
2. Beispiel für zwei parallele Ebenen und eine dazu nicht parallele Ebene.
Die Normalenvektoren der 3 Ebenen sind keine Vielfache voneinander:
nE1=k1⋅nE2, nE1=k2⋅nE3 und nE2=k3⋅nE3
In diesem Fall stellt man fest, dass die drei Normalenvektoren komplanar sind.
nE1=1−23, nE2=12−1, nE3=101
Der Normalenvektor nE3 der Ebene E3 ist als Linearkombination der beiden anderen Normalenvektoren nE1 und nE2 darstellbar: nE3=21⋅nE1+21⋅nE2.
Damit sind die drei Normalenvektoren linear abhängig. Sie sind komplanar, d.h. sie liegen in einer Ebene.
3.3 Schnittgeraden
Jede Ebene schneidet sich mit den beiden anderen Ebenen, d.h. es gibt 3 verschiedene Schnittgeraden.
E1∩E2=g1:x=4−10+r⋅−111 (schwarze Gerade in der Abbildung)
E2∩E3=g2:x=−11,50+r⋅−111(rote Gerade in der Abbildung)
E1∩E3=g3:x=−1−3,50+r⋅−111(blaue Gerade in der Abbildung)
Alle drei Schnittgeraden haben den gleichen Richtungsvektor. Sie sind also parallel zueinander.
Ausführlich geschrieben lautet diese Zeile: 0⋅x1+0⋅x2+0⋅x3=10.
Diese Gleichung hat keine Lösung, d.h. das LGS hat keine Lösung. Es gibt keinen gemeinsamen Punkt und keine gemeinsame Gerade für die 3 Ebenen. Allerdings existieren, wie oben gezeigt, drei verschiedene Schnittgeraden.
4. Beispiel für drei verschiedene Ebenen mit einer Schnittgeraden
Die Normalenvektoren der 3 Ebenen sind keine Vielfache voneinander:
nE1=k1⋅nE2, nE1=k2⋅nE3 und nE2=k3⋅nE3
In diesem Fall stellt man fest, dass die drei Normalenvektoren komplanar sind.
nE1=110, nE2=21−2, nE3=012
Der Normalenvektor nE3 der Ebene E3 ist als Linearkombination der beiden anderen Normalenvektoren nE1 und nE2 darstellbar: nE3=2⋅nE1−1⋅nE2.
Damit sind die drei Normalenvektoren linear abhängig. Sie sind komplanar, d.h. sie liegen in einer Ebene.
4.3 Schnittgeraden
In diesem Fall schneiden sich alle drei Ebenen in einer Geraden. Die Schnittgerade (rot eingezeichnet) hat die Gleichung:
Ausführlich geschrieben lautet diese Zeile: 0⋅x1+0⋅x2+0⋅x3=0.
Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen, d.h. das LGS hat unendlich viele Lösungen.
Da in diesem LGS keine identischen Ebenen auftreten, bedeutet das, alle Lösungen des LGS liegen auf einer Geraden. Die 3 Ebenen haben eine gemeinsame Schnittgerade.
5. Beispiel für drei verschiedene Ebenen mit einem Schnittpunkt
Die Normalenvektoren der 3 Ebenen sind keine Vielfache voneinander:
nE1=k1⋅nE2, nE1=k2⋅nE3 und nE2=k3⋅nE3
Die Normalenvektoren sind linear unabhängig, denn die Gleichung r⋅nE1+s⋅nE2+t⋅nE3=0 ist nur für r=s=t=0 erfüllt.
5.3 Schnittgeraden
Jede Ebene schneidet sich mit den beiden anderen Ebenen, d.h. es gibt 3 verschiedene Schnittgeraden. Diese 3 Schnittgeraden wiederum schneiden sich in einem Punkt S. Dieser Punkt ist der Schnittpunkt der 3 Ebenen. (Die Gleichungen der 3 Schnittgeraden sind hier nicht von Interesse.)