🎓 Ui, fast schon Prüfungszeit? Hier geht's zur Mathe-Prüfungsvorbereitung.
Springe zum Inhalt oder Footer
SerloDie freie Lernplattform

Lagebeziehungen zwischen 3 Ebenen

Es gibt insgesamt 55 Möglichkeiten, wie drei verschiedene Ebenen zueinander liegen können. Diese 55 Möglichkeiten werden in diesem Artikel vorgestellt.

Lagebeziehungen von 3 Ebenen

1. Beispiel für drei parallele Ebenen

3 parallele Ebenen

1.1 Ebenengleichungen

E1:1x1+1x2+1x3=4E2:1x1+1x2+1x3=6E3:1x1+1x2+1x3=8\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ccccc}\textcolor{006400}{E_1}:1\cdot x_1+1\cdot x_2+1\cdot x_3=4\\\textcolor{ff6600}{E_2}:1\cdot x_1+1\cdot x_2+1\cdot x_3=6\\\textcolor{660099}{E_3}:1\cdot x_1+1\cdot x_2+1\cdot x_3=8\end{array}

1.2 Analyse der Normalenvektoren

Bei drei parallelen Ebenen sind die Normalenvektoren Vielfache voneinander. Die Normalenvektoren sind damit parallel zueinander. Hier gilt: nE1=nE2=nE3\vec{n}_{E_1}=\vec{n}_{E_2}=\vec{n}_{E_3}. Dies hat zur Folge, dass die Ebenen identisch oder parallel zueinander sind.

Hier gilt: E1aE2E_1\neq a\cdot E_2, E1bE3E_1\neq b\cdot E_3 und E2cE3E_2\neq c\cdot E_3. (Die Ebenengleichungen sind keine Vielfache voneinander). Die 3 Ebenen sind (echt) parallel zueinander.

1.3 Schnittgeraden

Parallele Ebenen schneiden sich nicht, d.h. es gibt keine Schnittgeraden.

2. Beispiel für zwei parallele Ebenen und eine dazu nicht parallele Ebene.

2 parallele Ebenen und eine dazu nicht parallele Ebene

2.1 Ebenengleichungen

E1:1x1+1x2+1x3=4E2:2x1+2x2+2x3=6E3:2x1+3x2+1x3=5\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ccccc}\textcolor{006400}{E_1}:1\cdot x_1+1\cdot x_2+1\cdot x_3=4\\\textcolor{ff6600}{E_2}:2\cdot x_1+2\cdot x_2+2\cdot x_3=6\\\textcolor{660099}{E_3}:2\cdot x_1+3\cdot x_2+1\cdot x_3=5\end{array}

2.2 Analyse der Normalenvektoren

Es gilt hier: nE2=2nE1\vec{n}_{E_2}=2\cdot\vec{n}_{E_1}. Die beiden Normalenvektoren sind kollinear (parallel).

Außerdem ist E22E1E_2\ne2\cdot E_1, d.h. die Ebene E1E_1 ist (echt) parallel zu E2E_2.

E3E_3 ist nicht parallel zu E1E_1 bzw. E2E_2 , denn nE3k1nE1\vec{n}_{E_3}\neq k_1\cdot\vec{n}_{E_1} und nE3k2nE2\vec{n}_{E_3}\neq k_2\cdot\vec{n}_{E_2}.

2.3 Schnittgeraden

Die beiden parallelen Ebenen E1E_1 und E2E_2 werden von E3E_3 geschnitten, d.h. es gibt 22 verschiedene Schnittgeraden.

E1E3=g1:  x=(103)+r(211)\textcolor{006400}{E_1}\cap \textcolor{660099}{E_3}=g_1:\;\vec x=\begin{pmatrix}1\\0\\3\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}-2\\1\\1\end{pmatrix} (schwarze Gerade in der Abbildung)

E2E3=g2:  x=(410)+r(211)\textcolor{ff6600}{E_2}\cap \textcolor{660099}{E_3}=\textcolor{cc0000}{g_2}:\;\vec x=\begin{pmatrix}4\\-1\\0\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}-2\\1\\1\end{pmatrix} (rote Gerade in der Abbildung)

Beide Schnittgeraden haben den gleichen Richtungsvektor. Sie sind also parallel zueinander.

3. Beispiel für drei nicht zueinander parallele Ebenen mit drei Schnittgeraden

3 Ebenen mit 3 Schnittgeraden

3.1 Ebenengleichungen

E1:1x12x2+3x3=6E2:1x1+2x21x3=2E3:1x1+0x2+1x3=1\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ccccc}\textcolor{006400}{E_1}:1\cdot x_1-2\cdot x_2+3\cdot x_3=6\\\textcolor{660099}{E_2}:1\cdot x_1+2\cdot x_2-1\cdot x_3=2\\\textcolor{ff6600}{E_3}:1\cdot x_1+0\cdot x_2+1\cdot x_3=-1\end{array}

3.2 Analyse der Normalenvektoren

Die Normalenvektoren der 3 Ebenen sind keine Vielfache voneinander:

nE1k1nE2\vec{n}_{E_1}\ne k_1\cdot\vec{n}_{E_2}, nE1k2nE3\vec{n}_{E_1}\ne k_2\cdot\vec{n}_{E_3} und nE2k3nE3\vec{n}_{E_2}\ne k_3\cdot\vec{n}_{E_3}

In diesem Fall stellt man fest, dass die drei Normalenvektoren komplanar sind.

nE1=(123)\vec n_{E_1}=\begin{pmatrix}1\\-2\\3\end{pmatrix}, nE2=(121)\vec n_{E_2}=\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}, nE3=(101)\vec n_{E_3}=\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}

Der Normalenvektor nE3\vec n_{E_3} der Ebene E3E_3 ist als Linearkombination der beiden anderen Normalenvektoren nE1\vec n_{E_1} und nE2\vec n_{E_2} darstellbar: nE3=12nE1+12nE2\vec n_{E_3}=\frac{1}{2}\cdot \vec n_{E_1}+\frac{1}{2}\cdot\vec n_{E_2}.

Damit sind die drei Normalenvektoren linear abhängig. Sie sind komplanar, d.h. sie liegen in einer Ebene.

3.3 Schnittgeraden

Jede Ebene schneidet sich mit den beiden anderen Ebenen, d.h. es gibt 3 verschiedene Schnittgeraden.

E1E2=g1:  x=(410)+r(111)\textcolor{006400}{E_1}\cap\textcolor{660099}{E_2}=g_1:\;\vec x=\begin{pmatrix}4\\-1\\0\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}-1\\1\\1\end{pmatrix} (schwarze Gerade in der Abbildung)

E2E3=g2:  x=(11,50)+r(111)\textcolor{660099}{E_2}\cap\textcolor{ff6600}{E_3}=\textcolor{cc0000}{g_2}:\;\vec x=\begin{pmatrix}-1\\1{,}5\\0\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}-1\\1\\1\end{pmatrix}(rote Gerade in der Abbildung)

E1E3=g3:  x=(13,50)+r(111)\textcolor{006400}{E_1}\cap \textcolor{ff6600}{E_3}=\textcolor{0000ff}{g_3}:\;\vec x=\begin{pmatrix}-1\\-3{,}5\\0\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}-1\\1\\1\end{pmatrix}(blaue Gerade in der Abbildung)

Alle drei Schnittgeraden haben den gleichen Richtungsvektor. Sie sind also parallel zueinander.

3.4 Lösung des linearen Gleichungssystems (LGS)

Wird das LGS mit dem Gaußverfahren gelöst, erhältst du in der letzten Zeile der erweiterten Koeffizientenmatrix folgenden Ausdruck: (0  0  0  10)(0\;0\;0\;|10).

Ausführlich geschrieben lautet diese Zeile: 0x1+0x2+0x3=100\cdot x_1+0\cdot x_2+0\cdot x_3=10.

Diese Gleichung hat keine Lösung, d.h. das LGS hat keine Lösung. Es gibt keinen gemeinsamen Punkt und keine gemeinsame Gerade für die 33 Ebenen. Allerdings existieren, wie oben gezeigt, drei verschiedene Schnittgeraden.

4. Beispiel für drei verschiedene Ebenen mit einer Schnittgeraden

3 Ebenen mit einer Schnittgeraden

4.1 Ebenengleichungen

E1:1x1+1x2+0x3=0E2:2x1+1x22x3=7E3:0x1+1x2+2x3=7\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ccccc}\textcolor{ff6600}{E_1}:1\cdot x_1+1\cdot x_2+0\cdot x_3=0\\\textcolor{006400}{E_2}:2\cdot x_1+1\cdot x_2-2\cdot x_3=-7\\\textcolor{660099}{E_3}:0\cdot x_1+1\cdot x_2+2\cdot x_3=7\end{array}

4.2 Analyse der Normalenvektoren

Die Normalenvektoren der 3 Ebenen sind keine Vielfache voneinander:

nE1k1nE2\vec{n}_{E_1}\ne k_1\cdot\vec{n}_{E_2}, nE1k2nE3\vec{n}_{E_1}\ne k_2\cdot\vec{n}_{E_3} und nE2k3nE3\vec{n}_{E_2}\ne k_3\cdot\vec{n}_{E_3}

In diesem Fall stellt man fest, dass die drei Normalenvektoren komplanar sind.

nE1=(110)\vec n_{E_1}=\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}, nE2=(212)\vec n_{E_2}=\begin{pmatrix}2\\1\\-2\end{pmatrix}, nE3=(012)\vec n_{E_3}=\begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}

Der Normalenvektor nE3\vec n_{E_3} der Ebene E3E_3 ist als Linearkombination der beiden anderen Normalenvektoren nE1\vec n_{E_1} und nE2\vec n_{E_2} darstellbar: nE3=2nE11nE2\vec n_{E_3}=2\cdot \vec n_{E_1}-1\cdot\vec n_{E_2}.

Damit sind die drei Normalenvektoren linear abhängig. Sie sind komplanar, d.h. sie liegen in einer Ebene.

4.3 Schnittgeraden

In diesem Fall schneiden sich alle drei Ebenen in einer Geraden. Die Schnittgerade (rot eingezeichnet) hat die Gleichung:

g:  x=(003,5)+r(221)\textcolor{cc0000}{g}:\;\vec x=\begin{pmatrix}0\\0\\3{,}5\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}2\\-2\\1\end{pmatrix}

4.4 Lösung des linearen Gleichungssystems (LGS)

Wird das LGS mit dem Gaußverfahren gelöst, erhältst du in der letzten Zeile der erweiterten Koeffizientenmatrix folgenden Ausdruck: (0  0  0  0)(0\;0\;0\;|0).

Ausführlich geschrieben lautet diese Zeile: 0x1+0x2+0x3=00\cdot x_1+0\cdot x_2+0\cdot x_3=0.

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen, d.h. das LGS hat unendlich viele Lösungen.

Da in diesem LGS keine identischen Ebenen auftreten, bedeutet das, alle Lösungen des LGS liegen auf einer Geraden. Die 33 Ebenen haben eine gemeinsame Schnittgerade.

5. Beispiel für drei verschiedene Ebenen mit einem Schnittpunkt

3 Ebenen mit Schnittpunkt

5.1 Ebenengleichungen

E1:1x1+0x2+0x3=3E2:0x1+2x2+1x3=2E3:1x1+0x2+1x3=4\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ccccc}\textcolor{ff6600}{E_1}:1\cdot x_1+0\cdot x_2+0\cdot x_3=3\\\textcolor{660099}{E_2}:0\cdot x_1+2\cdot x_2+1\cdot x_3=2\\\textcolor{006400}{E_3}:1\cdot x_1+0\cdot x_2+1\cdot x_3=4\end{array}

5.2 Analyse der Normalenvektoren

Die Normalenvektoren der 3 Ebenen sind keine Vielfache voneinander:

nE1k1nE2\vec{n}_{E_1}\ne k_1\cdot\vec{n}_{E_2}, nE1k2nE3\vec{n}_{E_1}\ne k_2\cdot\vec{n}_{E_3} und nE2k3nE3\vec{n}_{E_2}\ne k_3\cdot\vec{n}_{E_3}

Die Normalenvektoren sind linear unabhängig, denn die Gleichung rnE1+snE2+tnE3=0 r\cdot\vec{n}_{E_1}+s\cdot\vec{n}_{E_2}+t\cdot\vec{n}_{E_3}=\vec{0} ist nur für r=s=t=0r=s=t=0 erfüllt.

5.3 Schnittgeraden

Jede Ebene schneidet sich mit den beiden anderen Ebenen, d.h. es gibt 33 verschiedene Schnittgeraden. Diese 33 Schnittgeraden wiederum schneiden sich in einem Punkt SS. Dieser Punkt ist der Schnittpunkt der 33 Ebenen. (Die Gleichungen der 33 Schnittgeraden sind hier nicht von Interesse.)

5.4 Lösung des linearen Gleichungssystems (LGS)

Wird das LGS mit dem Gaußverfahren gelöst, erhältst du in der letzten Zeile der erweiterten Koeffizientenmatrix folgenden Ausdruck: (0  0  1  1)(0\;0\;1\;|1).

Ausführlich geschrieben lautet diese Zeile: 0x1+0x2+1x3=10\cdot x_1+0\cdot x_2+1\cdot x_3=1.

Somit ist x3=1x_3 =1. Die anderen Werte x1=3 x_1=3 und x2=12x_2 =\frac{1}{2} ergeben sich aus dem Gleichungssystem. Das LGS hat eine eindeutige Lösung: L={(3121)}\mathbb{L}=\{(3|\frac{1}{2}|1)\}

Die 33 Ebenen schneiden sich in einem Punkt S(3121)S (3|\frac{1}{2}|1).

Übungsaufgaben

Weitere Aufgaben zum Thema findest du im folgenden Aufgabenordner:
Aufgaben zur Lagebeziehung dreier Ebenen


Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0Was bedeutet das?