Aufgaben zur direkten Proportionalität

Lösung in Tabellenform:

Lösung mit der Proportionalitätskonstanten:

Verwende die Proportionalitätskonstante (Proportionalitätsfaktor), um die fehlenden Größen zu berechnen.

$y=k\cdot x\;\Rightarrow\;k=\dfrac{y}{x}\;\text{und}\;x=\dfrac{y}{k}$

Benutze das gegebene erste Wertepaar, um $k$ zu berechnen: $k=\dfrac{36}{12}=3$

Berechne nun mit den angegebenen Formeln die fehlenden Größen:

Beim 2. Wertepaar ist $x=4\;\Rightarrow\;y=3\cdot 4=12\;\Rightarrow\;(4|12)$

Beim 3. Wertepaar ist $y=24\;\Rightarrow\;x=\dfrac{24}{3}=8\;\Rightarrow\;(8|24)$

Beim 4. Wertepaar ist $x=2\;\Rightarrow\;y=3\cdot 2=6\;\Rightarrow\;(2|6)$

Beim 5. Wertepaar ist $y=18\;\Rightarrow\;x=\dfrac{18}{3}=6\;\Rightarrow\;(6|18)$

Graphisch Lösen

Zeichne die beiden Wertepaare $(4|6)$ und $(8|12)$ in ein Koordinatensystem und zeichne die Gerade durch die beiden Punkte. Nun kannst du die anderen Werte ablesen.

$x$-Achse: $1\mathrm{cm}$ entspricht $2l$ $y$-Achse: $1\mathrm{cm}$ entspricht $2€$

Rechnerische Lösung

Verwende die Proportionalitätskonstante, um den Preis pro Liter zu bestimmen. Dividiere dazu bei einem Wertepaar den Preis durch die Literanzahl:

$6$ €$:4 l = 1{,}5$ €/$l$

Ein Liter kostet also $1{,}50$€

Berechne damit den Preis für $6 l$:

$6 l \cdot 1{,}5$ €/$l= 9$ €

$6 l$ kosten also $9$ €.

Beim letzen Wertepaar weißt du, dass $16{,}50$ € bezahlt wurden. Teile diese Zahl durch den Literpreis von $1{,}50$ €/$l$

$16{,}50$ € $: 1{,}50$ €$/l =11 l$

Für $16{,}50$ € bekommt man also $11 l$.

Hinweis: Man kann diese Aufgabe auch anders lösen, zum Beispiel mit dem Dreisatz. Wenn du einen anderen, richtigen Lösungsweg hast, kannst du ihn hier gerne noch ergänzen.

Direkte Proportionalität

Lösungsidee

In der Aufgabe geht es um die beiden Größen

• "Körpergröße" und

• "Schattenlänge".

Diese beiden Größen sind zueinander direkt proportional.

Damit können all die Lösungsverfahren verwendet werden, die man bei einer direkten Proportionalität anwenden kann.

Lösung mit dem Dreisatz

Aus der Aufgabe:

• Schatten Stefan: 120 cm Größe Stefan: 1,60 m

• Schatten Klaus: ? Größe Klaus: 1,64 m

Dreisatz:

$\text{Körpergröße} 1{,}64 \, \mathrm{m} \ \widehat{=}\ \text{Schattenlänge}\ \dfrac{120 \,\mathrm{cm}}{1{,}60} \cdot 1{,}64 = 123\, \mathrm{cm}$

Lösung mit einer Verhältnisgleichung

Aus der Aufgabe:

• Schatten Stefan: 120 cm Größe Stefan: 1,60 m

• Schatten Klaus: ? Größe Klaus: 1,64 m

$\;\;\Rightarrow\;\;$ 77 Kisten kosten 731,50€.

Für diese Aufgabe brauchst du Direkte Proportionalität.

55 Kisten kosten 522,50€. Das heißt also

$\;\;\Rightarrow\;\;$ Man kann etwa 21 Kisten für 200€ kaufen.

Aus der Angabe entnimmst du folgende Informationen:

Länge des Pfahls: $8{,}4 m$

im Wasser: $30\%$ des Pfahls

im Boden: $\frac{1}{4}$ des Pfahls

Zeichne zuerst eine Skizze mit den angegebenen Daten.

Nun gibt es 2 Möglichkeiten, die Aufgabe zu lösen.

1. Möglichkeit:

Strategie: Berechne zuerst wie viel Prozent des Pfahls und anschließend wie viele Meter des Pfahls aus dem Wasser herausragen.

Wandle zunächst die Anteile in Prozentangaben um.

30% des Pfahls sind im Wasser.

$\frac14=25\%$ des Pfahls stecken in der Erde.

Addiere die Prozentangaben um den Anteil zu erhalten, der nicht aus dem Wasser herausragt.

25% + 30% = 55%

Berechne den Anteil des Pfahls der aus dem Wasser herausragt.

100% entsprechen der gesamten Länge des Pfahls.55% des Pfahls sind unter Wasser oder in der Erde.

Also sind 100% - 55% = 45% über Wasser.

Jetzt kannst du den Anteil in Meter berechnen, der aus dem Wasser herausragt.

$0.45 \cdot 8{,}4m= 3{,}78 m$

Diese 45% entsprechen 3,78m.

2. Möglichkeit:

Strategie: Berechne zunächst wie viel Meter des Pfahls im Wasser bzw. im Boden sind und subtrahiere dies anschließend von der Gesamtlänge des Pfahls.

Bestimme die Länge des Pfahls, die im Boden steckt.

$\frac14$ von den 8,4$m$ stecken im Boden.$\frac14 \cdot 8{,}4m =2{,}1m$.

2,1$m$ des Pfahls stecken im Boden.

Berechne die Länge des Pfahls, die im Wasser steht, mit Hilfe des Dreisatzes.

$8{,}4 m$ $\widehat{=}$ $100\%$

$\frac{8.4}{100}m = 0.084 m$ $\widehat{=}$ $1\%$

$\frac{8.4}{100}m \cdot 30$ $\widehat{=}$ $1\% \cdot 30$

$\Rightarrow 30\%$ $\widehat{=}$ $2{,}52m$

$2{,}52m$ des Pfahls stehen im Wasser.

Subtrahiere die beiden Längen von der Gesamtlänge, um die Länge des Pfahls zu berechnen, die aus dem Wasser herausragt.

$8.4 m - 2.52 m -2.1 m =3{,}78 m$

Es ragen 3,78$m$ des Pfahls aus dem Wasser.