Logistisches Wachstum

Das logistische Wachstum findet häufig in der Natur statt. Es beschreibt einen Wachstumsprozess, der zu Beginn annähernd exponentiell verläuft, dann jedoch abflacht und begrenzt ist. Diese Begrenzung gibt es oft aufgrund von Ressourcenknappheit.

Beispiele für logistisches Wachstum sind:

Größenwachstum einer Pflanze
Wachstum von Hefekulturen
Bevölkerungswachstum in einem Land
Ausbreitung einer Infektionskrankheit

Logistisches Wachstum am Beispiel einer Infektionskrankheit

Eine Infektionskrankheit (z.B. Corona) breitet sich in einem Land aus.

Zu Beginn des Infektionsgeschehens sind nur wenige Personen infiziert. Die Zahl der Infizierten $B (t)$ wächst angenähert exponentiell ( $lila$ Teil des Graphens). Je mehr Personen infiziert sind, desto mehr Personen werden neu infiziert.

(Ein rein exponentielles Wachstum zeigt die $grüne$ Kurve.)

Nach einer gewissen Zeit wird es immer schwerer, Nichtinfizierte (Gesunde) zu finden, die angesteckt werden können. Das Wachstum nimmt ab und wird zu einem begrenzten Wachstum, mit einer Schranke $S$ $(roter$ Teil des Graphens in der Abbildung).

Funktionsgraph für logistisches Wachstum

MerkeLogistische Wachstumsfunktion

Die Berechnung des Bestandes $B (t)$ der logistischen Wachstumsfunktion ist wie folgt gegeben:

B (t) = \frac{B_{0} \cdot S}{B_{0} + (S - B_{0}) \cdot e^{- S \cdot k \cdot t}}

Nach Kürzen mit $B_{0}$ erhält man:

B (t) = \frac{S}{1 + (\frac{S}{B_{0}} - 1) \cdot e^{- S \cdot k \cdot t}}

Dabei gilt:

$B (t)$ : ist der Bestand zur Zeit $t$ ,
$k$ : ist die Wachstumskonstante,
$S$ : ist die Sättigungsgrenze (Schranke),
$B_{0} $ : ist der Anfangsbestand zur Zeit $t = 0$ , also der Startwert.

Der Graph einer logistischen Funktion ist eine $S$ -förmige Kurve (auch Sigmoidkurve genannt).

Bis zum Wendepunkt $W P$ wächst der Bestand $B (t)$ annähernd exponentiell ( $lila$ Teil des Graphens). Danach schließt sich ein durch die Schranke $S$ begrenztes Wachstum an $(roter$ Teil des Graphens).

Beispiel Insektenpopulation

In einem Labor werden Insekten in Glasbehältern gezüchtet. Anfangs besteht die Population aus $25$ Insekten. Am nächsten Tag wurden $30$ Insekten gezählt. Man schätzt, dass es aufgrund des beschränkten Platzes maximal $400$ Insekten werden können.

a) Wie lautet die Wachstumsfunktion für die Zahl der Insekten?

b) Wie sieht der zugehörige Graph aus?

Lösung zu a)

Gegeben sind der Anfangswert der Insektenanzahl $B_{0} = 25$ und die Schranke $S = 400$ . Die Werte werden in die Gleichung für die logistische Funktion eingesetzt:

$B (t)$	$=$	$\frac{S}{1 + (\frac{S}{B_{0}} - 1) \cdot e^{- S \cdot k \cdot t}}$
	↓	Setze $B_{0} = 25$ und $S = 400$ ein.
	$=$	$\frac{400}{1 + (\frac{400}{25} - 1) \cdot e^{- 400 \cdot k \cdot t}}$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$\frac{400}{1 + (16 - 1) \cdot e^{- 400 \cdot k \cdot t}}$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$\frac{400}{1 + 15 \cdot e^{- 400 \cdot k \cdot t}}$

Bisher gilt: $B (t) = \frac{400}{1 + 15 \cdot e^{- 400 \cdot k \cdot t}}$

Die unbekannte Wachstumskonstante $k$ kann über die Aussage, dass nach $1$ Tag $30$ Insekten vorhanden sind, berechnet werden.

Setze $B (1) = 30$ :

$B (t)$	$=$	$\frac{400}{1 + 15 \cdot e^{- 400 \cdot k \cdot t}}$
	↓	Setze $t = 1$ und $B (1) = 30$ ein.
$30$	$=$	$\frac{400}{1 + 15 \cdot e^{- 400 \cdot k \cdot 1}}$	$\cdot (1 + 15 \cdot e^{- 400 \cdot k \cdot 1})$
	↓	Löse nach $k$ auf.
$30 \cdot (1 + 15 \cdot e^{- 400 \cdot k \cdot 1})$	$=$	$400$	$: 30$
$1 + 15 \cdot e^{- 400 \cdot k}$	$=$	$\frac{400}{30}$
	↓	Kürze den Bruch.
$1 + 15 \cdot e^{- 400 \cdot k}$	$=$	$\frac{40}{3}$	$- 1$
$15 \cdot e^{- 400 \cdot k}$	$=$	$\frac{40}{3} - 1$
	↓	Vereinfache die rechte Seite.
$15 \cdot e^{- 400 \cdot k}$	$=$	$\frac{40}{3} - \frac{3}{3}$
	↓	Fasse zusammen.
$15 \cdot e^{- 400 \cdot k}$	$=$	$\frac{37}{3}$	$: 15$
$e^{- 400 \cdot k}$	$=$	$\frac{37}{45}$	$\ln$
	↓	Löse die e-Funktion auf.
$- 400 \cdot k$	$=$	$\ln (\frac{37}{45})$	$: (- 400)$
$k$	$=$	$\frac{\ln (\frac{37}{45})}{(- 400)}$
$k$	$\approx$	$0,00049$

Somit folgt: $B (t) = \frac{400}{1 + 15 \cdot e^{- 400 \cdot 0,00049 \cdot t}} = \frac{400}{1 + 15 \cdot e^{- 0,196 \cdot t}}$

Antwort: Die Wachstumsfunktion für die Zahl der Insekten lautet:

B (t) = \frac{400}{1 + 15 \cdot e^{- 0,196 \cdot t}}

Lösung zu b)

Für die Zeichnung des Graphen ist es sinnvoll, einige Funktionswerte zu berechnen:

t (in Tagen)	B(t): Anzahl Insekten (gerundete Werte)
$0$	$25$
$1$	$30$
$2$	$36$
$5$	$60$
$8$	$97$
$10$	$128$
$14$	$204$
$20$	$308$
$30$	$384$
$50$	$399$

Graphische Darstellung der logistischen Wachstumsfunktion "Zahl der Insekten"

Weitere Eigenschaften der logistischen Funktion

1. Schnittpunkt mit der $y$ -Achse:

Zur Bestimmung des Schnittpunktes mit der $y$ -Achse setze $t = 0$ :

$B (t)$	$=$	$\frac{S}{1 + (\frac{S}{B_{0}} - 1) \cdot e^{- S \cdot k \cdot t}}$
	↓	Setze $t = 0$ ein.
$B (0)$	$=$	$\frac{S}{1 + (\frac{S}{B_{0}} - 1) \cdot e^{0}}$
	↓	$e^{0} = 1$
$B (0)$	$=$	$\frac{S}{1 + \frac{S}{B_{0}} - 1}$
	↓	Vereinfache den Nenner.
$B (0)$	$=$	$\frac{S}{\frac{S}{B_{0}}}$
	↓	Vereinfache.
$B (0)$	$=$	$B_{0}$

MerkeSchnittpunkt mit der $y$ -Achse

Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist:

S_{y} (0 | B_{0})

2. Asymptotisches Verhalten:

Zur Bestimmung des asymptotischen Verhaltens der logistischen Wachstumsfunktion berechne den Grenzwert $\lim_{t \to \infty} B (t)$ :

$B (t) = \frac{S}{1 + (\frac{S}{B_{0}} - 1) \cdot e^{- S \cdot k \cdot t}}$

Betrachte zunächst nur den Nenner des Bruches:

$1 + (\frac{S}{B_{0}} - 1) \cdot e^{- S \cdot k \cdot t}$

Berechne den Grenzwert für $t \to \infty$ :

$\lim_{t \to \infty} 1 + (\frac{S}{B_{0}} - 1) \cdot \underset{\to 0}{\underset{⏟}{e^{- S \cdot k \cdot t}}} = 1 + (\frac{S}{B_{0}} - 1) \cdot 0 = 1$

Der ganze Bruch $\frac{S}{1 + (\frac{S}{B_{0}} - 1) \cdot e^{- S \cdot k \cdot t}}$ geht gegen $S$ , denn $\lim_{t \to \infty} \frac{S}{1} = S$

Der Funktionsgraph nähert sich asymptotisch der Schranke $S$ .

3. Wendepunkt

Für die Berechnung des Wendepunktes müssen folgende Bedingungen erfüllt sein:

$B^{''} (t_{w}) = 0$ und Vorzeichenwechsel von $B^{''} (t)$ an der Stelle $t_{w}$

Die $2.$ Ableitung von $B (t)$ muss berechnet werden.

Die $1.$ Ableitung ist bekannt: $B^{'} (t) = k \cdot B (t) \cdot (S - B (t))$

Mit der Produktregel wird $B^{'} (t)$ abgeleitet:

$B^{''} (t)$	$=$	$k \cdot (B^{'} (t) \cdot (S - B (t)) + B (t) \cdot (- B^{'} (t)))$
	↓	Vereinfache.
$B^{''} (t)$	$=$	$k \cdot (B^{'} (t) \cdot S - B^{'} (t) \cdot B (t) - B^{'} (t) \cdot B (t))$
	↓	Fasse zusammen.
$B^{''} (t)$	$=$	$k \cdot (B^{'} (t) \cdot S - 2 \cdot B^{'} (t) \cdot B (t))$

Beim Wendepunkt muss $B^{''} (t_{W}) = 0$ sein:

$0$	$=$	$k \cdot (B^{'} (t_{W}) \cdot S - 2 \cdot B^{'} (t_{W}) \cdot B (t_{W}))$
	↓	Wegen $k \neq 0$ muss die Klammer null werden.
$0$	$=$	$B^{'} (t_{W}) \cdot S - 2 \cdot B^{'} (t_{W}) \cdot B (t_{W})$
	↓	Klammere $B^{'} (t_{W})$ aus.
$0$	$=$	$B^{'} (t_{W}) \cdot (S - 2 \cdot B (t_{W}))$
	↓	Die logistische Funktion ist streng monoton steigend. Daher ist $B^{'} (t) > 0$ und die Klammer muss null werden.
$0$	$=$	$S - 2 \cdot B (t_{W})$	$+ 2 \cdot B (t_{W})$
	↓	Löse nach $B (t_{W})$ auf.
$2 \cdot B (t_{W})$	$=$	$S$	$: 2$
$B (t_{W})$	$=$	$\frac{S}{2}$

Nun muss der Vorzeichenwechsel von $B^{''} (t)$ an der Stelle $t_{w}$ überprüft werden.

$B^{''} (t) = B^{'} (t) \cdot (S - 2 \cdot B (t))$

Die logistische Funktion ist streng monoton steigend.

Daher ist $B^{'} (t) > 0$ und die Klammer $(S - 2 \cdot B (t))$ bestimmt das Vorzeichen von $B^{''} (t)$ .

Es gilt:

für $t < t_{w}$ ist $B (t) < \frac{S}{2}$ $\Rightarrow S - 2 \cdot B (t) > 0$

und

für $t > t_{w}$ ist $B (t) > \frac{S}{2}$ $\Rightarrow S - 2 \cdot B (t) < 0$

$B^{''} (t)$ hat an der Stelle $t_{w}$ einen Vorzeichenwechsel.

Die beiden Bedingungen sind somit erfüllt.

MerkeKoordinaten des Wendepunkts

Der Wendepunkt hat die Koordinaten:

W P (t_{W} | \frac{S}{2})

4. Maximale Wachstumsgeschwindigkeit

An der Stelle der größten Steigung ist die Wachstumsgeschwindigkeit maximal.

Die größte Steigung tritt im Wendepunkt auf, d.h. $v_{\max} = B^{'} (t_{W})$ .

Setze in die erste Ableitung von $B (t)$ die Koordinaten des Wendepunktes $W P (t_{W} | \frac{S}{2})$ ein:

$v_{\max}$	$=$	$B^{'} (t_{W})$
	↓	Setze die erste Ableitung von $B (t)$ ein.
	$=$	$k \cdot B (t_{W}) \cdot (S - B (t_{W}))$
	↓	Zur Zeit $t_{W}$ ist $B (t_{W}) = \frac{S}{2}$ . Setze für $B (t_{w})$ den Wert $\frac{S}{2}$ ein.
	$=$	$k \cdot \frac{S}{2} \cdot (S - \frac{S}{2})$
	↓	Berechne die Klammer.
	$=$	$k \cdot \frac{S}{2} \cdot \frac{S}{2}$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$k \cdot \frac{S^{2}}{4}$

MerkeMaximale Wachstumsgeschwindigkeit

Die maximale Wachstumsgeschwindigkeit ist:

v_{m a x} = k \cdot \frac{S^{2}}{4}

Übungsaufgaben

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Weitere Aufgaben zum Thema findest du im folgenden Aufgabenordner:
Aufgaben zu Wachstums- und Zerfallsprozessen

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