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Logistisches Wachstum

Das logistische Wachstum findet häufig in der Natur statt. Es beschreibt einen Wachstumsprozess, der zu Beginn annähernd exponentiell verläuft, dann jedoch abflacht und begrenzt ist. Diese Begrenzung gibt es oft aufgrund von Ressourcenknappheit.

Beispiele für logistisches Wachstum sind:

  • Größenwachstum einer Pflanze

  • Wachstum von Hefekulturen

  • Bevölkerungswachstum in einem Land

  • Ausbreitung einer Infektionskrankheit

Logistisches Wachstum am Beispiel einer Infektionskrankheit

Eine Infektionskrankheit (z.B. Corona) breitet sich in einem Land aus.

Zu Beginn des Infektionsgeschehens sind nur wenige Personen infiziert. Die Zahl der Infizierten B(t)B(t) wächst angenähert exponentiell (lila\textcolor{660099}{\text{lila} } Teil des Graphens). Je mehr Personen infiziert sind, desto mehr Personen werden neu infiziert.

(Ein rein exponentielles Wachstum zeigt die gru¨ne\textcolor{006400}{\text{grüne}} Kurve.)

Nach einer gewissen Zeit wird es immer schwerer, Nichtinfizierte (Gesunde) zu finden, die angesteckt werden können. Das Wachstum nimmt ab und wird zu einem begrenzten Wachstum, mit einer Schranke SS (roter(\textcolor{cc0000}{\text{roter} } Teil des Graphens in der Abbildung).

logistisches Wachstum

Funktionsgraph für logistisches Wachstum

MerkeLogistische Wachstumsfunktion

Die Berechnung des Bestandes B(t)B(t) der logistischen Wachstumsfunktion ist wie folgt gegeben:

Nach Kürzen mit B0B_0 erhält man:

Dabei gilt:

  • B(t)B(t): ist der Bestand zur Zeit tt,

  • kk: ist die Wachstumskonstante,

  • SS: ist die Sättigungsgrenze (Schranke),

  • B0B_0​: ist der Anfangsbestand zur Zeit t=0t=0, also der Startwert.

Logistische Wachstumsfunktion

Der Graph einer logistischen Funktion ist eine SS-förmige Kurve (auch Sigmoidkurve genannt).

Bis zum Wendepunkt WPWP wächst der Bestand B(t)B(t) annähernd exponentiell (lila\textcolor{660099}{\text{lila} } Teil des Graphens). Danach schließt sich ein durch die Schranke SS begrenztes Wachstum an (roter(\textcolor{cc0000}{\text{roter} } Teil des Graphens).

Beispiel Insektenpopulation

In einem Labor werden Insekten in Glasbehältern gezüchtet. Anfangs besteht die Population aus 2525 Insekten. Am nächsten Tag wurden 3030 Insekten gezählt. Man schätzt, dass es aufgrund des beschränkten Platzes maximal 400400 Insekten werden können.

a) Wie lautet die Wachstumsfunktion für die Zahl der Insekten?

b) Wie sieht der zugehörige Graph aus?

Lösung zu a)

Gegeben sind der Anfangswert der Insektenanzahl B0=25B_0=25 und die Schranke S=400S=400. Die Werte werden in die Gleichung für die logistische Funktion eingesetzt:

B(t)\displaystyle B(t)==S1+(SB01)eSkt\displaystyle \dfrac{S}{1+\left(\dfrac{S}{B_0}-1\right)\cdot e^{-S\cdot k\cdot t}}

Setze B0=25B_0=25 und S=400S=400 ein.

==4001+(400251)e400kt\displaystyle \dfrac{400}{1+\left(\dfrac{400}{25}-1\right)\cdot e^{-400\cdot k\cdot t}}

Vereinfache.

==4001+(161)e400kt\displaystyle \dfrac{400}{1+\left(16-1\right)\cdot e^{-400\cdot k\cdot t}}

Vereinfache.

==4001+15e400kt\displaystyle \dfrac{400}{1+15\cdot e^{-400\cdot k\cdot t}}

Bisher gilt: B(t)=4001+15e400ktB(t)=\dfrac{400}{1+15\cdot e^{-400\cdot k\cdot t}}

Die unbekannte Wachstumskonstante kk kann über die Aussage, dass nach 11 Tag 3030 Insekten vorhanden sind, berechnet werden.

Setze B(1)=30B(1)=30:

B(t)\displaystyle B\left(t\right)==4001+15e400kt\displaystyle \dfrac{400}{1+15\cdot e^{-400\cdot k\cdot t}}

Setze t=1t=1 und B(1)=30B(1)=30 ein.

30\displaystyle 30==4001+15e400k1\displaystyle \dfrac{400}{1+15\cdot e^{-400\cdot k\cdot 1}}(1+15e400k1)\displaystyle \cdot(1+15\cdot e^{-400\cdot k\cdot 1})

Löse nach kk auf.

30(1+15e400k1)\displaystyle 30\cdot(1+15\cdot e^{-400\cdot k\cdot 1})==400\displaystyle 400:30\displaystyle :30
1+15e400k\displaystyle 1+15\cdot e^{-400\cdot k}==40030\displaystyle \dfrac{400}{30}

Kürze den Bruch.

1+15e400k\displaystyle 1+15\cdot e^{-400\cdot k}==403\displaystyle \dfrac{40}{3}1\displaystyle -1
15e400k\displaystyle 15\cdot e^{-400\cdot k}==4031\displaystyle \dfrac{40}{3}-1

Vereinfache die rechte Seite.

15e400k\displaystyle 15\cdot e^{-400\cdot k}==40333\displaystyle \dfrac{40}{3}-\dfrac{3}{3}

Fasse zusammen.

15e400k\displaystyle 15\cdot e^{-400\cdot k}==373\displaystyle \dfrac{37}{3}:15\displaystyle :15
e400k\displaystyle e^{-400\cdot k}==3745\displaystyle \dfrac{37}{45}ln\displaystyle \ln

Löse die e-Funktion auf.

400k\displaystyle -400\cdot k==ln(3745)\displaystyle \ln\left(\dfrac{37}{45}\right):(400)\displaystyle :(-400)
k\displaystyle k==ln(3745)(400)\displaystyle \dfrac{\ln\left(\dfrac{37}{45}\right)}{(-400)}
k\displaystyle k0,00049\displaystyle 0{,}00049

Somit folgt: B(t)=4001+15e4000,00049t=4001+15e0,196tB(t)=\dfrac{400}{1+15\cdot e^{-400\cdot0{,}00049\cdot t}}=\dfrac{400}{1+15\cdot e^{-0{,}196\cdot t}}

Antwort: Die Wachstumsfunktion für die Zahl der Insekten lautet:

Lösung zu b)

Für die Zeichnung des Graphen ist es sinnvoll, einige Funktionswerte zu berechnen:

t (in Tagen)

B(t): Anzahl Insekten

(gerundete Werte)

00

2525

11

3030

22

3636

55

6060

88

9797

1010

128128

1414

204204

2020

308308

3030

384384

5050

399399

Graphische Darstellung der logistischen Wachstumsfunktion "Zahl der Insekten"

Insektenanzahl

Weitere Eigenschaften der logistischen Funktion

1. Schnittpunkt mit der yy-Achse:

Zur Bestimmung des Schnittpunktes mit der yy-Achse setze t=0t=0:

B(t)\displaystyle B(t)==S1+(SB01)eSkt\displaystyle \dfrac{S}{1+\left(\dfrac{S}{B_0}-1\right)\cdot e^{-S\cdot k\cdot t}}

Setze t=0t=0 ein.

B(0)\displaystyle B(0)==S1+(SB01)e0\displaystyle \dfrac{S}{1+\left(\dfrac{S}{B_0}-1\right)\cdot e^0}

e0=1e^0=1

B(0)\displaystyle B(0)==S1+SB01\displaystyle \dfrac{S}{1+\dfrac{S}{B_0}-1}

Vereinfache den Nenner.

B(0)\displaystyle B(0)==SSB0\displaystyle \dfrac{S}{\dfrac{S}{B_0}}

Vereinfache.

B(0)\displaystyle B(0)==B0\displaystyle B_0
MerkeSchnittpunkt mit der yy-Achse

Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist:

2. Asymptotisches Verhalten:

Zur Bestimmung des asymptotischen Verhaltens der logistischen Wachstumsfunktion berechne den Grenzwert limtB(t)\displaystyle\lim_{t\rightarrow\infty} B(t):

B(t)=S1+(SB01)eSktB(t)=\dfrac{S}{1+\left(\dfrac{S}{B_0}-1\right)\cdot e^{-S\cdot k\cdot t}}

Betrachte zunächst nur den Nenner des Bruches:

1+(SB01)eSkt1+\left(\dfrac{S}{B_0}-1\right)\cdot e^{-S\cdot k\cdot t}

Berechne den Grenzwert für tt\rightarrow\infty:

limt1+(SB01)eSkt0=1+(SB01)0=1\displaystyle\lim_{t\rightarrow\infty}1+\left(\frac{S}{B_0}-1\right)\cdot\underbrace{ e^{-S\cdot k\cdot t}}_{\rightarrow 0}=1+\left(\frac{S}{B_0}-1\right)\cdot 0=1

Der ganze Bruch S1+(SB01)eSkt\dfrac{S}{1+\left(\dfrac{S}{B_0}-1\right)\cdot e^{-S\cdot k\cdot t}} geht gegen SS, denn limtS1=S\displaystyle\lim_{t\rightarrow\infty}\dfrac{S}{1}=S

Der Funktionsgraph nähert sich asymptotisch der Schranke SS.

3. Wendepunkt

Für die Berechnung des Wendepunktes müssen folgende Bedingungen erfüllt sein:

B(tw)=0B''(t_w)=0 und Vorzeichenwechsel von B(t)B''(t) an der Stelle twt_w

Die 2.2. Ableitung von B(t)B(t) muss berechnet werden.

Die 1.1. Ableitung ist bekannt: B(t)=kB(t)(SB(t))B'(t)=k\cdot B(t)\cdot (S-B(t))

Mit der Produktregel wird B(t)B'(t) abgeleitet:

B(t)\displaystyle B''(t)==k(B(t)(SB(t))+B(t)(B(t)))\displaystyle k\cdot\Big (B'(t)\cdot(S-B(t))+B(t)\cdot(-B'(t))\Big)

Vereinfache.

B(t)\displaystyle B''(t)==k(B(t)SB(t)B(t)B(t)B(t))\displaystyle k\cdot\Big(B'(t)\cdot S-B'(t)\cdot B(t)-B'(t)\cdot B(t)\Big)

Fasse zusammen.

B(t)\displaystyle B''(t)==k(B(t)S2B(t)B(t))\displaystyle k\cdot\Big(B'(t)\cdot S-2\cdot B'(t)\cdot B(t)\Big)

Beim Wendepunkt muss B(tW)=0B''(t_W)=0 sein:

0\displaystyle 0==k(B(tW)S2B(tW)B(tW))\displaystyle k\cdot\Big(B'(t_W)\cdot S-2\cdot B'(t_W)\cdot B(t_W)\Big)

Wegen k0 k\neq 0 muss die Klammer null werden.

0\displaystyle 0==B(tW)S2B(tW)B(tW)\displaystyle B'(t_W)\cdot S-2\cdot B'(t_W)\cdot B(t_W)

Klammere B(tW)B'(t_W) aus.

0\displaystyle 0==B(tW)(S2B(tW))\displaystyle B'(t_W)\cdot (S-2\cdot B(t_W))

Die logistische Funktion ist streng monoton steigend.

Daher ist B(t)>0B'(t) >0 und die Klammer muss null werden.

0\displaystyle 0==S2B(tW)\displaystyle S-2\cdot B(t_W)+2B(tW)\displaystyle +2\cdot B(t_W)

Löse nach B(tW)B(t_W) auf.

2B(tW)\displaystyle 2\cdot B(t_W)==S\displaystyle S:2\displaystyle :2
B(tW)\displaystyle B(t_W)==S2\displaystyle \dfrac{S}{2}

Nun muss der Vorzeichenwechsel von B(t)B''(t) an der Stelle twt_w überprüft werden.

B(t)=B(t)(S2B(t))B''(t)=B'(t)\cdot (S-2\cdot B(t))

Die logistische Funktion ist streng monoton steigend.

Daher ist B(t)>0B'(t) >0 und die Klammer (S2B(t))(S-2\cdot B(t)) bestimmt das Vorzeichen von B(t)B''(t).

Es gilt:

für t<twt<t_w ist B(t)<S2B(t)<\dfrac{S}{2}    S2B(t)>0\;\Rightarrow\;S-2\cdot B(t)>0

und

für t>twt>t_w ist B(t)>S2B(t)>\dfrac{S}{2}    S2B(t)<0\;\Rightarrow\;S-2\cdot B(t)<0

B(t)B''(t) hat an der Stelle twt_w einen Vorzeichenwechsel.

Die beiden Bedingungen sind somit erfüllt.

MerkeKoordinaten des Wendepunkts

Der Wendepunkt hat die Koordinaten:

4. Maximale Wachstumsgeschwindigkeit

An der Stelle der größten Steigung ist die Wachstumsgeschwindigkeit maximal.

Die größte Steigung tritt im Wendepunkt auf, d.h. vmax=B(tW)v_{\max}=B'(t_W).

Setze in die erste Ableitung von B(t)B(t) die Koordinaten des Wendepunktes WP(tWS2)WP\left(t_W\Big\vert\dfrac{S}{2}\right) ein:

vmax\displaystyle v_{\max}==B(tW)\displaystyle B'(t_W)

Setze die erste Ableitung von B(t)B(t) ein.

==kB(tW)(SB(tW))\displaystyle k\cdot B(t_W)\cdot (S-B(t_W))

Zur Zeit tWt_W ist B(tW)=S2B(t_W)=\dfrac{S}{2}. Setze für B(tw) B(t_w) den Wert S2 \dfrac{S}{2} ein.

==kS2(SS2)\displaystyle k\cdot\dfrac{S}{2}\cdot\left(S-\dfrac{S}{2}\right)

Berechne die Klammer.

==kS2S2\displaystyle k\cdot \dfrac{S}{2}\cdot \dfrac{S}{2}

Fasse zusammen.

==kS24\displaystyle k\cdot \dfrac{S^2}{4}
MerkeMaximale Wachstumsgeschwindigkeit

Die maximale Wachstumsgeschwindigkeit ist:

Übungsaufgaben: Logistisches Wachstum

Weitere Aufgaben zum Thema findest du im folgenden Aufgabenordner:
Aufgaben zu Wachstums- und Zerfallsprozessen


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