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Wahrscheinlichkeitsverteilung

Stabdiagramm einer Wahrscheinlichkeitsverteilung

Stabdiagramm einer Wahrscheinlichkeitsverteilung

Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung ist eine Funktion, die den Ergebnissen eines Zufallsexperimentes ihre Wahrscheinlichkeiten zuordnet.

Jede Wahrscheinlichkeitsverteilung erfĂŒllt die drei Axiome von Kolmogorow:

  • P(A)≄0 P\left(A\right)\ge0\

  • P(Ω)=1P(\Omega)=1

  • A∩B={}⇒P(AâˆȘB)=P(A)+P(B)A\cap B = \{\} \Rightarrow P(A\cup B) = P(A) + P(B)

Bei endlichen Zufallsvariablen gibt man die Wahrscheinlichkeitsverteilung oft in tabellarischer Form an.

Manchmal wird die Wahrscheinlichkeitsverteilung auch Wahrscheinlichkeitsmaß oder Wahrscheinlichkeitsgesetz genannt.

Beispiele, bei denen man die Zuordnung mit festen Formel ermitteln kann:

Diskrete Verteilungen sind Verteilungen auf diskreten, also abzĂ€hlbaren ZufallsgrĂ¶ĂŸen.

Stetige Verteilungen sind Verteilungen auf reellen Zahlen.

Beispiel

Folgendes Spiel wird angeboten: Nachdem man 2€ Einsatz gezahlt hat, darf man einmal wĂŒrfeln. FĂ€llt eine Sechs, bekommt man 5€ ausgezahlt. FĂ€llt eine 2, bekommt man 4€ ausgezahlt. Bei den Zahlen 1 und 3 bekommt man 1€ ausgezahlt. X sei der Gewinn in diesem Spiel.

Um auf die Werte von X zu kommen, musst du von den Auszahlungen den Einsatz abziehen.

FĂ€llt eine 4 oder 5, hat man zwei Euro verloren, bei einer 1 oder 3 hat man einen Euro verloren. Bei einer 2 gewinnt man zwei Euro, bei einer 6 sogar drei Euro.

Wahrscheinlichkeitsverteilung

xix_i

-2

-1

2

3

P(X=xi)P(X=x_i)

26\frac{2}{6}

26\frac{2}{6}

16\frac 1 6

16\frac 1 6

Stabdiagramm der Wahrscheinlichkeitsverteilung

Stabdiagramm der Wahrscheinlichkeitsverteilung

Beispiel

Folgendes Zufallsexperiment soll untersucht werden: Eine MĂŒnze wird dreimal geworfen. Es soll geprĂŒft werden, wie oft sich das vorangegangene Ergebnis wiederholt.

Baumdiagramm zum dreimaligen MĂŒnzwurf

Baumdiagramm zum dreimaligen MĂŒnzwurf

Im ganz linken Pfad wird zwei mal Kopf wiederholt. Im ganz rechten wird zweimal Zahl wiederholt. Beim zweiten, vierten, fĂŒnften und siebten Pfad wird einmal ein Ergebnis wiederholt. Bei den restlichen wird nichts wiederholt.

Wahrscheinlichkeitsverteilung

xix_i

0

1

2

P(X=xi)P(X=x_i)

2⋅0.532 \cdot 0.5^3

4⋅0.534 \cdot 0.5^3

2⋅0.532 \cdot 0.5^3

Stabdiagramm der Wahrscheinlichkeitsverteilung

Stabdiagramm der Wahrscheinlichkeitsverteilung

Übungsaufgaben

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Aufgaben zu ZufallsgrĂ¶ĂŸen und Verteilungsfunktion

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